7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算復(fù)習(xí)引入

激活舊知1.復(fù)數(shù)的加法、減法法則：

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律.

兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相加減，只需要將它們的實(shí)部與虛部分別相加(減)即可.

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di

（其中a，b，c，d∈R）

是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么：

z1+z2＝(a+c)

+(b+d

)i，z1-z2＝(a-

c)

+(b-d

)i.2.回憶：如果

a，b，c，d∈R，那么

(a＋b)(c＋d)

應(yīng)該如何展開呢？復(fù)習(xí)引入

激活舊知2.回憶：如果

a，b，c，d∈R，那么

(a＋b)(c＋d)

應(yīng)該如何展開呢？復(fù)習(xí)引入

激活舊知2.回憶：如果

a，b，c，d∈R，那么

(a＋b)(c＋d)

應(yīng)該如何展開呢？(a＋b)(c＋d)復(fù)習(xí)引入

激活舊知＝ac＋ad＋bc＋bd.新知探究

構(gòu)建法則

問(wèn)題1:設(shè)z1=a+bi，z2=c+di

（其中a，b，c，d∈R），那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積z1z2等于什么呢？

我們可以把a(bǔ)+bi看成是關(guān)于i的“一次二項(xiàng)式”，將復(fù)數(shù)的乘法類比多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行展開.=(ac-bd)+(ad+bc)i.

兩個(gè)復(fù)數(shù)的積是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)，特別地，當(dāng)z1,z2都是實(shí)數(shù)時(shí)，把它們看作復(fù)數(shù)時(shí)的積就是這兩個(gè)實(shí)數(shù)的積.注意把

i2換成-1.(a+bi)(c+di)=z1z2＝ac+adi+bci+bdi2設(shè)

z1=a+bi，z2=c+di

（其中a，b，c，d∈R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積：z1z2＝(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,只要在所得的結(jié)果中把

i2換成

-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并，整理成a+bi的形式即可.

我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下:（見(jiàn)教科書77頁(yè)）新知探究

構(gòu)建法則注意把

i2換成-1.

問(wèn)題2：復(fù)數(shù)乘法是否滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律呢？

設(shè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i

（a1，b1，a2，b2∈R），則

z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)

=

(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)

i

同理可證，復(fù)數(shù)乘法也滿足結(jié)合律以及乘法對(duì)加法滿足分配律：(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.新知探究

構(gòu)建法則∵

實(shí)數(shù)的乘法滿足交換律，z2z1=(a2+b2i)

(a1+b1i)=

(a2a1－b2b1)＋(a2b1＋a1b2)

i

∴

a1a2=a2a1，

b1b2=b2b1，a1b2+a2b1=a2b1+a1b2.

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得

z1z2=z2z1

.（即復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律)典例分析

鞏固提升

例1

計(jì)算

(1-2i)(3+4i)(-2+i).（見(jiàn)教科書78頁(yè)）解：

(1-2i)(3+4i)(-2+i)

分析：可以從左到右依次相乘.(-2+i)=(3+4i-6i-8i2)(-2+i)=-22+11i+4i-2i2=-20+15i.

例2計(jì)算:（見(jiàn)教科書78頁(yè)）

解法2：

(2+3i)(2-3i)=22-(3i)2=4-(-9)=13.解法1：=4-(-9)=13.平方差公式：(1)(2+3i)(2-3i);

典例分析

鞏固提升

例2計(jì)算:（見(jiàn)教科書78頁(yè)）

完全平方公式：(2)(1+i)2.解法2：(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.

解法1：(a+b)2=a2+2ab+b2典例分析

鞏固提升

.

問(wèn)題3：如果z1，z2是共軛復(fù)數(shù)，那么它們的

乘積z1z2是一個(gè)什么樣的數(shù)呢？z1z2設(shè)z1=a+bi，它的共軛復(fù)數(shù)z2=a-bi.(a,b∈R)新知探究

構(gòu)建法則z1z2的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，且等于z1或z2模的平方.=|z1|2=|z2|2.

所以，兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的乘積是一個(gè)實(shí)數(shù).

問(wèn)題4：我們知道，實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.類比實(shí)數(shù)除法的意義，你認(rèn)為應(yīng)該如何定義復(fù)數(shù)的除法呢？

即把滿足

(c+di)

(x+yi)=a+bi

(a,b,c,d,x,y∈R,且c+di≠0)的復(fù)數(shù)

(x+yi)叫做復(fù)數(shù)(a+bi)除以(c+di)的商.

記作：或逆向思維

探求除法

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法也是乘法的逆運(yùn)算.

(c+di)(x+yi)=a+bi

(a,b,c,d,x,y∈R,

且c+di≠0)，

=a+bi

逆向思維

探求除法

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得二元一次方程組：消元法

復(fù)數(shù)除法的法則:（見(jiàn)教科書78頁(yè)）分子分母同時(shí)

乘以分母的共軛復(fù)數(shù).新知探究

構(gòu)建法則(a,b,c,d∈R,且c+di≠0)

例3

計(jì)算

(1＋2i

)÷(3－4i

).（見(jiàn)教科書79頁(yè)）典例分析

鞏固提升

分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實(shí)數(shù)化.

例4在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程:（見(jiàn)教科書79頁(yè)）

典例分析

鞏固提升

解：(1)移項(xiàng)，得

根據(jù)復(fù)數(shù)乘法，我們知道典例分析

鞏固提升

歸納總結(jié)

提煉要點(diǎn)

①當(dāng)?≥0時(shí)，

方程有兩個(gè)共軛的虛數(shù)根.Δ=0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.拓展延伸

深化認(rèn)知

1-1

問(wèn)題5：你能運(yùn)用所學(xué)的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則

解決下列問(wèn)題嗎？

-1

1

n個(gè)z復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算課堂小結(jié)

梳脈提質(zhì)復(fù)數(shù)除法

乘法