高一平面向量及其應(yīng)用單元檢測試題一、單選題1．在中，分別是角所對的邊，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理求得，再利用面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由正弦定理得：，由面積公式得：.故選：.2．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)確定，從而可得，從而用向量數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因為，所以，所以,所以，所以.故選:B.3．若平面向量與的夾角為60°，,，則等于（

）.A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)模的計算法則求.【詳解】由題意，，；故選：B.4．已知中，為的中點，且，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量線性運算可得，知，根據(jù)投影向量為，結(jié)合長度和角度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，，，，為等邊三角形，；在上的投影向量為.故選：C.5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則c的值為（

）A． B．7 C．37 D．6【答案】A【分析】利用余弦的降冪公式，化簡已知條件求得；再利用正弦定理將角化邊結(jié)合已知求得，再用余弦定理即可求得.【詳解】由得，即，解得或(舍去)．由及正弦定理，得，結(jié)合，得.由余弦定理，知，

所以.故選：A6．在平行四邊形ABCD中，，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用已知條件求出的坐標(biāo)，然后通過數(shù)量積運算結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．，，，，，設(shè)，，則，，可得，，，，當(dāng)時，取得最大值5．故選：D．7．已知中，a、b、c為角A、B、C的對邊，，若與的內(nèi)角平分線交于點I，的外接圓半徑為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理求出，，，，得到，利用基本不等式求出面積的最大值.【詳解】，由正弦定理得：∵，∴，∵，∴，為直角三角形且外接圓半徑為，∴，∴，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則．其中，因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：A8．已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【分析】根據(jù)與的意義，得到的方向與的角平分線一致，從而判斷出點P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.【詳解】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.二、多選題：9．的內(nèi)角在A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是銳角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D．若，則外接圓半徑為4【答案】ABC【分析】根據(jù)，得到，結(jié)合正弦定理判斷AD，結(jié)合余弦定理判斷BC..【詳解】因為在中，，所以，解得，由正弦定理可得，為的外接圓半徑，所以，所以，故A正確；因為，所以角C為最大角，角為最小角，又由余弦定理可得，又，所以角C為銳角，故是銳角三角形，故B正確；則，所以，即，又，所以，故C正確；因為，，所以，則由正弦定理得，解得，故D錯誤；故選：ABC.10．已知向量，若，則下列結(jié)論在確的是（

）A． B．C． D．與的夾角為銳角【答案】AC【分析】求出，對兩邊平方得可判斷A；由的坐標(biāo)運算可得的值，求出可判斷B；對兩邊平方化簡可判斷C；求出、、，設(shè)與的夾角為，由向量的夾角公式計算可判斷D.【詳解】，由得，所以，所以A正確；對于B，由，可得，因為，所以，故B錯誤；對于C，由得，所以，故C正確；對于D，，，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以為鈍角，故D錯誤.故選：AC.11．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在向量上的投影向量為C．若，則為的中點D．若在線段上，且，則的取值范圍為【答案】BD【分析】以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，計算，A錯誤，投影向量為，B正確，直線與正八邊形有兩個交點，C錯誤，，D正確，得到答案.【詳解】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，整理得到，，，，設(shè)，對選項A：，，，錯誤；對選項B：，，，即投影向量為，正確；對選項C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個交點，錯誤；對選項D：，，，，，整理得到，，故，正確.故選：CD三、填空題：12．已知向量，，，若，則實數(shù)x的值為______．【答案】##【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】因為向量，，則，又，且，因此，解得，所以實數(shù)x的值為.故答案為：13．在中，是的角平分線，且交于.已知，則__________.【答案】【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得，設(shè)，由余弦定理可得關(guān)于m的方程，求得m的值，可得答案.【詳解】由題意是的角平分線，，由角平分線的性質(zhì)知：，設(shè)，因為，則，則,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案為：14．銳角三角形的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，且，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合已知可得，于是由銳角三角形，可得，再用正弦定理與二倍角及和差角公式可將轉(zhuǎn)化為，由函數(shù)單調(diào)性可得其范圍.【詳解】解：因為，且，所以由正弦定理得：，所以又銳角三角形中，，則，即所以，由于銳角三角形，所以，解得所以由于，則在上遞減，在上遞增所以在在上遞減，于是有，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點．(1)若，求的值；(2)若，設(shè)實數(shù)滿足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用共線向量定理的坐標(biāo)形式即可求解（2）利用向量垂直的充要條件的坐標(biāo)形式即可求解【詳解】（1）因為，，所以，（2）若，則，16．如圖，邊長為2的等邊所在平面內(nèi)一點滿足（），點在邊上，.的面積為，記，.(1)用，及表示；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的運算求解即可；（2）由題知，，進(jìn)而得，設(shè)三角形在邊上的高為，根據(jù)幾何關(guān)系得，再結(jié)合基本不等式求解即可.（1）解：因為是邊長為2的等邊三角形，，所以，，所以（2）解：因為，，，，所以，，設(shè)三角形在邊上的高為，則，所以，因為（），所以，所以，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.17．在中，的對邊分別為.(1)若，求的值；(2)若的平分線交于點，求長度的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得結(jié)果；（2）設(shè)，把表示成兩個三角形的面積和，表示出，再求其取值范圍；【詳解】（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，則.設(shè)，，，，.18．如圖，△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大?。?2)已知，若D為△ABC外接圓劣弧AC上一點，求AD+DC的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)法一:利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得，再利用三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；法二:利用余弦定理得出，根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；(2)方法一：設(shè)，則，利用正弦定理得出，，然后利用輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.【詳解】（1）法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，面四邊形ABCD內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一:設(shè)，則，由正弦定理得，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，的面積為，求的值；(2)若為銳角三角形，作角B的平分線交AC于點D，記與的面積分別為，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)得到，從而解得，再根據(jù)，利用正弦定理得到，