2/302025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷01參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）已知直線l經(jīng)過點1,3,?2,0，則直線A．π6 B．π4 C．2π3【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)直線l的傾斜角為θ，先求出直線的斜率，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，分析可得答案.【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)直線l的傾斜角為θ，直線l經(jīng)過點1,3則直線l的斜率k=3?01+2而0≤θ<π，則有θ=故選：A.2．（5分）已知向量a=1,0,1，b=1,A．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】C【解題思路】依據(jù)條件，計算ka【解答過程】因a=1,0,因ka+b與2a?故選：C.3．（5分）已知橢圓方程為x2a2A．x22+y2=1 B．x【答案】D【解題思路】結(jié)合橢圓的性質(zhì)可分別求得a,b,c的值，即可得到結(jié)果.【解答過程】橢圓上的點到左焦點的最大值為a+c=3，橢圓上的點到左焦點的最小值為a?c=1，聯(lián)立a+c=3a?c=1，解得a=2，c=1根據(jù)a2=b2+故選：D.4．（5分）已知圓O的方程是x2+y2?8x?2y+10=0，則圓OA．x?y?3=0 B．x+y?7=0C．x+2y?9=0 D．2x?y?8=0【答案】B【解題思路】求出圓心，當過點(5,2)的直線與過點(5,2)的直徑垂直時,與圓相交所得的弦長最短，兩垂直直線的斜率乘積等于?1可求直線方程【解答過程】x2+y圓心與(5,2)連線所在直線斜率為：k1因為52所以點(5,2)在圓內(nèi)，所以當過點(5,2)的直線與過點(5,2)的直徑垂直時,與圓相交所得的弦長最短.所以，最短弦所在的直線斜率k2滿足：k1由點斜式方程得，最短弦所在的直線為：y?2=?x?5整理得：x+y?7=0故選：B.5．（5分）已知拋物線y2=12x的焦點為F，點P在拋物線上，定點Q(5,2)，則|PQ|+|PF|的最小值為（A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解題思路】利用拋物線的定義、性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合判定選項即可.【解答過程】因為|PF|等于點P到準線的距離，作PD垂直于準線于D,根據(jù)拋物線的定義可知PF=所以當PQ垂直于準線時交準線于E,，|PQ|+|PF|有最小值，PF+PQ=當且僅當P在EQ與拋物線的交點時取得等號.故選：C.6．（5分）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點，則CP?FQ=

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解題思路】根據(jù)正八面體的性質(zhì)得到FB=【解答過程】由正八面體的性質(zhì)可得BF=AD，BF∥AD，則FB=CP==?=?==1.故選：A.7．（5分）設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過點F1，若點A．3 B．5?1 C．5+1【答案】B【解題思路】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線的定義可推得PF1=2c，PF2=2c?2a.然后根據(jù)【解答過程】設(shè)∠PF由已知可得，PF根據(jù)雙曲線的定義有PF又F1P?在△PF1F即2c?2a2整理可得c2等式兩邊同時除以a2可得，e解得e=?1+5或e=?1?所以e=?1+5故選：B.8．（5分）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1所有棱長均為2，∠C1CA=60°，側(cè)面ACC1A1與底面ABC垂直，D，E分別是線段AC，CA．233 B．536 C．【答案】B【解題思路】由面面垂直的性質(zhì)定理證得C1D⊥平面ABC，以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面【解答過程】連接C1D，因為CA=CC所以△ACC1為正三角形，所以又側(cè)面ACC1A1與底面ABC垂直，C1D?平面所以C1D⊥平面ABC，所以DB，DA，以D為坐標原點，DB，DA，DC1所在直線為x，y，則D0,0,0，B3,0,0，CE0,?12,3點F為棱B1C1上靠近B可得DB=3,0,0，DE設(shè)平面BDE的一個法向量為m=x,y,z，則令z=1，則x=0，y=3，可得m所以點F到平面BDE的距離為d=m故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）關(guān)于空間向量，下列說法正確的是（

）A．若a,bB．已知a=1,?2,2，b=2,x,4C．若對空間中任意一點O，有OP=12D．若向量a,b,【答案】BCD【解題思路】根據(jù)共線向量定義、向量垂直的坐標表示、空間向量共面定理、空間基底的定義依次判斷各個選項即可.【解答過程】對于A，當a,b同向時，a+b=對于B，∵a⊥b，∴對于C，∵OP=12OA對于D，假設(shè)存在實數(shù)λ,μ，使得a?∴a?b∴a?b，b故選：BCD.10．（6分）已知圓C1:x?12+A．圓C2B．y軸為圓C1與CC．圓C1與C2D．圓C1與C2上共有3個點到直線【答案】BC【解題思路】對于A項，將圓的方程化成標準式即得；對于B項，判斷圓心到直線的距離等于圓的半徑即得；對于C項，只需將兩圓方程相減化簡，即得公共弦直線方程；對于D項，需要結(jié)合圖像作出兩條和已知直線平行且距離等于1的直線，通過觀察分析即得.【解答過程】對于A，圓C2:x2+對于B，因為圓心C11,0到y(tǒng)軸的距離為1，等于圓所以圓C1與y同理圓心C22,2到y(tǒng)軸的距離等于圓所以圓C2與y軸相切，故y軸為圓C1與對于C，將x?12+y2=1與x2+對于D，如圖，因為直線2x?y?2=0同時經(jīng)過兩圓的圓心，依題意可作兩條與該直線平行且距離為1的直線l1與l其中l(wèi)1與l2和圓l1與l2和圓故圓C1與C2上共有6個點到直線故選：BC.11．（6分）過拋物線E:y2=4x焦點F的直線交拋物線于A,B兩點（點A在第一象限），過A,B分別向E的準線作垂線，垂足分別為C,D，若△ACF與△BDFA．AFB．直線AB的斜率為3C．ABD．△AOB的面積為4【答案】BCD【解題思路】由拋物線的定義可得AC=AF,BD=BF，然后由S△ACF=9S△BDF可得AF=3BF，即可判斷A選項；設(shè)直線AB的方程為x=my+1，與拋物線聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理可得y1+y【解答過程】由拋物線的定義可得AC=AF,BD=BF因為sin∠CAF=sin∠DBF又因為△ACF與△BDF的面積之比為9，即S△ACF所以AF=3BF，即由題意得F1,0，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A(聯(lián)立y2=4xx=my+1，消去x所以y1+y所以x1+x因為△ACF與△BDF的面積之比為9，即S△ACF因為AFBF=ACBD=3又因為y1y2=?4，所以由y1+y2=4m所以直線AB的斜率為1m而x1所以|AB|=x△AOB的面積為12故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若直線2x+y?3=0與直線4x+2y+a=0之間的距離為52，則實數(shù)a的值為【答案】?11或?1【解題思路】根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式列式求出a值.【解答過程】直線2x+y?3=0，即4x+2y?6=0與直線4x+2y+a=0之間的距離為52則|a?(?6)|42+22所以實數(shù)a的值為?11或?1.故答案為：?11或?1.13．（5分）已知P是橢圓16x2+25y2=1600上的一點，且在x軸上方，F(xiàn)1，F(xiàn)【答案】24【解題思路】根據(jù)橢圓方程可得a=10,b=8,c=6，進而根據(jù)兩點斜率公式，結(jié)合橢圓方程，即可求解y0【解答過程】設(shè)Px0,由16x2+25y2故16xF26,0，則平方可得y0化簡可得1912y0故S△P故答案為：24314．（5分）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點①直線BD1②三棱錐D?A③異面直線AP與A1D④直線C1P與平面A【答案】①②④【解題思路】對于①，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，即可進行判斷；對于②，利用線面平行的判定定理，得出B1C∥平面【解答過程】對于①，連接B1∵A1C1⊥B1D1，A1C1∴A1C1⊥平面BB∴A1C1∵A1C1∩DC1=C1∴直線BD1⊥對于②，∵A1D∥B1C，A1D?平面A1C1D，∵點P在線段B1C上運動，∴點P到平面又△A1C對于③，∵A1D∥B1C，∴異面直線AP與A1當點P位于C點時，AP與B1C所成的角為當點P位于B1C的中點時，∵AB1=AC，∴AP⊥B1∴異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是對于④，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCD?A則D0,0,0，A11,0,1，C10,1,1，D設(shè)平面A1C1D的法向量n=令x=1，得n=1,1,?1，所以，直線C1C1當a=12時，直線C1P與平面故答案為：①②④.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）在平面直角坐標系中，已知三點A?3,4(1)若直線l1過點C1,0且與直線BC垂直，求直線(2)若直線l2經(jīng)過點A，且在x軸上的截距是y軸上截距的2倍，求直線l【答案】(1)3x?y?3=0(2)3y+4x=0或x+2y?5=0【解題思路】（1）先求得直線AB的斜率，再根據(jù)兩直線垂直斜率關(guān)系結(jié)合點斜式求解即可；（2）分析當截距均為0時的情況，再設(shè)直線l2方程為x2b+yb【解答過程】（1）由A?3,4,B3,2可得直線AB因為l1⊥AB，故直線l則直線l1的方程為y?0=3x?1（2）當截距均為0時，直線l2方程為3y+4x=0當截距不為0時，不妨設(shè)直線l2方程為x又直線l2經(jīng)過點A，故?32b+4b=1，即綜上，所求直線l2方程為3y+4x=0或x+2y?5=016．（15分）已知向量a=?2,?1,2，b=(1)若a?c=4(2)若三個向量a，b，c?a?【答案】(1)|(2)x=?【解題思路】（1）先根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出x的值，再求出b+c的坐標，最后根據(jù)向量模的計算公式求出（2）根據(jù)三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底可知這三個向量共面，利用向量共面的性質(zhì)列出方程求解x的值.【解答過程】（1）已知a=(?2,?1,2)，c=(x,2,2)，可得a?所以c=(?1,2,2)，則b根據(jù)向量模的計算公式可得|b（2）已知a=?2,?1,2，b=先求出c?因為三個向量a,即存在實數(shù)m，n使得c?a?由此可得方程組x+3=?2m?n2=?m+n?2=2m+2n.由2=?m+n可得m=n?2，將其代入?2=2m+2n中，得到?2=2(n?2)+2n，解得把n=12代入m=n?2，可得再把m=?32，n=1可得x+3=?2×(?32)?17．（15分）已知雙曲線C：x2a2?y2=1a>0的焦距為25且左右頂點分別為A1，A2(1)求雙曲線的方程；(2)若直線MN的斜率為32，求弦長MN【答案】(1)x(2)70【解題思路】（1）利用雙曲線的焦距、結(jié)合雙曲線方程求解即可；（2）先求出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理及弦長公式計算即可.【解答過程】（1）因為雙曲線的焦距為25，所以2c=25，即又b=1，所以a2+1=5，解得則雙曲線的方程為x2（2）由題意，直線MN的方程為y=3聯(lián)立y=32x?4x2設(shè)Mx1,y1由韋達定理得x1+x所以MN=18．（17分）在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD=AD=12AB，∠PAD=45°，E是PA(1)求證：DE//平面PBC(2)求平面PGC與平面PBC夾角的余弦值；(3)在線段PA上是否存在點H，使得GH與平面PGC所成角的余弦值是63，若存在，求出AH【答案】(1)證明見解析(2)3(3)存在，2【解題思路】（1）構(gòu)造平行四邊形，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）以點D為原點建立空間直角坐標系，利用坐標法二面角的余弦值；（3）首先設(shè)AH=λAP=【解答過程】（1）證明：取PB的中點M，連接EM，CM，∵CD//AB，且CD=12AB，E，M∴EM//AB，且∴EM//CD，且EM=CD，故四邊形∴DE//∵CM?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE//平面PBC

（2）∵∠PAD=45°，PD⊥平面ABCD，AD，DC?平面∴PD⊥DC，PD⊥AD，設(shè)DA=1，∴PD=AD=1，又因為AB⊥AD，AB//DC，所以所以DA、DC、DP兩兩垂直，如圖，以D為原點，DA、DC、DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A1,0,0，B1,2,0，C0,1,0BC=?1,?1,0，設(shè)點G1,t,0，則CG=1,t?1,0∵CG⊥BD，可得1+2t?1解得t=12，∴G1,