重難點(diǎn)04函數(shù)的奇偶性(7種考法)

【目錄】

考法L函數(shù)奇偶性的定義與判斷

考法2：由奇偶性求函數(shù)解析式

考法3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

考法4：抽象函數(shù)的奇偶性

考法5：由奇偶性求參數(shù)

考法6：由函數(shù)奇偶性解不等式

考法7：奇偶函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

圖二、命題規(guī)律與備考策略

一、奇函數(shù)

解題方法點(diǎn)撥：

①如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用F(0)=0解相關(guān)的未知量；

②若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(x)=-f-x)解相關(guān)參數(shù)；

③已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達(dá)式，求它的小于0的函數(shù)表達(dá)式，如奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí)，f

(A)=X+X

那么當(dāng)%<0時(shí),?x>0,有f(?x)=(?x)、(?x)n-f(x)=x-x^>f(x)=-/+x

命題方向：

奇函數(shù)是函數(shù)里很重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同學(xué)們一定要熟悉奇函數(shù)的概念和常用的解題方法，它的考查

形式主要也就是上面提到的這兩種情況--求參數(shù)或者求函數(shù)的表達(dá)式.

二、偶函數(shù)

解題方法點(diǎn)撥：

①運(yùn)用F(x)=f(-x)求相關(guān)參數(shù)，如尸+。產(chǎn)"，那么a+c是多少？

②結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或者是某個(gè)特定的值，如偶函數(shù)f(-2)=0,周期

為2,那么在區(qū)間(?2,8)函數(shù)與x軸至少有幾個(gè)交點(diǎn).

命題方向：

與奇函數(shù)雷同，熟悉偶函數(shù)的性質(zhì)，高考中主要還是以選擇題或者填空題的形式考查對(duì)偶函數(shù)性質(zhì)的

靈活運(yùn)用.

三.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【解題方法點(diǎn)撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/*(())=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(幻解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f(x)=f(-x)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確

率.

四.奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性

【解題方法點(diǎn)撥】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知：①奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分共單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

eg：若奇函數(shù)/'(外在區(qū)間［1,3］內(nèi)單調(diào)遞增，且有最大值和最小值，分別是7和4,求函數(shù)「(*)在區(qū)

間［-3,-1］內(nèi)的最值.

解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，F(xiàn)(x)在［-3,-1］上位單調(diào)遞增函數(shù)，

那么最小值為F(-3)=-/(3)=-7；最大值為-1)=-/(I)=-4

【命題方向】

本知識(shí)點(diǎn)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，同學(xué)首先要熟悉奇偶函數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用，然后要多多總結(jié)，特別是偶函數(shù)

與周期性相結(jié)合的試題，現(xiàn)在的?個(gè)命題方式是已知周期偶函數(shù)某一小段內(nèi)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求在更大

范圍內(nèi)它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，同學(xué)們務(wù)必多多留意.

五.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解題方法點(diǎn)撥】

參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/'(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(x)=-f(-x)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f(x)=f(-x)這個(gè)去求解：

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反

【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié)，一定要重視這

一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

六.抽象函數(shù)及其應(yīng)用

【解題方法點(diǎn)撥】

①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來(lái)，如/.(戶/=/.(>)V(y),它的原型就是J，=M；

②可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決

例：f(燈)=/(x)+f(y),求證/(1)=f(-1)=0

令x=y=l,則f(1)=2/(1)=>/(1)=0

令x=y=-l,同理可推出/'(-1)=0

③既然是函數(shù)，也可以運(yùn)用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的奇偶性；

【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

抽象函數(shù)是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種.高考中一般以中檔題

和小題為主，要引起重視.

口三、題型方法

考法1：函數(shù)奇偶性的定義與判斷

一、單選題

1.(2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))果樹(shù)的負(fù)載品，是影響果樹(shù)產(chǎn)最和質(zhì)最的重要因素.蘋(píng)果樹(shù)結(jié)果期的負(fù)載

星y(單位：kg)與干周x(樹(shù)干橫截面周長(zhǎng)，單位：cm)可用模型)=%十4/一4丁模擬，其中4,仇，

么均是常數(shù).則卜.列最符合實(shí)際情況的是()

A.打=0時(shí)，y是偶函數(shù)B.模型函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形

C.若",打均是正數(shù)，則y有最大值D.蘋(píng)果樹(shù)負(fù)載量的最小值是4

2.(2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考三模)函數(shù)的部分圖象大致為()

l+|x|

①函數(shù)〃力的圖像關(guān)于)'軸對(duì)稱;

②函數(shù)/(力的圖像關(guān)于直線X、對(duì)稱;

③函數(shù)/(X)的最小正周期為2兀;

④函數(shù)〃力的最小值為2.其中所有真命題的序號(hào)是.

9.(2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模)若函數(shù)y=/(x)亦wR的關(guān)系式日方程41|+)，|)，|=4確定廁下述命題中所有

真命題的序號(hào)為.

①函數(shù))，=/(x)是減函數(shù)；

②函數(shù)是奇函數(shù)；

③函數(shù)y=/(X)的值域?yàn)閇-2,2]

④方程/(x)+x=o無(wú)實(shí)數(shù)根：

⑤函數(shù))，=/(力的圖像是軸對(duì)稱圖形.

四、解答題

10.(2023?河南開(kāi)封?開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(“滿足

2/(x)+f(]-x)=3x2+(6T-2)X-2^+1(XGR).

⑴討論/(x)的奇偶性；

⑵設(shè)函數(shù)/?(x)=x+ln[/(x)](x21),求證：[I,轉(zhuǎn))={yly=/?(.r)}.

考法2：由奇偶性求函數(shù)解析式

一、單選題

1.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x2+-.若曲線y=〃力在

點(diǎn)（-1J（T））處的切線方程為y=T+〃，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.4B.2C.1D-1

2.（2023?江蘇南通?二模）己知函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,y=fl：x）+e”是偶函數(shù)，），=/'（x）-3e'是奇函

數(shù)，則f（x）的最小值為（）

A.cB.2及C.2x/3D.2e

焉?廣的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/⑸6則

3.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考一模）若函數(shù)f(x)=<

//(-2022)+//(-2023)+〃(一2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

4.（2023?寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考二模）設(shè)是定義在R上的函數(shù)，若/（x）+f是奇函數(shù)，是偶函數(shù),

函數(shù)則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）

(1)當(dāng)xe［2,3］時(shí),^(x)=-2(x-2)(x-3)

21

(2)=2*-3(^eNj

2

若g（,〃）N2,則實(shí)數(shù)，〃的最小值為g

(4)若力（x）=g（x）—攵（1-2）有三個(gè)零點(diǎn)，貝IJ實(shí)數(shù)

6

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)“力的定義域?yàn)镽,/（x+1）為奇函數(shù)，/（工+2）為偶函數(shù)，當(dāng)

9

不中,2］時(shí),f(x)=ax2+b.若/(0)+〃3)=6,則/)

2

935

A.——B.——D.

422

6.（2023?北京朝陽(yáng)?二模）已知函數(shù)“可是R上的奇函數(shù)，當(dāng)火＜0時(shí)，/（x）=4-2：若關(guān)于x的方程

/（f（X））=〃7有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.(f-3]U[3,y)B.[-3,0)U(0,3]C.(T—3]U[3,4)D.(f,T)54,+oo)

二、多選題

7.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>()時(shí)，

/(x)=eX則()

A.當(dāng)xvO時(shí)，/(x)=-er-(x+l)B.V.V€R,都有

C./(力之0的解集為卜D./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一2,0),(0,2)

—>2

8.(2023?江蘇?二模)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(x),當(dāng)x>0時(shí)，=v，下列敘述

x2-2%+2,0<x2

正確的是()

A.存在實(shí)數(shù)上使關(guān)于x的方程f(x)=6有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.當(dāng)％<公<-2時(shí)，有〃與)>/(王)

C.當(dāng)OvxVa時(shí)，”力的最小值為1,則1<。<3

D.若關(guān)于x的方程得和/("=〃?的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則看得

三、填空題

9.(2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模)已知奇函數(shù)=F則必)=.

10.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則

〃力可能是.(本題答案不唯一)

四、雙空題

11.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))己知/(4)是定義R在上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(力=2、+22-"當(dāng)

x<0時(shí)，〃"=辦2'+〃21則〃什〃=；若方程/(x)=o(aeR)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的

取值范圍是.

12.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)已知定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足”無(wú)+2)=-〃力，且當(dāng)TWxWO

時(shí)，〃力=2川一〃?，則當(dāng)0<x§時(shí)，/(A)=；若對(duì)Vxt[O』都有

狀+應(yīng)_2,則實(shí)數(shù)/的取值范圍為.

五、解答題

13.(2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))若函數(shù)/。)=加+加-3x+c為奇函數(shù)，且在

(YO,T)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

⑴求函數(shù)/(力的解析式；

⑵若過(guò)點(diǎn)八(1,〃7)(〃7*-2)可作曲線)，=/("的三條切線，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

考法3:函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

一、單選題

1.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考二模)已知函數(shù)/*)=33+1-心+1,記等差數(shù)列應(yīng)｝的前〃

項(xiàng)和為S“，若/(6+2)=102,/(出必+2)=-100,則S2G23=()

A.-4046B.-2023C.2023D.4046

2.(2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，若/口+|)為偶函數(shù)且70)=2,

貝丫(2022)+/(2023)+/(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

3.(2023?陜西西安?長(zhǎng)安一中?？级?已知函數(shù)/("及其導(dǎo)函數(shù)尸(力定義域均為R,記函數(shù)

g(x)=f\x),若函數(shù)/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)中心對(duì)稱，g^r+,為偶函數(shù)，且8(1)=2,

\乙)

54

8(3)=-3,則￡儀幻=()

*-|

A.672B.674C.676D.678

4.(2023?四川資陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/")滿足〃l—x)=/(5+x),且〃x+l)是偶函數(shù)，當(dāng)

3

14x43時(shí)，/⑺=2'+］則川。員36)=()

5.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)=的圖像為（）

6.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（.'）的定義域?yàn)镽,且f（x+y）+國(guó)（x-y）=?/W（y）J（D=l,則

￡/（幻=（）

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

二、多選題

7.（2023?山東前澤?山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,力了+1）為奇函

數(shù)，且對(duì)VxwR,〃X+4）=〃T）恒成立，則（）

A.""為奇函數(shù)B./⑶=0C.d）=一/圖D.”2023）=0

8.（2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)/In）是奇函數(shù)，函數(shù)/（X+1）為偶函數(shù)，當(dāng)

XcRl］時(shí)，/（A）=el+/n,貝IJ（）

A.m=-\B.C./（x+8）=/（jf）D./（2023）=e-l

三、填空題

9.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)），=〃x）為R上的奇函數(shù)；K/（x）+/（2-x）=0,當(dāng)—l<x<0

時(shí)，“r)=Q,則”2023)+/,(等卜.

10.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃力及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,且滿足

/(尤)=/(一”—2x,x>0時(shí)，/'(力+1>0.若不等式/(x+lna)>/(x)—hw在12,y)上恒成立，則〃的

取值范圍是__________,

考法4：抽象函數(shù)的奇偶性

一、單選題

1.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考二模)已知/(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x,p滿足

/a-y)=/(x)g(.y)-g(“f(力且/(—2)=/⑴/0,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(O)=lB.函數(shù)g(2_x+l)H勺圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

2023

c.g⑴+g(-1)=()D,若/⑴=1,則Z/(〃)=l

2.(2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力及其導(dǎo)函數(shù)尸(力的定義域均為R,記

o\2023

g(x)=/'(x).若/&+3)為奇函數(shù)，gi+2x為偶函數(shù)，且晨0)=-3,g(l)=2,則Zg(i)=<)

I2)r=l

A.670B.672C.674D.676

3.(2023?安徽淮南?統(tǒng)考二模)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(-x)+/(x)+2cosx=0,當(dāng)途0時(shí)，

//(x)>sinx,則不等式〃")十2COSJV>/(兀-x)的解集為()

4.(2023?廣西玉林?統(tǒng)考三模)函數(shù)/(力對(duì)任意X,yeR總有f(x+y)=f(x)+〃y),當(dāng)x<0時(shí),

/W<0,/(1)=1,則下列命題中正確的是()

A./(力是偶函數(shù)B.7(x)是R上的減函數(shù)

C./(X)在［-6,6］上的最小值為-2D.若/(力+/(.13)2-1,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為［3,內(nèi))

5.(2023?四川成都?成都實(shí)外?？寄M預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)〃“滿足"X)=2-〃T),且函數(shù)

/。+1)是偶函數(shù)，當(dāng)xt［T0］時(shí)，=則/(等｝()

9、16…34「41

AA.—B.—C.—D.—

25252525

6.(2023?貴州黔西??？家荒?己知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱.若

"1)=3,則〃2)+〃3)+…+〃5())=()

A.3B.2C.0D.50

二、多選題

7.(2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-11)，

/(x)+/(y)=4產(chǎn)?］，且L當(dāng)xe(o，i)時(shí)，/W>0,則()

、1+孫J

A./(0)=0

B./(戈)是偶函數(shù)

C/(力為增函數(shù)

D.當(dāng)兀>。，且5+1=羌7,演=〈時(shí)，/(Z)=2"T

七十12

8.(2023?山西太原?太原五中?？家荒?已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(“對(duì)任意實(shí)數(shù)Xy都有

、、，、(\\

/(x+y)+/a—)，)=2/(x)/()，)，且/-=0,則以下結(jié)論一定正確的有()

A./(0)=-1B./(x)是偶函數(shù)

C./(x)關(guān)于中心對(duì)稱D.〃1)+/(2)+…+〃2023)=0

I」7

9.(2023?重慶萬(wàn)州?重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/("的定義域?yàn)閷?duì)任意的

都有=含)且=當(dāng)xe(OJ)時(shí)，/(力>0,則()

A./")是偶函數(shù)

B./(0)=0

C.當(dāng)A,“是銳角A/WC的內(nèi)角時(shí)，/(cos^)</(sinA)

D.當(dāng)%>°，且'=譬，苔=:時(shí)，/(4)=2〃-

%為2

10.(2023?福建芾田?統(tǒng)考二模)己知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,H.

/。+)，)/(不一月=/2(力_/2(#,/⑴=GJ(2X+￡|為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.”力為偶函數(shù)

2023

C./(3+x)=-/(3-x)D.￡/(幻二百

11.(2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽,/(x+g)為奇函數(shù)，且對(duì)于任

意xeR,都有/(2—3x)=/(3x),則()

A./(x+l)=/(x)B.)二。

C./(x+2)為偶函數(shù)D.f(x-g)為奇函數(shù)

三、填空題

12.(2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考二模)若定義在R上的函數(shù)〃力滿足：Vx,)，eR,

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且/(0)=1,則滿足上述條件的函數(shù)/(x)可以為.(寫(xiě)出一

個(gè)即可)

13.(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/*)與g(x)的定義域均為R,

/(x+1)+g(x-2)=3,/(x-1)-=1,且前-1)=2,煎％-1)為偶函數(shù)，則Z[/⑹+g(A)]=

考法5：由奇偶性求參數(shù)

一、單選題

1.(2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為m6,則在函數(shù)

/(x)=ln(x2+ax+/?)的值域?yàn)镽的條件下，滿足“函數(shù)？(％)=、志為偶函數(shù)〃的概率為()

2233

A.—B.—C.—D.—

17191719

2.(2023?山東濰坊??？寄M預(yù)測(cè))若/(x)=Mx+l)(x+a)(aeR)為奇函數(shù)，則〃的值為()

A.-1B.0C.1D.-1或1

3.(2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且〃x+4)+〃x)=0,當(dāng)0JW2時(shí)，

f(x)=舒，則/(一33),“19),f(40)的大小關(guān)系為()

A./(-33)</(19)</(40)B./(40)</(19)</(-33)

C./(-33)</(40)</(19)D./(40)</(-33)</(19)

4.(2023?廣東汕頭?金山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知/("是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)工目()』時(shí)，

〃x)=a-cos5x,若函數(shù)y=/(x+l)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的為()

A.?=1B./(%)的最小正周期7=4

C.y=/(.r)-|k)g6Al有4個(gè)零點(diǎn)D./(2023)>/(2022)

二、多選題

5.(2023?河北張家口?統(tǒng)考二模)將函數(shù)小)二必而伍與屋偽<父的圖象向左平移J個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到函數(shù),=g(x)的圖象，若g(i)-g(—x)=0恒成立，則()

A.函數(shù)g(x)的最小正周期為2北

B.函數(shù)g(力的圖象的對(duì)稱中心為住+g,￡|(&eZ)

C.函數(shù)/(x)在上的最小值為1,最大值為白

D.函數(shù)/")的極小值點(diǎn)為x=g+E(AwZ)

三、雙空題

6.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若/(x)=lna+J_+〃是奇函數(shù)，則〃=,b=.

四、填空題

7.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃“=/(叱2=27)是偶函數(shù)，貝陷=.

8.(2023?遼寧?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(x)=("l)/-公inx是奇函數(shù)，則曲線,，=/("在點(diǎn)(0,0)處的切線

方程為?

五、解答題

9.(2023?云南昆明?云南省昆明市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))對(duì)于函數(shù)/。)=1噌+〃

⑴若冢x)=/(「x),且g(x)為奇函數(shù),求。的值;

⑵若方程/（幻=間（〃-6次+2〃-用恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶設(shè)。＞0,若對(duì)任意北，當(dāng)不修￡版”1］時(shí)，滿足|/（再）-〃馬）歸皿2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

考法6：由函數(shù)奇偶性解不等式

一、單選題

1.（2023?貴州遵義??？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,若

/（r）_13=sin2,且當(dāng)xK（）時(shí)，2r（x）+cos5＞0,則/（23+冗）+1＞/（x）+sin辭2sin：+1）的解集

222212J

為（）

2.（2023?四川成都??？既＃┮阎瘮?shù)/（耳=j2+?2-'+2/-8工+7,則不等式/（21+3）＞/（工+2）的解

集為（）

A.（-L-；）B.（^o,-l）U（-^+c0）

C.（一1,1）D.（-oo,-1）u（l,-Ko）

JJ

3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)尸（%）的定義域均為R,且/'（力+?-'工也是

偶函數(shù)，若/'（2a-l）＜/S+l）,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-oo,2）B.（0,2）

C.（2,-KC）D.（-＜?,0）U（2,+oo）

4.（2023?河南商丘?商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知/（可是定義在R上的奇函數(shù)，/（3）=0,且

外力在（0,+e）上單調(diào)遞增，則不等式,（"）+2/Lx）＜。的解集為（）

A.（f,-3）U（3,田）B.（-3,O）U（O,3）

C.（—3,0）kJ（3,4-oo）D.（TO,-3）u（0,3）

5.（2023?河南商丘?商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知/（可是定義在R上的奇函數(shù)，/（3）=（）,若

工占滿足""A"*）＞。，則不等式/（力+2/（一力＜（）的解集為（）

Yx、,七€(0,+<?)且%

西一赴X

A.S，-3)U(3收)B.(-3,0)U(0,3)

C.(一3,0)53收)D.(-<X),-3)50,3)

6.（2023?重慶九龍坡?統(tǒng)考二模）已知偶函數(shù)/（x）的定義域?yàn)?其導(dǎo)函數(shù)為了'（X），當(dāng)

\一乙）2

TT

時(shí),有f'(x)cosx+/（"sinx＞0成立，則關(guān)于x的不等式〃力＞2/--cosx的解集為（）

X/

71It7171

A.B.

35335

7171n

C.D.

<-23亨3M的

（2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義在區(qū)間卜會(huì)向上的可導(dǎo)函數(shù)/"）關(guān)于》軸對(duì)稱，當(dāng)詞時(shí),

7.

r（x）cosQ/（x）sin（r）恒成立，則不等式外力_噌7＞0的解集為（）

tan.v

Jin717T

A.B.C.

4'3D邛用

8.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)y（x）=ig（klT+2、+2T,則不等式

〃尤+1）＜〃2”的解集為（）

A.(-co,-l)u(l,4<o)B.(-2,-1)

（口,一；卜（1,甸

C.(-oo,-2)U(l,-Ko)D.

二、填空題

9.（2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，/（x）=e1則滿

足f（x+l）2尸（月的x的取值范圍是

10.(2023?河南周口?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，/(X)在[0,*)上單調(diào)遞減,

且"3)=0,則不等式的解集為

x

考法7：奇偶函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

一、單選題

1.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)"力的定義域?yàn)镽,/(—)+/(力=0,/(1+1)是偶函數(shù)，

/(1)=-1,則f(2023)+/(2026)=()

A.0B.1C.-1D.2

2.(2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/⑴在定義域R上滿足/(-?+/*)=0,若/*)在(-8,0)上是

減函數(shù)，且/(-1)=。，則不等式的解集為()

A.(0,+oo)B.(-1.0)52)C.(-1,0)

3.(2023?青海西寧?統(tǒng)考二模)已知圖1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為)，=/(力，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)是()

A.y=f(-\x\)B.y=f(-x)C.y=/(|.r|)D.y=-f(-x)

4.(2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)镽,②/(X+1)為偶函數(shù)，③〃x+2)

為奇函數(shù)，④對(duì)任意的八,七目。1],且西工與，都有(%-七乂/(%)一/(9))>0，則

dfj仔)J件|的大小關(guān)系是<

5.(2023?河北石家莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,/(x-l)為奇函數(shù)，/*+1)為偶函數(shù)，當(dāng)

xc(—1,1)時(shí)，/(外=一/+|,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

(7、3

A./-=--B./(X+7)為奇函數(shù)

C.”V)在(6,8)上是減函數(shù)D.方程/(X)+lgl=O僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解

二、多選題

6.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃力，g(x)的定義域均為R,/(X+1)-1是奇函數(shù)，g(x+2)是偶函

數(shù)，且〃力_g(2+x)=4,g⑵=3,則().

A./(力為奇函數(shù)B.4為/(x)的一個(gè)周期

18

C./(2023)=-1D.￡/儀)=12

￡=1

三、填空題

7.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))某函數(shù)/⑴滿足以下三個(gè)條件:

①g(x)=/*)-l是偶函數(shù)；②g(2r)+g(x)=0；③/⑸的最大值為4.

請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)〃K)的解析式.

重難點(diǎn)04函數(shù)的奇偶性(7種考法)

【目錄】

考法1：函數(shù)奇偶性的定義與判斷

考法2：由奇偶性求函數(shù)解析式

考法3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

考法4：抽象函數(shù)的奇偶性

考法5:由奇偶性求參數(shù)

考法6：由函數(shù)奇偶性解不等式

考法7：奇偶函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

出二、命題規(guī)律與備考策略

一、奇函數(shù)

解題方法點(diǎn)撥：

①如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/Y0)=()解相關(guān)的未知量；

②若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(x)=-/(-x)解相關(guān)參數(shù)：

③已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達(dá)式，求它的小于0的函數(shù)表達(dá)式，如奇函數(shù)f(x),

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=hx

那么當(dāng)xVO時(shí)，-x>0,有/*(-幻=(-x)*2+(-x)=>-f(x)-八=f(幻=-

x2+,x

命題方向：

奇函數(shù)是函數(shù)里很重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同學(xué)們一定要熟悉奇函數(shù)的概念和常用的解題

方法，它的考查形式主要也就是上面提到的這兩種情況--求參數(shù)或者求函數(shù)的表達(dá)式.

二、偶函數(shù)

解題方法點(diǎn)撥：

①運(yùn)用/(4)=/(-*)求相關(guān)參數(shù)，如y=a/+Z?/+c"〃，那么a+c是多少？

②結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或者是某個(gè)特定的值，如偶函數(shù)/'

(-2)=0,周期為2,那么在區(qū)間(-2,8)函數(shù)與彳軸至少有幾個(gè)交點(diǎn).

命題方向：

與奇函數(shù)雷同，熟悉偶函數(shù)的性質(zhì)，高考中主要還是以選擇題或者填空題的形式考查

對(duì)偶函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

二.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【解題方法點(diǎn)撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(0)=0解相關(guān)的未知量：

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(x)=-f(-X)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用F(x)=f-x)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，

確保答題的正確率.

四.奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性

【解題方法點(diǎn)撥】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知：①奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)

的單調(diào)性相反.

eg：若奇函數(shù)/'(外在區(qū)間［1,3］內(nèi)單調(diào)遞增，且有最大值和最小值，分別是7和4,求函

數(shù)/*(*)在區(qū)間［-3,-1］內(nèi)的最值.

解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在［-3,?1］上位單調(diào)遞增函數(shù)，

那么最小值為/(-3)=-f(3)=-7；最大值為/(-1)=-/(1)=-4

【命題方向】

本知識(shí)點(diǎn)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，同學(xué)首先要熟悉奇偶函數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用，然后要多多總結(jié),

特別是偶函數(shù)與周期性相結(jié)合的試題，現(xiàn)在的一個(gè)命題方式是已知周期偶函數(shù)某一小段內(nèi)與

x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求在更大范圍內(nèi)它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，同學(xué)們務(wù)必多多留意.

五.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解題方法點(diǎn)撥】

參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/'(())=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(x)=-/(-%)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f(x)=f(-x)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反

【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié),

一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

六.抽象函數(shù)及其應(yīng)用

【解題方法點(diǎn)撥】

①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來(lái)，如/.(戶y)=/.(*)+/.(/,它的原

型就是y=kx；

②可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決

例：F(孫)=f(—+r(y),求證F(l)=/(-1)=0

令x=y=l,則/'(1)=2/,(1)=F(1)=0

令x=y=-1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函數(shù)，也可以運(yùn)用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的奇偶性；

【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

抽象函數(shù)是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種.高考

中一般以中檔題和小題為主，要引起重視.

出三、題型方法

考法1:函數(shù)奇偶性的定義與判斷

一、單選題

1.(2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))果樹(shù)的負(fù)載量，是影響果樹(shù)產(chǎn)量和質(zhì)鼠的重要因素.萍果

樹(shù)結(jié)果期的負(fù)教量y(單位；kg)與干周x(樹(shù)干橫截面周長(zhǎng)，單位；cm)可用模型

?，=%+4/一%/模擬，其中如年,%均是常數(shù).則下列最符合實(shí)際情況的是()

A.4=0時(shí)，)，是偶函數(shù)B.模型函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形

C.若“，打均是正數(shù)，貝卜，有最大值D.蘋(píng)果樹(shù)負(fù)載量的最小值是4

【答案】C

【分析】因?yàn)槭?32-4爐的定義域?yàn)椋。?。｝，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可判斷A,B：對(duì)

函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)性，可判斷C,D.

【詳解】因?yàn)閥=4+4/-8/的定義域?yàn)椋。?｝,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A不正確；

模型函數(shù)的圖象也不可能是中心對(duì)稱圖象，故B不正確；

y=孫-靖二耳劭-33)=0,則x=0或“算

2b,八

若風(fēng)匕均是正數(shù)，則“米＞°，

2b2b

令y'vo,貝|」工>才；令y'>0,ijiijo<x<—1

所以函數(shù)在(0,剽上單調(diào)遞增，在管

，+co上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)X=g=時(shí)，y有最大值，故C正確;

y=2^,x-W=x(2b]-3b2x)=0,若々〉()也＜0,則八0,

函數(shù)在(o,十R)_L單調(diào)遞增，所以蘋(píng)果樹(shù)負(fù)載量的最小值不是名,故D不正確.

故選：c.

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合函數(shù)值的符合分析判斷.

【詳解】由題意可得：/a）的定義域?yàn)镽,

因?yàn)椤?「衍t)31n(閃+,31n(Jx?+1+x

=一/。）'

l+|x|l+|x|l+|x|

所以/（x）為奇函數(shù)，排除B,D.

當(dāng)x>0時(shí)，則l+|x|>0,Jx2+i+x>],可得ln(6+l+x)>0,

所以八幻>0,排除A.

故選：C.

3.（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/。）=：-*匕，/*）是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.f（-x）-f（x）=0

B.ru）＜o(jì)

C.若。＜玉＜/，則司/（巧）＞%/（%）

D.若。＜$＜*，則/（玉）+/（W）＞/（玉+%2）

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性概念判斷A,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值域判斷B,利用特例法排除選項(xiàng)C,

利用指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷D.

I12'-1

【詳解】對(duì)于A,易知xwR，/(x)=---=^7^

2~x\-2x

所以〃一幻二后不二而F，所以/（r）=—/（x），錯(cuò)誤;

4（4?1）1?乙）

對(duì)于B,因?yàn)?*）=：-/，所以/，。）=諼為,

由ln2>0知外處>0,錯(cuò)誤;

對(duì)于C，川）=1小4"2）十七哈,

雖然0<1<2,但是lx/（2）<2x/（l）,

故對(duì)0〈內(nèi)〈/，王/（工2）>9/a）不恒成立，錯(cuò)誤;

對(duì)于D,函數(shù),

22'+122+2

皿，/\i(\2%_12町—1，/、2、+肛_]

人J/&)+/(/)=2(2演+1)+2(2即+1)',(*+W)=2(2$，+1)'

因?yàn)殡?gt;%>0,所以2與>2項(xiàng)>1，所以2"(2與一1)>2々一1>0,

所以+1>2怎+2必，所以2?2?電+2>2W+2”+24+1，

即2(2f+1)>⑵+1)(2^+1),所以赤：齊v>齊J，

(Z14-1)(2+I)Z-+I

,以(2馬+1)(2必+1)2r'^+l'

又(2*-l)(2X2+l)+(2tj-1)(2X'+1)=202-1),

(2"一])(2”+1)+(2切_])(2&+1)〉2人―-1

加上(21'+1)(2^+1)>2Mi+l，

(2*1-1)(2”+1)+(2M-1)(27+1)2片慫_1

所入2(2X'+1)(2V2+1)>2(2%F+1)，

2r--l2V2-1232-1

即-------+-------->----------,

2(2*+1)2(2"+1)2(2再+4+1)

所以/(X1)+/(赴)>/(百+看)，正確.

故選：D

4.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考二模)已知工，，且=0則

44J(4y+smycosy+fl=0

tan(x+2y)=()

K

A.0B.—C.1D.75

3

【答案】A

【分析】+sinx-2a-。,4/1+sinycosy+a-0抽象為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，分析函數(shù)

的性質(zhì)，利用函數(shù)值的關(guān)系，求出自變量的關(guān)系，進(jìn)而求解.

【詳解】由已知F+sinx=2a,8y3+2sinycosy+2?=0,

所以(r)'+sin兀(一力=-2a,(2y)3+sin2y=-2a,

設(shè)/⑺=/+sin/,fe,JJl!!/(-x)=/(2y)=-2a,

函數(shù)/Q)=/+siiW的定義域?yàn)?，定義域關(guān)『原點(diǎn)對(duì)稱,

又f(-t)=(-/)'+sin(t)=-t3-sinr=-/(0?

所以函數(shù)/a)=r+sin/,fe—為奇函數(shù)，

TT

當(dāng)fe0,-時(shí)，函數(shù)y=/,y=sin，都為增函數(shù)，

所以函數(shù)/a)=〃+sin/在0,1上單調(diào)遞增，

由函數(shù)/Q)=r'+sin/,re為奇函數(shù)，

可得函數(shù)/(f)=/+sin/在上單調(diào)遞增，