不等式期末復(fù)習(xí)講義

一、知識(shí)點(diǎn)

1.不等式性質(zhì)

比較大小方法：（1）作差比較法（2）作商比較法

不等式的基本性質(zhì)

①對(duì)稱性：a>>a

②傳遞性：a>b,b>o>c

③可加性：a>bzz>a+c>b+c

④可積性：a>b,c>0=>>；

a>b,c<On<；

⑤加法法則：a>b,c>d=>a+c>b+d

⑥乘法法則：a>b>0,c>d>0>

⑦乘方法則：a>b>0,>（nEN）

⑧開方法則：a>b>0,

2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：

（1）如果a、bER,那么a?+b222（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)）

（2）如果a、b￡R+,那么小2而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)）

2

推廣：

如果為實(shí)數(shù)，則

重要結(jié)論

1）如果積是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2；

（2）如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，和有最大值

S2/4o

3.證明不等式的常用方法：

比較法：比較法是最基本、最重要的方法。當(dāng)不等式的兩

邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較

法；當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小,

則選擇作商比較法；碰到絕對(duì)值或根式，我們還可以考慮作

平方差。

（1）綜合法：從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等

式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用

到均值不等式。

（2）分析法：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過(guò)尋找不等

式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到

尋找到易證或已知成立的結(jié)論。

（3）4.不等式的解法

（4）不等式的有關(guān)概念

同解不等式：兩個(gè)不等式如果解集相同，那么這兩個(gè)不

等式叫做同解不等式。

同解變形：一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí)，如果這兩個(gè)

不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解變形。

提問(wèn)：請(qǐng)說(shuō)出我們以前解不等式中常用到的同解變形

去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)

(5)不等式>b的解法

①當(dāng)a>0時(shí)不等式的解集是｛>｝；

②當(dāng)a<0時(shí)不等式的解集是｛<｝；

③當(dāng)0時(shí)<0,其解集是R；b>0,其解集是(1)。

(4)絕對(duì)值不等式

IxI<a(a>0)的解集是{xI—a<x<a},幾何表示為:

oo

—a0a

IxI>a(a>0)的解集是{xIxV—a或x>a},幾何表示為:

—a0a

小結(jié)：解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是一去絕對(duì)值符號(hào)(整體思想，分類討

論)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式，通常有下列三種解題思路：

(1)定義法：利用絕對(duì)值的意義，通過(guò)分類討論的方法去掉絕對(duì)值符

號(hào)；

(2)公式法：|f(x)|>af(x)>a或f(x)<—a；|f(x)|<a

—a<f(x)<a；

(3)平方法：|f(x)|>a(a>0)f2(x)>a2；|f(x)|<a(a>0)

f2(x)<a2；(4)幾何意義。

(5)分式不等式的解法

(6)一元高次不等式的解法

數(shù)軸標(biāo)根法

把不等式化為f(x)>0(或V0)的形式(首項(xiàng)系數(shù)化為正)，然后分

解因式，再把根按照從小到大的順序在數(shù)軸上標(biāo)出來(lái)，從右邊入手畫

線，最后根據(jù)曲線寫出不等式的解。

(7)含有絕對(duì)值的不等式

定理：一ww+

中當(dāng)0或〉且<0等號(hào)成立

中當(dāng)且僅當(dāng)20等號(hào)成立

推論1:Ial+a2+a3|Ial|a2+|a31

推廣：Ial+a2+—I-Ial|a，2|+???+|

推論2:—W—W+

二、常見題型專題總結(jié)：

專題一：利用不等式性質(zhì)，判斷其它不等式是否成立

La、b￡R,則下列命題中的真命題是(C)

A.若a>b,則>B.若a>b,則1<1

C.若a>b,則a3>b3D、若a>b,則>1

2.已知水0.一則下列不等式成立的是(D)

A.a?2B、2?a

C.>a>2D.>2>a

3、當(dāng)0〈a〈b〈l時(shí)，下列不等式成立的是(D)

A.(l-a)l>(l-a)bB、(l)a>(l)b

C.(1—a)b>(1—a)2D.(l-a)a>(l-b)b

4、若3>3>0,則a、b的關(guān)系是（B）

A.0<a<b<lB、b>a>l

C.0<b<a<lD.l<b<a

5、若a>b>0,則下列不等式①下1；②&2>b2；③（a2+1）>（b2+l）；④2a>2b

中成立的是（A）

A.①②③④B、①②③C、①②D、③④

（二）比較大小

1.若0<a<B<兀/4QQBB,貝U（A）

A.a<bB.a>bC.<1D.>2

2、a、b為不等的正數(shù)，nGN,則（）一（一1）的符號(hào)是（C）

A.恒正B、恒負(fù)

C.與a、b的大小有關(guān)D.與n是奇數(shù)或偶數(shù)有關(guān)

3.設(shè)IVxVIO,則22（）的大小關(guān)系是2>2x>（）

4,設(shè)a>OWl,比較2與⑴/2的大小。

分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測(cè)各式大小關(guān)系，然后

用比較法（作差）即可。

（三）利用不等式性質(zhì)判斷P是Q的充分條件和必要條件

1.設(shè)x、y￡R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系

⑴命題甲：x>0且y>0,命題乙：>0且>0充要條件

⑵命題甲：x>2且y>2,命題乙：>4且>4充分不必要條

件

2、已知四個(gè)命題，其中a、beR

①a?。?的充要條件是<；②a?。?的充要條件是I?；③a?2?的充要條件是

0與(a-b)異號(hào)；④a?〈b2的充要條件是()與(一)異號(hào).其中真命題的序

號(hào)是o

3.“>2c”的一個(gè)充分條件是(C)

A.a>c或b>cB、a>c或bVcC、a>c且b>cD、

a>c且b<c

(四)范圍問(wèn)題

1.設(shè)60VaV84,—28VbV33,求：一的范圍。

2、若二次函數(shù)(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且lWf(—l)W2,3Wf(l)W3,求

f(—2)的范圍。

(五)均值不等式變形問(wèn)題

1.當(dāng)a、b￡R時(shí)，下列不等式不正確的是(D)

A.a2222?B、(22)22

C.(22)2Wa2/22/2D.1/2(a22)21/2(2?)

2、x、y￡(08),則下列不等式中等號(hào)不成立的是(A)

C.()(11)24D.(22)2^2222

3、已知a>0>01,則(12—1)(12—1)的最小值為(D)

A.6B.7C.8D.9

4.已知a>0>0>0,1,求證：11129

5、已知a>0>0>0>0,求證：

（六）求函數(shù)最值

L若x>4,函數(shù)

5.大、一6

2、設(shè)x、yER,5,則33y的最小值是（）D

A.10B.C.D.

3.下列各式中最小值等于2的是（）D

A.B.C.a□D.22-x

4.已知實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足75,求（）2+（）2的最小值。

5.已知x>0>0,21,求11的最小值。

（七）實(shí)際問(wèn)題

1.98（高考）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀

箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為，高度為，已知流出的水中

該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60m2,問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí),

沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A.B孔的面積忽略不計(jì)）。

解一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y,

由題意，其中k為比洌系數(shù)（k〉0）

據(jù)題設(shè)2X22260（a>0>0）

由a>0>0可得0<a<30

令2,則一2

從而

2+atttVf

當(dāng)且僅當(dāng)64,即86時(shí)等號(hào)成立。???218

當(dāng)6時(shí)3,

綜上所述，當(dāng)63nl時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

解二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y,由題意，其中k為比例系數(shù)

(k>0)

要求y的最小值，即要求的最大值。

據(jù)題設(shè)2X22260(a>0>0),即230

即63時(shí)，有最大值，從而y取最小值。

綜上所述，當(dāng)63m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

2.某工廠有舊墻一面長(zhǎng)14米，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩

形，面積為126米2的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費(fèi)用為

a元；②修1米舊墻的費(fèi)用為4元；③拆去1米舊墻用所得材料建1米

新墻的費(fèi)用為2元.經(jīng)過(guò)討論有兩種方案：⑴利用舊墻的一段x(x<14)

米為矩形廠房的一面邊長(zhǎng)；⑵矩形廠房的一面長(zhǎng)為x(x214).問(wèn)如何利

用舊墻，即x為多少米時(shí)，建墻費(fèi)用最省？⑴⑵兩種方案哪種方案

最好?

解：設(shè)總費(fèi)用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為

126米。

⑴若利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長(zhǎng)，則修舊墻的費(fèi)用

為x?4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費(fèi)用為(14—x)?2元，其余

的建新墻的費(fèi)用為(22726—14)?a元，故總費(fèi)用

當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)等號(hào)成立，??.x=12時(shí)7a(6-l)=35ao

⑵若利用舊墻的一段x米(x214)為矩形的一面邊長(zhǎng)，則修舊墻的費(fèi)用

為x?4元，建新墻的費(fèi)用為(22726—14)?a元，故總費(fèi)用

設(shè)f(x)126,x2>xl214,則f(x2)—f(xl)=x2+1262—(xl+1261)

=(x2-xl)(1-1261x2)>0Af(x)126[14,+8)上遞增,.?.f(x)2

f(14)

A14時(shí)72+2a(14+126/14-7)=35.5a

綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長(zhǎng)，建墻費(fèi)

用最省。

(八)比較法證明不等式

1.已知a、b^m>n￡,證明：2

變：已知a、b￡,證明：a332a22

2、已知a、be(x)=2x2+11,證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)p、q恒有a?f(p)(q)

2f()

(九)綜合法證明不等式

1.已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：

2.已知a、b、ceR,且1,求證：a22221/3

3、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，且1,求證：

4、已知a>be,1,求證：

(十)分析法證明不等式

1.已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：》

2.已知函數(shù)f(x)(l-l)Lx2￡(0,1/2),且xlWx2,求證:

3、設(shè)實(shí)數(shù)滿足2=0,0<a〈l,求證：()<2-1/8

(十一)反證法、放縮法、構(gòu)造法、判別式法、換元法等證明不等式

［設(shè)f(x)2,求證：⑴|、(2)|、(3)|中至少有一個(gè)不小于1/2。

2.若X22W1,求證2+2—y21W.

3.已知a>b>c,求證：

4、已知a、b、c￡R+,且〉c求證：.

5.已知a、b、cER,證明：a22+3b()20,并指出等號(hào)何時(shí)成立。

分析：整理成關(guān)于a的二次函數(shù)f(a)2+(3b)3b2+32

:△二(3b)-4(3b2+32)=-3(b2+22)WO

???f(a)20

6.已知：x2—2+y2+x+y+1=0,求證：1/3WW3

7、在直角三角形中，角C為直角，口22且口￡此求證：2+

（十二）解不等式

1.解不等式：

2、解關(guān)于x的不等式：

（十三）不等式應(yīng)用

不等式的應(yīng)用主要有三個(gè)方面：一是能轉(zhuǎn)化為求解不等式（組）的有關(guān)

問(wèn)題（如求函數(shù)的定義域、討論一元二次方程的根的分布等）；二是能

轉(zhuǎn)化為不等式證明的有關(guān)問(wèn)題（如證明函數(shù)的單調(diào)性）；三是能轉(zhuǎn)化為

重要不等式的極端情形解決的最值問(wèn)題。

L已知f（x）的定義域是（0,1],則函數(shù)的定義域是。

[—5,—2）U（1,4]

2.已知不等式2>0的解集是｛a<x<P｝（0<a<p）,求不等式2<0的解集。

3.設(shè)（x20）.⑴求證：f（x）是減函數(shù);⑵求f（x）的值域。

4.由于對(duì)某種商品實(shí)行征稅，其售價(jià)比原價(jià)上漲，漲價(jià)后商品賣出量

減少,已知稅率為銷售金額的20%.

⑴為實(shí)現(xiàn)銷售金額和扣除稅款的余額y不比原銷售金額少，求上漲率

的取值范圍；

⑵x為何值時(shí)，y最大？（保留一位小數(shù)）

解：設(shè)原價(jià)為a,銷售量為b,則

當(dāng)且僅當(dāng)1+=25/9—,即=8/9..,?x=88.9時(shí)y最大。

(十四)恒成立問(wèn)題

1.若不等式a<(—3-7])對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.a21B.a>lC.0<a<lD.a<l

2、關(guān)于x的不等式2x-l>a(x-2)的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

3.如果關(guān)于x的不等式的解集總包含了區(qū)間(1,2],求實(shí)數(shù)a的取

值范圍。

解：由題設(shè)可知，原不等式在(1,2]中總成立，???a>0且a+x>l

原不等式等價(jià)于⑵v(),等價(jià)于2Va+x,等價(jià)于(1—2a)x+a>0

設(shè)f(x)=(l—2a)x+a,則f(x)>。在(1,2]中總成立,故有

4.設(shè)對(duì)x￡R有恒成立，試求n的值。

分析：原不等式等價(jià)于

由題意不等式Q)的解集為R

又x21恒大于零，所以不等式(1)等價(jià)于(3—n)x2+(2—n)x

+(2-n)>0(2)故不等式(2)的解集為R,從而有

所以nV2,又n￡N,所以n=0或1

5、若f(x)=(n)2—l)x2+(m+l)x+l>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)

數(shù)m的取值范圍。

6.已知函數(shù)

⑴當(dāng)1/2時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值；

⑵若對(duì)任意x￡[1,+8)(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(十五)絕對(duì)值不等式定理中等號(hào)成立的問(wèn)題

L解關(guān)于x的不等式22

2、證明：122

(十六)絕對(duì)值不等式的證明

1.設(shè)a￡R,函數(shù)f(x)2-a(-lWxWl).

⑴若W1,求證(x)|W5/4；

⑵若函數(shù)f(x)有最大值17/8,求實(shí)數(shù)a的值。

2、已知一<￡/2_<￡/2,且0<yVA,求證：一V￡

十計(jì)W+引士囹\b\

3、求證：1+|0+曠1+團(tuán)+1+0|

(十七)探索性問(wèn)題

1.是否存在自然數(shù)k,使得不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，若存在,

求出k的最大值；若不存在，說(shuō)明理由。

解：令

Af(l)>f(n),即f(n)在N+上是增函數(shù)，.?.f(n)的最小值是f(l)

又f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12

故對(duì)一切正整數(shù)n使得f(n)>2a-5的充要條件是13/12>2a-5,Z.

a<73/24

故所求自然數(shù)a的最大值是3。

2.已知拋物線(x)2過(guò)點(diǎn)(一1,0),問(wèn)是否存在常數(shù)a、b、c,使得

不等式x^f(x)W(12)/2對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立？

解：假設(shè)存在常數(shù)a、b、c,使得xWf(x)W(12)/2對(duì)一切實(shí)數(shù)x

恒成立，

令x=l有l(wèi)Wf(l)Wl,Af(l)=l,即a+b+c=l①

;拋物線過(guò)點(diǎn)(一1,0)Aa-b+c=0②

解①②得：1/21/2—a,???f(x)22+l/2-a

由xWf(x)W(12)./2得2xW2?l-

A1/4,

三、數(shù)學(xué)思想與方法

(-)分類討論的思想：

1、設(shè)f(x)=13(x)=22,其中x>0且xNl,試比較f(x)與g(x)的大

小。

2.解關(guān)于x的不等式

分析：①當(dāng)a<一l時(shí)，原不等式的解集為{Wa或一IVxVl}

②當(dāng)一IVaV時(shí)，原不等式的解集為{<一1或aWxVl}

③當(dāng)a>l時(shí)，原不等式的解集為{<一1或IVxWa}

④當(dāng)a=l時(shí)，原不等式的解集為{<—1}

⑤當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式的解集為{<1且xW-l}

(二)數(shù)形結(jié)合的思想

L關(guān)于x的方程x2—x—(m+l)=O只在[—1,1]上有解，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.1一5/48)B.(-5/4,-1)C.[-5/4,1]

D.(―°°,11

2.設(shè)k、a都是實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程|2x—l(x—a)對(duì)于一切實(shí)數(shù)k

都有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

3、已知OVaVl,OVbVl.求證：

分析觀察待證式左端，它的每個(gè)根式都使我們想到△中的等式

a222,激起我們構(gòu)造平面圖形利用幾何方法證明這個(gè)不等式的大膽想

法.

如圖27-3,作邊長(zhǎng)為1的正方形，分別在、上取，，過(guò)E、G分別

作、的平行線，交、于F、H,、交于0點(diǎn).由題設(shè)條件與作圖可知，△、

△、△、△皆為直角三角形.

再連結(jié)對(duì)角形，，易知，2,2,

(三)函數(shù)與方程的思想

L函數(shù)f(x)(x21)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2、已知，若f(x)在(-8,1］有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

3.設(shè)不等式2-2x<m-l對(duì)于滿足<2的一切實(shí)數(shù)m都成立，求x的取

值范圍。

分析：設(shè)f(m)=(x2-l)mI2x-l,則對(duì)于滿足這2的一切實(shí)數(shù)m都有

f(m)<0

Af(-2)<0>f(2)<0

4.已知x、y、z￡(0,1),求證：x(1—y)+y(1—z)+z(l—x)<1

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x(l—y)+y(l—z)+z(l—x)—1

即f(x)=(1—y—z)x+y(1—z)+z—1

當(dāng)1—y一z=。，即y+z=1時(shí)，

f(x)=y(1—z)+z—1=y+z—1—二一<0

當(dāng)1—y—zW0口寸，f(x)為一次函數(shù)，又x￡(0,1),由一次

函數(shù)的單調(diào)性，只需證明f(0)<0,f(l)<0

*/y>zW(0,1)

/.f(0)=y(1—z)+z—1=(y—1)(z—1)<0

f(1)=(1—y—z)+y(1—z)+z—1二一<0

???對(duì)任意的*￡(0,1)都有f(x)<0

即x(l—y)+y(1—z)+z(l—x)<1

（四）轉(zhuǎn)化與化歸思想

1.關(guān)于x的方程4(m-3)-20有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍。

(五)換元的思想

L解不等式：

變：關(guān)于x的不等式的解集為［—5/2,2),求實(shí)數(shù)a、b的值。

2、

(六)1的代換

1.已知a、be,LyER,求證：223()2

2.己知x、y都是正數(shù)，a、b都是正常數(shù)，且+=1,求證：

3.已知x、y都是正數(shù)，且x+y=1,求證：(1+1)(1+1)29

4、已知x、y￡,且1+9=1,求x+y的最小值。

5.若0Vx<l>0,b>0,求+(1—x)的最小值是。

6^已知是正數(shù)，且a+b=1,求證：(+)(+)2

分析：??,是正數(shù)，且a+b=1

???(+)(+)=a2+24-2+b2

=(a2+b2)(x2+y2)=(1-2)(x2+y2)

=(x2+y2-2)=+(x—y)?.

(七)特殊與一般的思想

1.已知a>b、c￡R,函數(shù)f(x)=2++c,g(x)=2+a,當(dāng)

時(shí)，有(x)W2。(1)求證：(1)|<2；(2)求證：當(dāng)W1時(shí)，(x)

<4.

證：(1)???當(dāng)W1時(shí)，(x)|W2,，⑴|W2

又⑴|=(1)|A(1)|<2

(2)Vf(x)=2

Af(l)=(-1)=a-,f(0)=c

/.[f(1)(-1)-2f(0)]/2[f(D(-l)]/2

???W1時(shí)(x)|W2/.(1)|S2(-1)|S2(0)|W2

???(江

2f(0)+[f(1)(-l)]2+[f(1)(-l)-2f(0)]/2|

(x2-l)f(0)+(l)f(l)/2+(l)f(-l)/2|

W|6-1)儀0)⑴f⑴/2⑴f(-l)/2|

(1)/2(1)|(1)/2(-1)(1-X2)(0)|

<1+12=4

小結(jié)：對(duì)于二次函數(shù)f(x)2

(0)

2(1)(-l)-2f(0)

2(l)-f(-l)

2.已知a>b、c￡R,函數(shù)f(x)=2++c,g(x)=+b,當(dāng)一IWx

時(shí)，有(x)Wl。(1)證明：Wl；(2)證明：當(dāng)一l〈xWl時(shí)，(x)|

W2；(3)設(shè)a>0,—IWxW