考向07函數(shù)的單調(diào)性與最值

【2021?北京?高考真題】已知./V）是定義在上［。,1］的函數(shù)，那么“函數(shù)/（'）在［0』］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/（X）在

。1〕上的最大值為/⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A

【解析】

分析：

利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

若函數(shù)/'（X）在［05上單調(diào)遞增，則在［0』上的最大值為了⑴，

若“力在［0』上的最大值為F⑴,

比如?。?「-［

(n在。,（為減函數(shù)，在;」為增函數(shù),

但f(x)=X——

I3J

故在［05上的最大值為了⑴推不出/"）在［。，1］上單調(diào)遞增,

故”函數(shù)『3在［0』上單調(diào)遞增”是在［0,1］上的最大值為―⑴”的充分不必要條件，

故選：A.

［202（）?山東?高考真題】已知函數(shù)“X）的定義域是R,若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)占，巧，息有

/&）］7（內(nèi)）＞0成立,則函數(shù)/（另一定是（）

X2-X\

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

答案：C

【解析】

分析：

利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.

【詳解】

對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)為，々，總有一"2＞。成立,

等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)用＜忌.總有/（%）＜/&）.

所以函數(shù)/（X）一定是增函數(shù).

故選:C

1.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)定義內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的。

2.函數(shù)/（x）在給定區(qū)間上的單調(diào)性是函數(shù)在該區(qū)間上的整體性質(zhì)。

3.函數(shù)的單調(diào)定義中的西、々有三個(gè)特征：（1）任意性（2）有大?。?）屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間。

4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先求定義域。

5.判斷函數(shù)單調(diào)性常用以下幾種方法：

（1）定義法：一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號(hào)一得出結(jié)論.

（2）圖象法：如果/（幻是以圖象形式給出的，或者/（幻的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單

調(diào)性.

（3）導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（4）性質(zhì)法：（1）對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，艱據(jù)各初等函數(shù)的增減性及/（用士g（x）增

減性質(zhì)進(jìn)行判斷；

6.求函數(shù)最值（值域）的常用方法

（1）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

（3）基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

（4）導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

1.單調(diào)性技巧

（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)X，/是“X）定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且玉VX”

②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

（3）記住幾條常用的結(jié)論：

①若/（x）是增函數(shù)，則-/（/）為減函數(shù)：若/（幻是減函數(shù)，則-/（幻為增函數(shù)；

②若/（x）和g（x）均為增（或減）函數(shù)，則在/（幻和g（x）的公共定義域上/（x）+g（x）為增（或減）函

數(shù)；

③若/。）＞0且/（%）為增函數(shù)，則函數(shù)，而為增函數(shù)，―匚為減函數(shù)；

/3）

④若/。）＞0且/（幻為減函數(shù)，則函數(shù)J麗為減函數(shù)，」一為增函數(shù).

J（x）

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（幻的定義域?yàn)锳,區(qū)間OqA：

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值%,不當(dāng)時(shí)，都有/（%）＜/（王），那么就說/"）在區(qū)間。

上是增函數(shù).

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值百，戈2,當(dāng)辦〈超時(shí)，都有〃X）＜f（W），那么就說/（X）在區(qū)間。

_L是減函數(shù).

①屬于定義域4內(nèi)某個(gè)區(qū)間上：

②任意兩個(gè)自變量N，馬且占＜々；

③都有/（X）＜f（x2）或/（X.）＞f（x2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)/（幻在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)/（外在區(qū)間。上具有

單調(diào)性，。稱為函數(shù)/（x）的單調(diào)X間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增

（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函

數(shù).

2.函數(shù)的最值

前提一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

（1）對(duì)于任意的X",都有/（x）KM；（1）對(duì)于任意的xw/，都有/（x）NM；

條件

（2）存在與€/,使得/（%）="（2）存在使得/（."）="

結(jié)論M為最大值M為最小值

1基編）

1.（2023?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)/（1）=1112一,一寸，則不等式

/（3-丁）＞/（21-5）的解集為（）

A.（T,2）B.（—2）

C.（^?,-2）u（2,+oo）D.（f,-4）D（2,+8）

2.（2023?吉林長春?模擬預(yù)測(cè)（理））對(duì)任意不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)為，x?,滿足"G+MA/GNH/QM）

的函數(shù)是（）

A.f（x）=2xB./（x）=In2x

C./（x）=sin2xD.f（x）=2l

3.（2023?陜西?寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間［05上單調(diào)遞增的是（）

A.y=sin2xB-y=771

C.y=x+—D.y=bgix+

4.（2。23?浙江?高三專題練習(xí)）若不等式嘀…心（心。且”1）對(duì)任意榜吟都成立.則。的取值

范圍是（）

A。（。苧B.m)C.(―)D.(0.1)

5"2。23?河北?石家莊二中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)/⑴=%ss"n卜+川+/）在區(qū)間［-5,5］的最大值是

M最小值是〃?，則/（M+m）的值等于（）

A.0B.1007D-?

6.（2023?浙江?高三專題練習(xí)汜知函數(shù)"X）=2［2'-a］,若004］時(shí)"X）＜1,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（)

A.B.7

3，

35

C.D.

1;2,3

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)（文））函數(shù)/（x）=2020x+sin2x,若滿足/（/+"+/（IT）20恒成立，則實(shí)

數(shù)l的取值范圍為（）

3

A.[2,-Ho)B.[1,+CC)C.—00,—D.(-coJi

4

1.（2023?江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè)）已知a=ki%,b=eT,c=（9-31n3）e7,則a,b,。的大小為（）

A.a<b<cB.a<c<hC.c<a<bD.b<c<a

2.(2023?青海?模擬預(yù)測(cè)(理))^0<a<b<\f則()

A.-ea<In/?-InaB.-ett>\nb-\na

C.bea<aehD.betl>aeb

3.(2023?河南?開封市東信學(xué)校模隊(duì)預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)

1231001

f(x)=x^\a=/(log23),^=/(-log58),c=/(-2),則小4c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

4.(2023?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的函數(shù)滿足"1)=1,對(duì)于V、，々wR，

當(dāng)力氣時(shí),都有/(內(nèi))-/(工2)<2(王一工2)，則不等式“小2工)+1<1%”的解集為()

A.(—,2)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,-KO)

5.(2023?江西萍鄉(xiāng)?三模(理))設(shè)a=21nl.01,/7=VL02-1,擊，則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<a<cD.c<b<a

6.(2023?湖北?黃岡中學(xué)三模)若函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，對(duì)任意的內(nèi),A2a2,+00),且用工馬，都有

(5一玉)[/(%)-/(玉)]〈。,則1)

6

A./(Iog26)<</(log312)B."log?⑵</1^</(>og2)

C.>/(^gz6)>/(log312)D./(logJ2)>/(log,6)>

7.(2023.河南?模擬預(yù)測(cè)(文))設(shè)偶函數(shù)在(0,+")上單調(diào)遞漕，且/(4)=0,則不等式"+:(一”<0

2x

的解集是()

A.(-43)B.(yO)J(O,4)

C.(-4,0)U(4,-KX))D.(f,-4)U(0,4)

8.(2023?安徽?合肥一中模擬預(yù)測(cè)(理))設(shè)函數(shù)“rA/'+e忖-])(y<x<4),若

/(2x+l)+/(2)</(l-2x),則x的取值范圍是()

31

---

A.292

jr2-2av+9,x<1

9.(2023?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè))設(shè)awR,函數(shù)〃x)=,16.,，若/(力的最小值為了⑴，

廠+---3a,x>\

x

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[L2]B.[1,3]C.[0,2]D.[2,3]

1().(2023?浙江?溫州中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知〃/w[0,2],則/一。+忸一4的最大值為()

7Q

A.3B.-C.4D.-

22

11.(2023?河南?開封高中模擬預(yù)測(cè)(文))若關(guān)于x的不等式。?加>澗+l(xwR)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（)

A.（1,-K?）B.（2,4-00）c.［1,4-00）D.［2,+00）

12.（2023?陜西?榆林市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)/（x）=lnx,若對(duì)任意玉，王40,田）,

片［/（石）-/（8）］之七（小1-%2）恒成立,則〃?的最大值為（）

A.-IB.0C.1D.e

13.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/"）=1,則/（x）的最大值為______.

——x+l,x>1

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）Scos50-sin50>7（cos30-sin'0）,0e［0,2n］,則〃的取值范圍是

15.（2023?上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=YYN+8的單調(diào)減區(qū)間是_____.

16.（2023?北京密云?高三期末）設(shè)函數(shù)/（幻滿足條件VxtR,/（-x）=/（x）,f（x+2）=f（x）f且在區(qū)間［0,1］

2A/

上，/（幻='其中集中M={X|X=」、,〃2￡N}.給出下列四個(gè)結(jié)論：

x.x^M.m+1

59

①f弓）=3

416

②函數(shù)f（x）的值域?yàn)?。U;

③函數(shù)?。┰冢ㄉ?，"4）（'〃匕N）L單調(diào)遞增；

④函數(shù)/（幻在⑵〃-1,2m］（m￡N）上單調(diào)遞減.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

17.（2023?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=|lnx-a+a（a>0）在［1,/］上的最小值為八則。的

值為.

18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=|2e；l|-2x的最小值為.

J真題練

1.12023?北京?高考真題)已知/(/)是定義在上的函數(shù),那么“函數(shù)/(*)在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/("

在［0,1］上的最大值為了⑴”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.(2023?全國?高考真題(文))下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.f(x)=-xB./(%)=圖C.f(x)=x*2*456789D.f(x)=^fx

3.(2023?山東?高考真題)已知函數(shù)/("的定義域是R,若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)巧，乙，總有

>0成立,則函數(shù)/(x)一定是()

X2~Xi

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

4.(2023?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=2X-x-1,則不等式f(幻>0的解集是().

A.(-U)B.y,T)U(l,+g)

C.(0,1)D.(^o,0)0(1,+oo)

5.(2023?全國?高考真題(文))設(shè)函數(shù)/*)=??-二廁()

x

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞漕D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

6.(2023?全國.高考真題(理))設(shè)函數(shù)“n=ln|2x+l|Tn|2x-l|,貝1」人、)()

A.是偶函數(shù)，且在(g,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-g,g)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(YO,-g)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-8,-上單調(diào)遞減

7.(2023?北京?高考真題(文))下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+00)上單調(diào)遞增的是

A.),=%B.y=2-xC.=D.

8.(2023?全國?高考真題)寫出一個(gè)同時(shí)具有卜列性質(zhì)①②③的困數(shù)/(X)：.

①“中2)=/(內(nèi))/(工2)；②當(dāng)xe(0，+8)時(shí)，f(x)>0；③/'(X)是奇函數(shù).

9.(2023?北京?高考真題)為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)

標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量卬與時(shí)間/的關(guān)系為W=/Q),用-八?一的大小評(píng)價(jià)在

b-a

［。㈤這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下

圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在］4］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在八時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在［0，/］的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

2

1().(2023?浙江?高考真題)已知OCR,函數(shù)/(x)=o?7,若存在feR,使得|+2)-/⑺區(qū)鼠則實(shí)數(shù)

°的最大值是一.

基礎(chǔ)練

I.答案：D

【解析】由題意，工￡RJ(x)=rln2—V,易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減(減+減)，而〃3-/)>/(2、-5),

所以3-x2（2x-5=（x-2）（x+4））0=xe（7?,-4）D（2,+8）.

故選：D.

2.答案：B

【解析】設(shè)X]=1,%2=2,

A,對(duì)于函數(shù)〃x）=2x,2/（內(nèi)+七）=2〃3）=12,〃2內(nèi)）+/（2為）=〃2）+〃4）=4+8=12,

2/(玉+F)=/(2毛)+/(29)，不符合題意.

D,對(duì)于函數(shù)/(x)=2、，

2/(%+赴)=2八3)=16,/(2%)+/(2與)=/(2)+/(4)=4+16=20,

2〃%+9)</(2玉)+/(29)，不符合題意.

C選項(xiàng)，設(shè)$=兀,電=2幾，/(x)=sin2x,

2/。+芍)=2〃3句=12,〃幺)+/(4)=〃2)+〃4)=0,

2/(內(nèi)+%)=/(2%)+/(2%)，不符合題意.

對(duì)于B選項(xiàng)，.七為正實(shí)數(shù)，

2/(%+馬)=2吊[2(為+w)]=ln[4(X]+々)]，

f(2A-)+f(2x2)=In4X1+In4x,=In(4x4.^%,),

(毛+毛)~-4Mx2=(X-W『>0，

所以In14&+&)1>In(4x4XJX2),

所以2〃%+9）＞/（2%）+〃29）成立.故8選項(xiàng)正確.

故選：B

3.答案：B

【解析】x€［0』］時(shí)，2xc［0,2］,而0〈=〈2,即2%=工，%=二時(shí)，y=sin2x取得最大值，因此），=sin2x

224

在。1］上不是增函數(shù)，A錯(cuò)；

e'-12

——=1------，設(shè)則0<ex,+1<et2+1,

e+1e+1

等之島，所以1一集T訃5即%〈力，是增函數(shù),

又記小）=一，定義域是實(shí)數(shù)集R，則“上.二^^-小），函數(shù)為奇函數(shù)，B正確,

六，但5廠2,即y=x+：在［。［］上不是增函數(shù)，C錯(cuò):

設(shè)0W%/?1,則X：<X；,4X；+1<&+1,0<X+Jx；+]<9+&+1,

所以log?+G^）＞logi（S+宿石），即函數(shù)），=】笠|卜+衣二萬）在［0,1］上為減函數(shù)，D蒲

2222',

故選:B.

4.答案：B

【解析】y=sin2x在x€（O,j）上單調(diào)遞增，JlsinO=O,sin^=l,故y=5由2不在工€（0,5）值域?yàn)椋?,1）,

則要滿足工人,解得:。嗚」）

5.答案：C

【解析】令g（x）=cosx/n［+則八“二^+江”,

?\M）和g（x）在卜5,5］上單調(diào)性相同,

工設(shè)g(x)在［-5,5］上有最大值g(x)m也、，有最小值g(x)min.

,/g(-x)=co$Y-In卜x+Jl+x］,

:.^(.r)+^(-x)=cosxln^\Jl+x:+xj(>/l+A-2-xjj=O,

，8(處在［-5,5］上為奇函數(shù)，I.gOOa+g(X)min=°，

.14z\乃不式

??M=g。)2+-，/?=g*)min+-???M+，〃=5,

/(w+m)=/［f］=7.

故選：c.

6.答案：C

【解析】不等式/(x)<l可化為|2'-。區(qū)2一*,有一2-”4一2"2,有2'-2,442,+2。，當(dāng)OWxKl時(shí),

______I33

2T4-2-r>2V2(7^277=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，2X-2-x<2--=^,故有］Wa<2.

故選：C

7.答案：C

【解析】

【詳解】

Vf(-X)=-2020X-sin2x=-f(x'),JIf\x)=2020+2cos2x>0,

???函數(shù)八幻為單調(diào)遞增的奇函數(shù).

于是，/(f+X)+/(lT)20可以變?yōu)?(f+x)…=

即t<>x2+x+\,Wx2+x+l=fx+-l可知實(shí)數(shù)

I444

(3'

故實(shí)數(shù)f的取值范圍為.

4」

故選：C.

I.答案：C

【解析】令函數(shù)/*)=處(xNe),當(dāng)x>e時(shí)，求導(dǎo)得：廣(力=匕學(xué)<。，

xx~

_/3

則函數(shù)/(*)在［e,+<?)上單調(diào)遞減，又a=坐=/(3),b=—=f(e),c==-g=/(三),

3ee-e_3

T

e3e3

顯然e<3<］,則有/(1)</(3)vf(e),所以c<a<〃.

故選：C

2.答案：D

【解析】對(duì)于A、B,令f(x)=e，-lnx,則/'(x)=e，—L

x

當(dāng)Ovxvl時(shí)，r(x)=e'」單調(diào)遞增，

X

fir(1)=e^-2<0,/7!)=e^-|=^-VL5T>V^29--^5T>0

i2

故存在出嗎,*，使得r(/)=o,

則當(dāng)xe(0,Xo)時(shí)，/(x)=e，-Inx遞減，當(dāng)xc“。/)時(shí)，/(x)=e'-Inx遞增,

由于Ovavbvl,此時(shí)/(“)=e"-ln〃JS)=e"-ln。大小關(guān)系不確定，

故A,B均不正確；

對(duì)于C,D,設(shè)g(x)=—，則g*(x)=士"--，

XX

當(dāng)Ovxvl時(shí),￡。)<0,故人)=1單調(diào)遞減.

X

所以當(dāng)時(shí)，虱a)>g(b),即,即加“>〃eJ

ab

故C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D

3.答案：D

【解析】顯然，定義域?yàn)镽,由/(-?=/")可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又當(dāng)”>0時(shí),/(x)=x2er,有

r(x)=(x2+2x)eT>0,

1|3

可知函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(-00,0),增區(qū)間為［0,+8),又由log23=-log29>-log,8=^,log,3<log24=2,

乙乙乙

001

log,8=3log52=1log54<|Iog55=1,2'>2,由〃=/(1。&8)了=/RL),可得爪

乙乙乙

故選:D.

4.答案：B

【解析】由題設(shè)X時(shí)〃％)-2占</(X2)-2X2,即力(幻=/(x)-2x在R上遞增,

2

又加1)=/⑴-2=-1,Kij/(log2A)+1<log,x/(iog2x)-2log2x<-1,

所以加og24)</?⑴,BPlog2x<l,可得0<x<2.

故不等式解集為(0,2).

故選:B

5.答案：D

【解析】令〃x)=lnx,g(x)=4-l,

/心)=fM-g(x)=Inx-?+1,

112五-1,可以判斷〃(功在［；,+00)上單調(diào)遞增,

hXx)

X2y/x2x

?-Z?=21nl/)l->/L()2+l=lnl.012-VL0T+l=lnl.0201-VL02+l

>lnl.02-VL02+1=/?(1.02)>/?(1)=0

所以a>>，

i221202-200121

0-1)2-(C+1)2=1.O2-(1+——產(chǎn)=-.......---5=-------------T=-------------------7>0,

101100101I012100x101I012100x1()11012

所以S+l)2>(r+l)2.

又因?yàn)槿?VT^-l>0，擊>°，

所以Z?+l>c+l,即Z?>c,所以cv〃<a,

故選：D.

6.答案：A

【解析】解：由對(duì)內(nèi),々?2,物)，且％工.都有（百72）［/（1）-/（占）］＜。,

所以函數(shù)/(M在［2,+?))上遞減，

又函數(shù)/(3+2)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)“力關(guān)于x=2對(duì)稱，

所以同=間

又log,6=1+log23>2,log312=l+log34>2,

53-

2log3-log5/8>0,

H^log23+l--=log23--=Iog23-log2222

所以log?3+1>g，

53-

2log4-logV27<0，

因?yàn)閘og?4+1——=log34——=log.4—log3333

所以logQ+l,

所以log?6>|>log312>2,

所以川暇6)</6)<〃晦12),

即fnogzbk/Gk/Oogjl?).

故選:A.

7.答案：D

【解析】因?yàn)椤癤)是偶函數(shù)，所以/3+,(r)<0等價(jià)于這<().

2xx

又F(X)在(。，+8)上單調(diào)遞增，所以“X)在(一，0)上單調(diào)遞減.

,f(x)八/,JX>0,fA<0,

I-------<0'信八或n

x[fM<0[f(x)>0,

又f(4)=。，解得0<x<4或x<4

故選：D

8.答案：A

【解析】函數(shù))，=/"),xe(-4,4),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(-A)=(x2+eW-l)=-/(A),所以f(x)是奇函數(shù)，

當(dāng)xw[0,4)時(shí),)，=/(幻..0,

0<A-1<x2<4,則0Wx：〈W，04k+冽-1<云+陰-1,

所以d(d+ekLl)<E(《+e同-1)，即/(K)<f(W)，所以函數(shù)/(幻單調(diào)遞增,

所以當(dāng)xe(-4,0]時(shí)，函數(shù)/(K)單凋遞增，所以函數(shù)/*)當(dāng)xc(~4,4)單調(diào)遞增

33

所以令-4<l+2xv4,-4<l-2x<4,解得一一<x<-,

22

令g(x)=/(I+2x)+f(2)-/(I-2A),

則以處在(-4,4)上單調(diào)遞增，

原不等式可化為8。)<0,而g=/(。)+/(2)-/(2)=0,

所以g(x)<g(T],解得x<—；,則一黑不<;即解集為fq,.

故選：A.

9.答案：A

【解析】當(dāng)x>l時(shí)，x2+--3a=x2+—+--3a>3Jx2x—x--3?=12-3?,

xxxXXX

當(dāng)且僅當(dāng)f=g時(shí)，等號(hào)成立；

X

即當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)/3的最小值為12-3。，

當(dāng)時(shí)，/(x)=x2-2av+9=(x-?)2+9-a2,

../、a＞I

要使得函數(shù)/(x)的最小值為/⑴，則滿足上⑴=10_2aG2_3a，解得"三2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是口，2].

故選:A.

10.答案:C

【解析】當(dāng)〃〉〃時(shí)，a2-a+\b-(^=a2-2a+b=(a-l)2+b-\,又a〃€[0、2],品然當(dāng)〃=0或2,〃=2時(shí),

該式取得最大值1+2-1=2；

222

當(dāng)時(shí)，a-a+\b-a\=a-a+a-b=a-bt又a,〃e[0,2],顯然當(dāng)。=2,Z?=0時(shí)，該式取得最大值

4-0=4；

綜上：+妝一《的最大值為北

故選：C.

H.答案：A

【解析】解：由題知止2忖＞2同+l(xeR),而2心1，所以"1+表，

又。＜呆1,所以

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式。?泗＞2兇+l(xwR)有實(shí)數(shù)解，

即。＞1十六(xeR)有實(shí)數(shù)解，所以a＞l,HPae(l,-Kc).

故選:A

12.答案:C

【解析】由題知片[〃為)-/(工2)]之w(叫-七)對(duì)任意4，%c(o,+°q恒成立,

等價(jià)于#ln%之為(/叼-々)，即ln%2三?叫一/，即N土??(〃—強(qiáng))對(duì)任意X￡€(0,田)恒成立,

x2x2X[X]x2X]X[IC\'

不妨設(shè)百2々＞°，令，=五，則此1,

.1.

則原式等價(jià)于ln/*(*),即gln/+；在[l,+oo)恒成立，

設(shè)g(1)=/ln/+；,t＞\,則g?)=lnz+]_.J(M；1)一％。,

所以g")在[1,+8)上為增函數(shù)，所以g")1nHi=g(l)=l,

所以mVgQUnf,即m的最大值為1，當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即$=占時(shí)取得最大值,

故選:c.

13.答案：1

【解析】解：“?-05時(shí),，=單調(diào)遞增，/(x)</(l)=^-,=l；

Xe(l,-H?)|h]-,-x+l單調(diào)遞減，/(x)<y-l+l=l.

XX

所以人力的最大值為1.

故答案為：1.

兀571

14.答案:-9----

44

【解析】解：由已知得8s$e-7cos

令fax%5-7./,則((外=5/-21?=/(5/-21)<。對(duì)任意不?-1/恒成立，于是/("在卜L1]上單

調(diào)減.

cos50-7cos'0>sin50-7sin'0即/(cosO)>/(sin0)

由““在1U]上單調(diào)遞減得cosOvsinO,解得(<0<于

所以0的取值范圍是停弓).

It571

故答案為:4*T

15.答案：[0,3],(-oo,-3]

x2—6x+8A>0

【解析】去絕對(duì)值，得函數(shù)/(')=<

x2+6x+8A<0

當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)/*)=.F-6X+8的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,3]

當(dāng)工<()時(shí)，函數(shù)/Q)=f+6x+8的單調(diào)遞減區(qū)間為(-oo,-3]

綜上，函數(shù)/(x)=-2的單調(diào)遞喊區(qū)間為[0,3],(YC，-3]

x+6x+8x<0

故答案為：[。,3],(-00,-3]

16.答案：①③

【解析】由題意知，函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)，月.周陽為2,

①：/(：)=/(—5)=/(：)，乂]CM,所以/弓尸弓)2=弓，故①正確;

44444416

②：當(dāng)X=T時(shí)，/（》=W）2=（，又函數(shù)/。）=X的定義域不含3，

所以原分段函數(shù)/（X）的值域不含！，故②錯(cuò)誤；

g.、，出八，〃?+1.?min+1..

③：由〃ZEN,得。0------<-------<1?且-----、-----eM,

ni+lm+2m+\m+2

所以函數(shù)/（x）在（*7，"）上的解析式為f*）=x,單調(diào)遞增，故③正確；

m+1m+2

?：因?yàn)楹瘮?shù)函X）為尺上的偶函數(shù),所以因X）在［261,2m］上的圖象與在［0,1］上

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而集合M為斷續(xù)的數(shù)集，則在［04］上的圖象大致如圖，

由圖可知八幻在［2,〃-1,2〃“上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①③

17.答案：I

【解析】由題意得In工<0,2］,

當(dāng)〃之2時(shí)，/（%）=為-Inx在［I,/］上單調(diào)遞減,

???f（x）的最小值為/k2）=2〃-2=1,。=|<2,

所以不成立；

2〃-In

當(dāng)0<〃<2時(shí),/（K）在［id］單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

lnx,x€^ew,e2j

???f（x）的最小值為/（e"）=〃=1,符合題意.

故4=1.

故答案為：L

18.答案：1

【解析】當(dāng)工2-ln2時(shí)，2ex-l>0,此時(shí)/(x)=2e'-l—2x,r(x)=2e*—2,令/'(x)>0得：x>0,令

廣（力<0得：-ln2<x<0,故此時(shí)/（x）=2c'-l—2x在x=0處取得最小值，/（0）=1；

當(dāng)hv—In2時(shí)，2c'-l<(),此時(shí)，(力=1-2€'-2科此時(shí)〃x)=l-2e*-2x在(Y0,-ln2)單調(diào)遞減,且

/(-In2)=21n2>l；

綜上：函數(shù)/(x)=|2e；l|-2x的最小值為1.

故答案為：1

嵬題練

1.答案：A

【解析】若函數(shù)/(x)在［。』上單調(diào)遞增，則〃力在［。川上的最大值為41),

若“力在［0』上的最大值為F。)，

比如/(x)=(x—g

(\\在。，;為減函數(shù)，在

但F(X)=為增函數(shù),

I3)

故在［0』上的最大值為了⑴推不出/(M在［0』上單調(diào)遞增,

故“函數(shù)/(”在［05上單調(diào)遞增”是“/(x)在［04］上的最大值為，⑴”的充分不必要條件,

故選：A.

2.答案：D

【解析】對(duì)于A,/(力=-%為/?上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于B,/(》)=(：j為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于C,〃x)=/在(-8,0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于D,/")二正為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選:D.

3.答案：C

【解析】對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)4，巧，總有」—)一?"')>0成立,

占一內(nèi)

等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)內(nèi)<%,總有/(%)</(￡).

所以函數(shù)/("?定是增函數(shù).

故選:C

4.答案：D

【解析】因?yàn)?(力=2'-X一1,所以/。)>0等價(jià)于2、>x+l,

兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(。/),(1,2),

不等式2">x+l的解為x<0或工>1.

所以不等式/(x)>0的解集為：(田,0)口(1,位).

故選:D.

5.答案：A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)閧出工0},其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而=

X

所以函數(shù)”X)為奇函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)y=Y在(0,+?)上單調(diào)遞增，在(-?,0)上單調(diào)遞增，

而)，=}=尸在(0,+?)上單調(diào)遞減，在(-?,。)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(x)=V-)在(0,+?)上單調(diào)遞增，在(-?,。)上單調(diào)遞增.

故選：A.

6.答案：D

【解析】由f(x)=ln|2x+關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,

X/(-^)=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2r+l|=-/W?

??J(x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)xe時(shí)，/(x)=ln(2x+l)-ln(1-2x),

I乙乙)

Qy=ln(2文+上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞增，排除B；

2、

當(dāng)/J時(shí),/(x)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=ln^l=ln|1+

21[2x-l;

++在

-雙一上單調(diào)遞減，/(〃)=ln〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/(力在18,-9)上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

7.答案：A

【解析】函數(shù)y=2T,y=logJ,

2

y=-在區(qū)間((),內(nèi))上單調(diào)遞減，

X

函數(shù)),=/在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，故選A

8.答案：〃x)=d(答案不唯一，/(x)=/(〃eN*)均滿足)

【解析】取/(x)=f，則/(中2)=(芭&)4=X：￡=/(芭)/(公)，滿足①，

r(x)=4/,%>0時(shí)有/'(">0,滿足②,

門刈=4/的定義域?yàn)??,

乂r(r)=Td=-r(x)，故/(力是奇函數(shù),滿足③.

故答案為:/3=父(答案不唯一，/")=/(〃￡")均滿足)

9.答案：①@③

【解析】-表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù),

b-a

在土冉］這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比

乙企業(yè)強(qiáng)；①正確;

甲企業(yè)在［()/］口由］"2,4］這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在［/"］這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即

在，［2］的污水治理能力最強(qiáng).④錯(cuò)誤；

在，2時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)

強(qiáng)；②正確；

在G時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；

故答案為：①②③

4

10.答案：amax=-

【解析】使得/(/+2)_/0)=4{2“《+2)2+々+2)+白}-2=243r+6/+4)_2,

使得令m=3產(chǎn)+6,+4e［l,+co),則原不等式轉(zhuǎn)化為存在m>1,|am-\\<|,

由折線函數(shù)，如圖

只1需12即;4〃4三4，即〃的最大值是4:

考向07函數(shù)的單調(diào)性與

最值

【2021?北京?高考真題】已知名方是定義在上［0,1］的函數(shù),那么“函數(shù)f（x）在［0,1］上單調(diào)遞

增”是“函數(shù)f（x）在［0J上的最大值為/⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

答案：A

【解析】

分析：

利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

若函數(shù)/（K）在［0,1］上單調(diào)遞增,則〃力在［0,1］上的最大值為"1）,

若/（“在［0』上的最大值為/（）,

/1、2

比如，

但〃x）=（x-gj在?為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

故在［0,1］上的最大值為了⑴推不出/（X）在［05上單調(diào)遞增，

故“函數(shù)/（文）在［0』上單調(diào)遞增''是"/（"在［0』上的最大值為/⑴”的充分不必要條件，

故選：A.

【2020?山東?高考真題】已知函數(shù)/（力的定義域是R,若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)儲(chǔ)，巧,

總有/（七）［,"）＞。成立,則函數(shù)一定是（：

X2~X\

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

答案：c

【解析】

分析：

利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.

【詳解】

對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)為，巧，總有/（~）