第6節(jié)事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式

考試要求1.了解兩個事件相互獨立的含義2理解隨機事件的獨立性和條件概率

的關系，會利用全概率公式計算概率.

知識診斷,基礎夯實

知識梳理

1.相互獨立事件

(1)概念：對任意兩個事件A與8,如果PG48)=P(A)P(8),則稱事件A與事件8

相互獨立，簡稱為獨立.

(2)性質：若事件A與6相互獨立，那么A與憶，A與&A與8也都相互獨立.

2.條件概率

p(48)

⑴概念：一般地，設A,8為兩個隨機事件，且P(A)>(),我們稱PGBIA尸「小

為在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

(2)兩個公式

①利用古典概型，P(B\A)=S===；

②概率的乘法公式：2(A切=F(A)產(chǎn)出IA).

3.全概率公式

一般地，設設,Ai,…，4?是一組兩兩互斥的事件,4U4口…UA〃=O,且P(4)

>0,/=1,2,…，小則對任意的事件BG。，有P(B)=gp(4)P(3胤)，

我們稱上面的公式為全概率公式.

|常用結論，

p(AR)

1.計算條件概率除了應用公式P(5|A)=p外,還可以利用縮減公式法，即

1V/

P(B|A)=〃(管,其o"(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，〃(/W)為事件AB包含的

flV/I7

樣本點數(shù).

2.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，

轉化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.

診斷自測

1.思考辨析(在括號內打“J”或“X”)

⑴若事件A,B互斥,則P(B|A尸1.()

(2)全概率公式用于求復雜事件的概率，是求最后結果的概率.()

(3)P(A)=P(A)P(BIA)+P(A)P(B|A).()

(4)P(A)=P(BA)+2(8A).()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

解析(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=0；

(3)P(B)=P(4)P(3|4)+P(A)P(B\A)；

(4)P(5)=尸(3A)+P(ZM).

2.(易錯題)某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目一共有三關，第一關與第二關的過關率分

別為本*只有通過前一關才能進入下一關，每一關都有兩次闖關機會，且是否通

過每關相互獨立.一選手參加該節(jié)目，則該選手能進入第三關的概率為()

25

-C-

B.36D.

答案c

解析設4="第，?次通過第一關"，Bi="第i次通過第二關“，其中i=l,2；

由題意得，選手能進入第三關的事件為A\B\-VA\A2B\A\A2B\B2,

231232131

所求概率為尸(AiBi+442Bi+4i8i及+AiA23i&)=qXj+QXqX]+qXwX1+Q

2135

X-X-X---

3446

3.(易錯題)(2021?滁州期末)根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風的概率為

4，下雨的概率為茶，既吹東風又下雨的概率為1，則在吹東風的條件下下雨的

概率為()

88

-C

A.9D.TT

答案A

解析設事件A表示某地四月份吹東風，事件B表示四月份下雨.

8

30?

根據(jù)條件概率計算公式可得在吹東風的條件下下雨的概率為P（B|A）=y=1.

30

4.（2021.新高考I卷）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有

放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，

乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字

之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

答案B

解析事件甲發(fā)生的概率P（甲）=:，事件乙發(fā)生的概率P（乙）=:，事件丙發(fā)生的

概率P（丙）=亳=今，事件丁發(fā)生的概率P（?。?$=*.事件甲與事件丙是互

OXOJOOxOO

斥事件，不是相互獨立事件，故A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為七

1

一而

P（甲?。?P（甲）尸（丁），故B正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為康=表，

P（乙丙）WP（乙）P（丙），故C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事

件，故D錯誤.

5.（2022?青島檢測）質監(jiān)部門對某種建筑構件的抗壓能力進行檢測，對此建筑構件

實施兩次打擊，若沒有受損，則認為該構件通過質檢.若第一次打擊后該構件沒有

受損的概率為0.85,當?shù)谝淮螞]有受損時第二次實施打擊也沒有受損的概率為

0.80,則該構件通過質檢的概率為（）

A.0.4B.0.16C.0.68D.0.17

答案C

解析設4?表示第i次打擊后該構件沒有受損，i=l,2,則由已知可得尸（4）=

0.85,P（A2|Ai）=0.80,因此由乘法公式可得P（AiA2）=P（Ai）P（A2|Ai）=0.85X0.80

=0.68,即該構件通過質檢的概率是0.68.

6.（2021.天津卷）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一

方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率

分別為總和I且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則

O3

一次活動中，甲獲勝的概率為,3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為

較安222

口木327

解析由題意可得一次活動中，甲獲勝的概率為15X41號2；在3次活動中，甲至少

V*JJ

23

獲勝2次的概率為dxg)x|+Q=瑞

I考點突破,題型剖析

[]考點一相互獨立事件的概率

例1(2020?全國1卷)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如卜：

累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽

的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人

被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽

結束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為;.

⑴求甲連勝四場的概率；

⑵求需要進行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

解⑴甲連勝四場的概率為七.

(2)根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽.

比賽四場結束，共有三種情況：

甲連勝四場的概率為七乙連勝四場的概率為七；

丙上場后連勝三場的概率為！

O

所以需要進行第五場比賽的概率為

(3)丙最終獲勝，有兩種情況:

比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為《；

O

比賽五場結束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空

結果有三種情況；勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為七1.

因此丙最終獲勝的概率為

1+±+1.1=2,

8十16十8十816-

感悟提升求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法

(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正而計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立

事件入手計算.

訓練1在生活小常識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關生活小

常識的問題，已知甲答對這道題的概率是本甲、乙兩人都回答錯誤的概率是已

乙、丙兩人都回答正確的概率是".設每人回答問題正確與否相互獨立.

(1)求乙答對這道題的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率.

解(1)記“甲答對這道題”“乙答對這道題”“丙答對這道題”分別為事件A,

B,C,設乙答對這道題的概率P(B)=x,由于每人回答問題正確與否相互獨立，

因此A,B,。是相互獨立事件.

由題意可知,P(A)=1,尸&3)=尸(A)P(5)=(1—[)x(1—%)==解得k|,所

2

以乙答對這道題的概率為P⑹得.

(2)設“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題”為事件M,丙答對這道題的

?13

概率P(C)=y,由題意可知，P(BO=P(B\P(C)=^y=^解得)，=嬴

甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為PCABC尸PS)尸⑻尸(0=(1—皆X(l一§

所以甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率為P(M)=1—P(4BC)=^.

考點二條件概率

例2(1)已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)

需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第

二次拿到紅球的概率為()

3132

-C--

A.389

10

答案B

解析設“第一次拿到白球”為事件A,“第二次拿到紅球”為事件從依題意

212X31

P(A)=73=M尸(AB)=]()X9=正,

P(AB)1

尿尸仍■)=.(4)=?

(2)對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2

件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是()

3廣2「2

A5B5C9D-3

答案D

解析記4="第一次摸出的是次品“，8=“第二次摸到的是正品“，由題意知,

42464

P(A)=正=5，P(AB)=-^X-=—,

4

小P(A8)L52

川P(B]A)=p(A)=?=??

5

感悟提升求條件概率的常用方法

p

(1)利用定義，分別求尸(4)和P(AB),得「(3]A)=口(4)

(2)借助古典概,型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)〃(4),再在事件A發(fā)生

〃(A8)

的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即〃(A8),得P(8|A)=

〃(4)

訓練2(1)某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是小連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概

率是:，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是()

25

--

A.5B.8C.TD.T

答案B

解析設該選手某次擊中10環(huán)為事件A,隨后一次擊中10環(huán)為事件8,則尸(A)

41

=5?P(ABf,

p(ziR)25

???某次擊中10環(huán)，隨后一次擊中10環(huán)的概率是P(B|A)=Q1八=W=R.

1\/I7±O

5

(2)有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機

抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為.

答案0.72

解析設種子發(fā)芽為事件A,種子成長為幼苗為事件8(發(fā)芽又成活為幼苗).

依題意P(5H)=O8,P(A)=0.9.

根據(jù)條件概率公式尸(/W)=P(8|A)?P(A)=0.8X0.9=0.72,即這粒種子能成長為幼

苗的概率為().72.

考點三全概率公式的應用

例3甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,().5,0.7.

飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都

擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率.

解設8=”飛機被擊落“，4="飛機被i人擊中“，i=l,2,3,則8=43

+42A+A3&P(用4)=02,0(用42)=0.6,。(用4)=1,

由全概率公式，得

P⑻=P(A\)P(B\A\)+P(Ai)P(B\A^+P(A3)尸(5隊3).

為求P(4),設F=｛飛機被第i人擊中｝,

；=1,2,3,且％,H?,“3相互獨立，

則尸(Hi)=0.4,P(“2)=0.5,尸(“3)=07

故P(Ai)=P(HiH2H3+HTH2H3+HTH2H3)

=P(”])P(“2)P(H3)+P(F)P(“2)P(”3)+P(F)P(”2)P(“3)=0.36,

P(A2)=P(H\H2H3+H1H2H3+HlH2H3)=尸(Hl)P(”2)P(”3)+P(”l)「(“2)P(”3)+P(H

I)P(H2)P(“3)=0.41,

P(A3)=P(H1H2H3)

=P(”I)P(“2)P(”3)=O.I4.

于是P(B)=P(A1)P(8|AI)+P(A2)P(B|A2)+

=0.36X0.2+0.41X0.6+0.14X1=0.458,

即飛機被擊落的概率為().458.

感悟提升利用全概率公式的思路

(1)按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件4(i=l,2,…，力；

⑵求P(4)和所求事件B在各個互斥事件4發(fā)生條件下的概率P(B\Ai);

(3)代入全概率公式計算.

訓練3某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)

量的15%,20%,30%和35%,且四條流水線的產(chǎn)品不合格率分別為0.05,0.04,

0.03和0.02,現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問抽到不合格品的概率是多少？

解設4="任取一件這種產(chǎn)品，抽到不合格品”，

Bi="任取一件這種產(chǎn)品，結果是第i條流水線的產(chǎn)品"(i=1,2,3,4),則Q

=BIUB2UB3U&,且BI,&,以兩兩互斥，根據(jù)題意

尸(B)=0.15,P(B2)=0.20,P(&)=0.30,尸(物)=0.35,P(A|Bi)=0.05,P(A\Bi)=

0.04,P(A|B3)=0.03,P(4|&)=0.02,

由全概率公式，得

P(A)=P(Bi)P(A|Bi)+尸(B2)P(A|&)+P(&)尸(A|&)+P(&)P(A|&)=0.15X0.05+

0.20X0.04+0.30X0.03+0.35X0.02=0.0315,

故從該廠產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315.

I分層訓練,鞏固提升

A級基礎鞏固

1.甲、乙兩個袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，

其中甲袋裝有4個紅球、2個白球，乙袋裝有1個紅球、5個白球，現(xiàn)分別從甲、

乙兩袋中各抽取1個球，則取出的兩個球都是紅球的概率為（）

A5「5廠1n13

A.無B6C9D,l8

答案C

解析由題意知，“從甲袋中取出紅球”和“乙袋中取出紅球”兩個事件相互獨

立，

42

從甲袋中取出紅球的概率為廠示

從乙袋中取出紅球的概率為右

211

-X-=-

369

2.（2022?廣州調研）甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能

榮獲一等獎的概率分別為2各3味甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個

人中恰有一人獲得一等獎的概率為（）

3255

----

A.437

12

答案D

解析根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲獎乙沒獲獎或甲沒獲獎乙獲獎,

I2

3.設A,8為兩個事件，且P(A)>0,若P(43)=§,P(A)=y則P(8|A)=()

A.；B.,C.^

答案A

5JLP(AB)31

解析P(B|A)=尸(A)-=2=2'

3

4.已知P(B)=Q3,P(B|A)=0.9,P(用4)=0.2,則P(A)=()

C.0.33D.0.1

答案A

解析由P(8)=P(A)P(8|A)+P(A)P(8|A),可得O.3=P(A)XO.9+(1一尸(A))X0.2,

解得P(A)=1.

5.(多選)下列各對事件中，M,N是相互獨立事件的有()

A.擲1枚質地均勻的骰子一次，事件M=“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件N="出

現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”

B.袋中有5個紅球，5個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件

M=”第1次摸到紅球"，事件N="第2次摸到紅球”

C.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M="第1枚為正面”，事件N="兩枚結果

相同”

D.一枚硬幣擲兩次，事件M="第一次為正面”，事件N="第二次為反面”

答案CD

解析在A中，P(MN)=。，所以例，N不相互獨立；

在B中，M,N不是相互獨立事件；

在C中，P(M)=1,P(/V)=1,P(MN)=：，P(MN)=P(M).P(N)，因此M,N是相

互獨立事件；

在D中，第一次為正面對第二次的結果不影響，因此M,N是相互獨立事件.

6.甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區(qū)服務活動，社區(qū)服務活動共有關懷

老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳等四個項目，每人限報其中一項，記事件

A為“4名同學所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學一人報關懷老人項

目”，則P(4|B)等于()

132

---

A.449D-9

答案C

3

解析由已知得尸(8)=3a=老27，

P(AB)=N=128,

療,P(AB)2

所以尸(A|B)=p(B)-=§?

7.開元通寶是我國唐代的一種貨幣，向開元通寶上任意投擲一粒芝麻，第一次投

進方空的概率約為0.5,在第一次投到開元通寶上的條件下第二次也投進方空的概

率約為0.3,則這樣連續(xù)兩次都可把芝麻投進方空的概率是.

答案0.15

解析設4?表示第i次把芝麻投進方空，，=1,2,則由已知可得尸(4)=0.5,尸(42|4)

=0.3,

因此由乘法公式可得PTAIA2)=P(A1)P(A2\A1)=0.5X03=0.15,

即連續(xù)兩次都可把芝麻投進方空的概率是0.15.

8.一個盒子里裝有3種顏色，大小形狀質地都一樣的12個球，其中黃球5個，藍

球4個，綠球3個，現(xiàn)從盒子中隨機取出兩個球，記事件A=“取出的兩個球顏

色不同"，事件8="取出一個黃球，一個藍球”，則P(8|A)=.

宏口案呆—47

解析因為P(A8)=罌=M

CiCRCiCi+ClCi47

P(A)=cb=諉，

工，P(AB)20

故「(8)A)=p⑷=行

9.甲、乙兩名同學參加一項射擊比賽，其中任何一人每射擊一次擊中目標得2分,

3

未擊中目標得。分.已知甲、乙兩人射擊互不影響，且命中率分別為與和p.若甲、

9

乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為方，則p的值為.

答案I

解析設“甲射擊一次，擊中目標”為事件A,“乙射擊一次，擊中目標”為事

件&則“甲射擊一次，未擊中目標”為事件4“乙射擊一次，未擊中目標”為

3-32-3

事件B,則P(A)=.&A)=1一$=予P(B)=p,尸(B)=l—p.依題意得5*(1—p)

293

+§義〃=與，解得〃=工.

10.(2022?濟寧模擬)甲、乙兩人進行定點投籃比賽，在距籃筐3米線內設一點4,

在點A處投中一球得2分，不中得()分；在距籃筐3米線外設一點3,在點區(qū)處

投中一球得3分，不中得0分.己知甲、乙兩人在A處投中的概率都是多在B處

投中的概率都是:，旦在A,8兩處投中與否相互獨立，規(guī)定甲、乙兩人先在A處

各投籃一次，然后在8處各投籃一次，總得分高考獲勝.

(1)求甲投籃總得分4的分布列；

(2)求甲獲勝的概率.

解(1)設“甲在A點投中”為事件A,“甲在3點投中“為事件注

根據(jù)題意，4的所有可能取值為0,2,3,5,則

P(『)=P(AB)=(I_￡)><(I_?=/

P(i=2)=P(A8)=3X(1_g)=g,

P(0=3)=P(AB)=(l

P(f=5)=P(AB)=|x|=|,

所以4的分布列為

0235

1111

P3366

因此所求概率為P=Pe=2)XP(〃=0)+PQ=3)XP(〃V3)+PQ=5)XP(〃V5)=g

xi+ixa+|>ixfi-1)=B

36133/6l0736

II.現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放

回地依次抽取2個節(jié)目，求

(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈羊目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.

解設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件&則第1次

和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.

⑴從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，總的事件數(shù)〃(0)=A3=3O.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有〃(A)=A1Ag=20,

c〃(A)202

所以P(A)=〃⑺=而=]

(2)因為〃(A8)=AW=12,

”,n(AB)122

所以P(AB尸〃(Q)=%=:

⑶法一由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概

率

2

PCAB)53

P(8|A)=p(4)=7亍

3

法二因為〃(A