3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

峻皿3tfA麗曲課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P109?111,思考并完成下列問(wèn)題

⑴復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算法則是什么？共枕復(fù)數(shù)概念的定義是什么？

⑵復(fù)數(shù)乘法的多項(xiàng)式運(yùn)算與實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式運(yùn)算法則是否相同？如何應(yīng)用共扼復(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題?

1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

=

設(shè)zi=a十5i,zic-\~d\(afb,c,d￡R),則5Z2=(G+歷)(c+$)=(〃c—

2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對(duì)任意復(fù)數(shù)zi,Z2,有

交換律zrz2=Z2-Z]

結(jié)合律(ZrZ2)*Z3=Zr(Z2*Z3)

分配律Zl(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3

3.共掘復(fù)數(shù)

已知zi="+力i,Z2=c+</i,Q,b,cfd￡R,貝!1

(Dzi,匕互為共扼復(fù)數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.

(2)z?一互為共枕虛數(shù)的充要條件是a=c且力=-dWO.

4.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則：

〃+加ac+bd,be-ad,,

3+歷)+(c+Ji)=^=^^+^^i(c+diHO).

［點(diǎn)睛］在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時(shí)，分子、分母同乘以分母的共新復(fù)數(shù)c-di,化簡(jiǎn)后即得結(jié)果，這個(gè)過(guò)程實(shí)

際上就是把分母實(shí)數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類(lèi)似.

1.判斷(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共施復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件.()

(2)若z”Z2WC,且d+S=O,則zi=Z2=0.()

(3)兩個(gè)共挽虛數(shù)的差為純虛數(shù).()

答案：(1)X(2)X(3)J

2.(北京高考)復(fù)數(shù)i(2-i)=()

A.l+2iB.1—2i

C,-14-2iD.-l-2i

答案：A

3.若復(fù)數(shù)zi=l+i,Z2=3—i,則…Z2=()

A.4+2iB.24-i

C.2+2iD.3+4i

答案；A

24

4.復(fù)數(shù)i+三P+十i

答案:F?

日於噲粉HD}gHR課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類(lèi)題

心復(fù)數(shù)代數(shù)砥的乘法運(yùn)算

［典例］(1)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l+〃i)(2+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。等于()

B.eqB.T

C.-1D.—2

(2)(江蘇高考)復(fù)數(shù)z=(l+2i］(3-i),其中i為虛數(shù)單位，貝Ijz的實(shí)部是________.

［解析］(l)(l+ai)(2+i)=2—a+(l+2a)i,要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以有2—a=0,l+2aWO,解得a=

2.

(2)(l+2i)(3-i)=3-i4-6i-2i2=5+5i,

所以z的實(shí)部是5?

［答案I(1)A(2)5

~~L兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法

(1)首先按多項(xiàng)式的乘法展開(kāi).

(2)再將i2換成-1.

(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

2.常用公式

(1)3+歷)2=〃2—加+2〃加(a,bWR).

(2)(a+Z>i)(a—Z>i)=a24-ft2(fl,力￡R).

(3)(l±i)2=±2i.

j涪學(xué)活用|

1.已知x,i為虛數(shù)單位，且xi—y=-l+i,則(l+i)x+〉'的值為()

A.2B.—2i

C.-4D.2i

解析：選D由誦一y=-l+i得x=l,y=lf所以(1+以+，=(l+i)2=2i.

2.已知。，b^R,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(l+i)=歷，則。+歷=.

解析：因?yàn)?a+i)(l+i)=a—l+(a+l)i=Ai,所以a—1=0,。+1=力，即a=l,b=2,所以a+加=1

+2i.

答案：l+2i

02/14

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算

［典例］(1)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2—i)=ll+7i(i是虛數(shù)單位)，貝人為()

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iI).-3—5i

⑵設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)害為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。為()

A.2B.-2

C.-TD.eqD.

［解析］(l)Vz(2-l)=ll+7i,

.?=-1-14---7i=-?-H-+-7-i?-?-2-+-i-?=-1-5-+-2-5i=與

z72-i?2-i??2+i?5

1+oi?l+ai??2+i?2—a.14-2a,l+ai,,j,.,,2—a1+2。z”

(2)2—i=?2—i??2+i?=5+-—lf由？一i是純L虛數(shù)，o則5=°，~5-二°，所以"=2.

［答案］(1)A(2)A

7r而不復(fù)數(shù)枚藪凝的嗓赤算為驟

⑴首先將除式寫(xiě)為分式；

⑵再將分子、分母同乘以分母的共施復(fù)數(shù)；

⑶然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

2.常用公式

［活學(xué)活用］

1.(天津高考)i是虛數(shù)單位，計(jì)算卷的結(jié)果為_(kāi)_______

XI1

l-2i_?l-2i??2—i?_?2-2?-i-4i_

解析：2+i=?2+i??2-i?=5=~k

答案：一i

2?計(jì)算：?2-i??l-i?=------------?

?l+i??4+3i?_l+7i_?l+7i??l+3i?

薜折：法一：?2—i/i-i?=1一肘=10

?l+i??4+3i?_”iY4+3i)

法一：?2-i??l-i?

i?4+3i??2+i??-3+4i??2+i?

55

—10+5i

—z—=-2+i.

答案：-2+i

LLQIi的乘方的周期性及應(yīng)用

［典例］(1)(湖北高考)i為虛數(shù)單位，*7的共枕復(fù)數(shù)為()

C.1D.-1

(2)計(jì)算P+F+F+…+產(chǎn)。】6=.

［解析］⑴因?yàn)?7=i4X151+3=j3=-L所以其共朝復(fù)數(shù)為i,故選A.

i?l-i2016?i[l-?j2?1008]i?l-I?

(2)法一：原式=一°?

i—i-i1—-ij-i—j

法二：vP+P+P+i^o,

???i"+i”+i+i”+2+i"+3=o(〃￡N),

r.i'+P+PH--4-i2,),6

=(i1+i2+P+i4)+(i5+i6+i7+i8)+-+(i20,3+i20,4+i20,5+i20,6)=o.

[答案I(1)A(2)0

虛數(shù)單位i的周期性

(l)i4M+,=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4w=l(/ieN*).

(2)in+i"+1+i"+2+i"+3=o(〃EN).

［活學(xué)活用］

計(jì)算罟?筒?簡(jiǎn)??一筒』

答案：一

復(fù)數(shù)綜

合應(yīng)用

［典例I設(shè)z是虛數(shù)，c”=z+十是實(shí)數(shù)，且一1VOV2,求團(tuán)的值及z的實(shí)部的取值范圍.

［解］因?yàn)閦是虛數(shù)，所以可設(shè)2=》+爐，x,jGR,且y￥0.

所以“=z+；=x+yi+^j

_I.」_1一』/+產(chǎn)+卜一

因?yàn)椤笆菍?shí)數(shù)且

04/14

所以y一武1=0,所以x2+y2=i,

即0=1.此時(shí)（o=2x.

因?yàn)橐?VsV2,所以一1V2XV2,

從而有一1,

即Z的實(shí)部的取值范圍是（一；，1）.

［一題多變］

1.［變?cè)O(shè)問(wèn)］若本例中條件不變，設(shè)〃=旨|,證明〃為純虛數(shù).

證明：設(shè)Z=x+yi,X,yCR,且yXO,

由典例解析知，x2+j2=l,

.1—z1—?x+yi??1-x-yi??l+x-yi?

"?"=ri^=］+?x+yi?=?l+x?2+j2

］—x2-y2-2yiy

=?l+x?2+j2=

因?yàn)?（一/1），產(chǎn)°，所以日也

所以〃為死虛數(shù).

2.［變?cè)O(shè)問(wèn)］若本例條件不變，求"一宏）的最小值.

解：設(shè)2=工+丸，x,>ER,且yWO,

由典例解析知x2+j2=l.

則

1-X2

=2X+?1+X?2

2?

=2一+而=2(工+1)+用一3.

因?yàn)橐籎vxVl,

所以l+x>0.

于是s-(Sf>=2(x+D+2一32

2

2?』?京-3=1

當(dāng)且僅當(dāng)2（x+l）=皆p

即x=0時(shí)等號(hào)成立.

所以"一"j^『的最小值為1,此時(shí)z=±i.

復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問(wèn)題解決方法

在有關(guān)復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問(wèn)題中，常與集合、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合在

一起，要解決此類(lèi)問(wèn)題常將復(fù)數(shù)設(shè)為x+M(x，y￡R)的形式，利用有關(guān)條件及復(fù)數(shù)相等轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題或

利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)及向量問(wèn)題進(jìn)行解決.

睬課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.復(fù)數(shù)(1+講(2+駕)的值為()

A.6—4iB.—6—4i

C.6+4iD.-6+4i

解析；選D(l+i)2(24-3i)=2i(24-3i)=-6+4i.

2.(全國(guó)卷I)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(zT)i=l+i,則Z=()

A.-2—iB.—2+i

C.2-iD.2+i

解析：選Cz-l=^1J?=l-i,所以Z=2—i,故選C.

3.(廣東高考)若復(fù)數(shù)z=i(3—2i)(i是虛數(shù)單位)，則z=()

A.2—3iB.2十3i

C.3+2iD,3-2i

解析：選AVz=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,，三=2-3i.

4.(l+i)2o-(l-ip的值是()

A.-1024B.1024

C.0D.512

解析：選C(1+i產(chǎn)-(1一講。=[(1+評(píng)]1。一[(1-i)2]io=⑵)10—(一2爐)=⑵)1。一⑵嚴(yán)=0.

5.(全國(guó)卷n諾。為實(shí)數(shù)，且與黑=3+i,則。=()

A.-4B.一3

C.3D.4

2+ai?2+“i??l-i?。+2/-2..

解析：選D14-i=?l4-i??l-i?="2-+21=3+,?

06/14

所以3解得a=4,故選D.

a-2

=b

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(l+3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

解析：Vz=i(l+3i)=i+3i2=-3+i,

?,?復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(一3,1),在第二象限.

答案：二

7.設(shè)i為虛數(shù)單位，貝!)；+*+*+*=.

解析：；+桿*+*=-i—l+i+l=O.

答案：0

8.若黃j=l一歷，其中。，〃都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|。+歷|=

解析：V?,bWR,且含=1一歷，

則a=(l-Z>i)(l-i)=(l-^)-(l+Z>)i,

a=l-b,{a=2

??.f

??|_O=l+b.**U=-1.

:.|a+歷|=|2—“=222+?—1?2==.

答案：V5

,?i-2??i-l?-3-2i

9?計(jì)算：?14-i??i-l?+i+2-3i*

?i-2??i-l?

薜：因?yàn)?？l+i??i-l?+i=

?i-2??i-l??i-2??i-l?

i2-l+i=--2+i

___一3一方_?-3-2i??2+3i?_—13i_

=1，2-3i=?2-3i??2+3i?=13=一|'

”,?i-2??i-l?.-3-2i

所以？l+i??i_l?+i+2—3=i-1+(一】)=-1?

10.已知z為z的共枕復(fù)數(shù)，若z?z—3iz=l+3i,求z.

解：設(shè)［=。+從(〃，5GR),

則一加3,力ER),

由題意得(〃+歷)(a—4)-3i(a—?dú)v)=l+3i,

即?2+Z>2—3/>—3m=l+3i,

標(biāo)+反-3力=1"一一"或〃=-1,

則有,,解得

[-3。=3,力=0,力=3.

所以z=—1或z=—l+3i.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)4表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共枕復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）

A.AB.B

y

C.CD.D

解析：選B設(shè)z=a+〃i（明力WR）,且“VO,力＞0,則z::0一半二的共朝復(fù)數(shù)為a~b\f

其中“V0,—6V0,故應(yīng)為8點(diǎn).

2.設(shè)。是實(shí)數(shù)，且席￡R，則實(shí)數(shù)。=（）

A.-1B.1

C.2D.-2

解析；選B因?yàn)楦适諧R,所以不妨設(shè):詈

xtAGR,則l+ai=(l+i)x=x+*i,所以有

a=xt

所以。=1.

3.若〃為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，—=2,則〃=（）

B.eqB.A/5

C.eqD.1

解析：選?.?哼^(guò)=（〃+。（一）

Bi=l—ai,.”+i=|1一洲=、1+。2=2,解得或"=一45（舍）.

、t3?—]+6i?3-2+i^._日

今計(jì)算？1+6+l鉆的值是（)

A.0B.1

D.2i

懊班法n屆1?T+小i?3J—2+i??—2i??-1+7^?31-2+4i+i+2-孚]

解航：過(guò)D原六一[?i+i?2]3十？1+方?？1一方？一？2i?3十5一一i十

+i=?-i?i+i=2i

5.若zi=o+2i,Z2=3-4i,且y為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______

Z2

鈿+=&a+2i?a+2i??3+4i?3a+4ai+6i-8

解析:Z=3-4i=9+16=25—

?3a-8?+?4〃+6?i

=25，

08/14

3〃-8=0,

??,?為綻虛數(shù),8

4。+6#0,3,

fg8

答案：3

6.i是虛數(shù)單位，貝4罔4=.

解析：隹%"骷卦"腎》二h

答案：1

7.設(shè)復(fù)數(shù)z=彘有，若z2+1V0,求純虛數(shù)

解：由z2+m〈o可知z?+m是實(shí)數(shù)且為負(fù)數(shù).

ZZ

?l+i?2+3?l-i?2i+3-3i

Z=2+i=2+i

3-i

=而=1?

???“為純虛數(shù)，，設(shè)。=加（加￡R且加W0）,則

5+：=（］_［）2+4

,mi-m

=-2i+i

.*./n=4,/.?=4i.

|p能選做甌

*?1+洶3%+川？_

8.復(fù)數(shù)z=，；二且團(tuán)=4,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，若復(fù)數(shù)0,z,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的

三個(gè)頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。，力的值.

?l+i?2?？l+i?

解：z（fl+M）

1-i

=2i?i（a+歷）=—2。-2萬(wàn)i.

由0=4,得”?+力2=%①

???復(fù)數(shù)0,z,三對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成正三角形,

*'?\z-Z|=|z|.

把z=-2a-2b\代入化簡(jiǎn)得步|=1.②

又???？對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

/.a<0,方VO.

由①②得〈。=一木,

lb=-l.

故所求值為“=一<5,b=—l.

??……％幽?>階段質(zhì)量樓測(cè)（三）救氽的“無(wú)與復(fù)致的引入?……

（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的）

1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)導(dǎo)=（）

A.2+iB.2—i

C.—2+iD.-2—i

5y、&7—i?7-i??3-i?20-10i

解析：選B3+i=io=-io-=2-h

z

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足萬(wàn)］=1,其中i是虛數(shù)單位，貝h=（）

A.1—iB.1+i

C.-1-iD.-l+i

解析：選Az=(1—i)i=_i2+i=l+i,z=l-i,故選A.

3.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)占在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選B呂=萬(wàn)駕掙^=受"=-1+。由復(fù)數(shù)的幾何意義知一l+i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

JL11??X1?/

為1-1,1）,該點(diǎn)位于第二拿限，故選B.

-2—z

4.設(shè)復(fù)數(shù)-為虛數(shù)單位），Z的共朝復(fù)數(shù)是Z,則^~等于（）

A.-l-2iB.-2+i

C.-l+2iD.l+2i

2—z2—、—l+i9

解析：選C由題意可得<=13^-

10/14

?-l-i??-14-i?="1+2i?故選C

5.已知復(fù)數(shù)2=一;+率，則、+|z|=()

A.一：一給B.一；+*

C.eq+坐D.eqD.g—乎i

，所以z+0=一乎T

解析：選D因?yàn)閦

2

6.已知復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足(l-i)z=i2。叫其中i為虛數(shù)單位)，則Z的虛部為()

A.eq

C.eqi

2

解析：選BV2016=4X504,Ai^=^=l：z=-L-=l^：-=!-1i,.?.；的虛部為一;.

故選B.

___z

7.設(shè)Z的共輾復(fù)數(shù)為Z,若z+Z=4,Z?Z=8,則；?等于（）

A.1B.-i

C.±1D.±i

—2a=4,fo=2,

解析：選D設(shè)z=a+加（％》￡R）,則z=a—b\,由條件可得J,解得J因此

口2+"=8.（b=±2.

Z=2+2i,一/刊±_2-2il-i?l-i?2-2i.±__2+2i1+i

A=Z=：Z=

7=2-2i,7=2+2i,所以"=2+:=幣=?1+1??1—?=亍=一|'T22iTi

?l+i?2_2iz

所以二=見(jiàn)

?l-i??l+i?=5z

8.已知復(fù)數(shù)z=(x-2)+yi(x,y￡R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量的模為由，貝吐的最大值是()

A.eqB.eqB.

C.eqD.eqD.

解析：選D因?yàn)閨(x—2)+刈=45,所以(x—2戶(hù)+)2=3,所以點(diǎn)(x,『)在以C(2,0)為圓心，以小為半

徑的圓上，如圖，由平面幾何知識(shí)一小W，W巾.

二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.請(qǐng)把正確答案填在題中

橫線(xiàn)上)

9.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l-2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為.

解析：由(l-2i)(a+i)=3+2)+(l-2tz)i是比虛數(shù)可得。+2=0,1—2aH0,解得。=一2.

答案：一2

10.已知復(fù)數(shù)z=(5+2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為z=.

解析：復(fù)數(shù)z=(5+2i)2=21+20i,其實(shí)部是21,z=21-20i.

答案：2121-20i

11.若。為實(shí)數(shù)，春蕾=一讓「則。=，2+5在第象限.

解析：[2+I右ai=一?可得2+ai=-&i(l+，ii)=2-Ei,所以a=—也,2+ai=2—，ii在第四

象限.

答案：一位四

12.若復(fù)數(shù)z=(a—2)+3i(a￡R)是純虛數(shù)，則。=____,.

1十〃1

解析：?.?z=a-2+3i(aWR)是純虛數(shù)，：.a=2t

?〃+i_2+i?2+i??l-2i?_4_3.

'l+ai=l+2i=5=5-5h

答案：2Ri

13.已知復(fù)數(shù)N=7^(i是虛數(shù)單位)，則N的實(shí)部是_____，kl=_______.

1I/I

解析：Vz=Y^^7=2+i,的實(shí)部是2.

|z|=|24-i|=V5.

答案：2小

14.設(shè)復(fù)數(shù)。+歷(a,/>￡R)的模為有，則(a+歷)(。一加)=.

解析：V|a+bi\=yja2+b2=\[3,

(a+bi)(a—bi)=a2-\-b2=3.

答案：3

15.若關(guān)于x的方程/+(2—i)x+(2m—4)i=0有實(shí)數(shù)根，則純虛數(shù)〃?=.

解析：設(shè)機(jī)=/>iSWR且內(nèi)M)),則爐+(2-迷+(24-4)i=0,化—得(爐+丈一動(dòng))+(-*-4)1=0,

fx2+2x-2Z>=0,fx=-4,

即1解得彳：.m=4i.

-x-4=0,1b=4t

答案：4i

12/14

三、解答題(本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

16.(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)復(fù)數(shù)z=lg—2〃L2)+(/〃2+3/n+2)i(〃?GR),試求,"取何值時(shí)？

(l)z是實(shí)數(shù).

(2)z是純虛數(shù).

(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第一象限.

解：(1)由〃產(chǎn)+3，〃+2=0且加一2〃?一2>0,解得/〃=—1或切=-2,復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù).

(2)當(dāng)實(shí)部等于零且虛部不等于零時(shí)，復(fù)數(shù)表示純虛數(shù).

由lg(m2—2/n