重慶楊家坪中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將一個(gè)表面積為的球用一個(gè)正方體盒子裝起來(lái)，則這個(gè)正方體盒子的最小體積為（）A. B.C. D.2．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.3．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.4．已知是公差為3的等差數(shù)列.若，，成等比數(shù)列，則的前10項(xiàng)和（）A.165 B.138C.60 D.305．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上．后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn)．已知△ABC的頂點(diǎn)，其歐拉線(xiàn)方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A.（） B.（）C.（） D.（）6．若是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.8．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A. B.C. D.9．已知圓的半徑為，平面上一定點(diǎn)到圓心的距離，是圓上任意一點(diǎn).線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和直線(xiàn)相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的離心率取值范圍為（）A. B.C. D.10．閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出A.數(shù)列的第4項(xiàng) B.數(shù)列的第5項(xiàng)C.數(shù)列的前4項(xiàng)的和 D.數(shù)列的前5項(xiàng)的和11．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（）A. B.C. D.12．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，左焦點(diǎn)為F，實(shí)軸右端點(diǎn)為A，虛軸上端點(diǎn)為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．射擊隊(duì)某選手命中環(huán)數(shù)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次，兩次命中環(huán)數(shù)相互獨(dú)立，則他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為_(kāi)________________.(結(jié)果用小數(shù)表示)14．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)APP，某市宣傳部門(mén)為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個(gè)座談會(huì),現(xiàn)從參加座談會(huì)的5人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？15．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.16．如圖，莖葉圖所示數(shù)據(jù)平均分為91，則數(shù)字x應(yīng)該是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線(xiàn)（1）當(dāng)直線(xiàn)與圓相交，求的取值范圍；（2）當(dāng)直線(xiàn)與圓相交于、兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線(xiàn)的方程18．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線(xiàn)性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對(duì)值都不超過(guò)1，則稱(chēng)所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.（2）假設(shè)該起點(diǎn)站等候人數(shù)為24人，請(qǐng)你根據(jù)（1）中的結(jié)論預(yù)測(cè)車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔多少時(shí)間合適?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線(xiàn)=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得恒成立時(shí)的最小正整數(shù).20．（12分）已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)與y軸垂直的直線(xiàn)交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求m的取值范圍21．（12分）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用向量方法證明：已知直線(xiàn)l，a和平面，，，，求證：.22．（10分）解下列不等式：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出球的半徑，要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，故該球的半徑為11cm，若要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑，即22cm，所以這個(gè)正方體盒子的最小體積為.故選：C.2、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)3、D【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出幾何體的外接球直徑，結(jié)合球體體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線(xiàn)段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用求解4、A【解析】由等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的性質(zhì)求得首項(xiàng)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算【詳解】因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，所以，解得，所以故選：A5、A【解析】根據(jù)題意，求得的外心，再根據(jù)外心的性質(zhì)，以及重心的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故的斜率，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故的垂直平分線(xiàn)的方程為，即，故△的外心坐標(biāo)即為與的交點(diǎn)，即，不妨設(shè)點(diǎn)，則，即；又△的重心的坐標(biāo)為，其滿(mǎn)足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對(duì)應(yīng)或，即或，因?yàn)榕c點(diǎn)重合，故舍去.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.6、D【解析】根據(jù)已知條件，找出，的齊次關(guān)系式即可得到雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計(jì)算得，故.故選：D.【點(diǎn)睛】雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)7、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，則大陰影等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，小正方形邊長(zhǎng)為，小陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為，小白色等腰直角三角形底邊長(zhǎng)為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A8、B【解析】因,故其共軛復(fù)數(shù).應(yīng)選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算.9、D【解析】分點(diǎn)A在圓內(nèi)，圓外兩種情況，根據(jù)中垂線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合橢圓、雙曲線(xiàn)的定義可判斷軌跡，再由離心率計(jì)算即可求解.【詳解】當(dāng)A在圓內(nèi)時(shí)，如圖，,所以的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，此時(shí)，，.當(dāng)A在圓外時(shí)，如圖，因?yàn)?，所以軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，其中，，此時(shí)，，.綜上可知，.故選：D10、B【解析】分析：模擬程序的運(yùn)行,依次寫(xiě)出每次循環(huán)，直到滿(mǎn)足條件,退出循環(huán),輸出A的值即可詳解：模擬程序的運(yùn)行,可得:

A=0,i=1執(zhí)行循環(huán)體,,

不滿(mǎn)足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿(mǎn)足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿(mǎn)足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿(mǎn)足條件,執(zhí)行循環(huán)體,滿(mǎn)足條件,退出循環(huán),輸出A的值為31.觀察規(guī)律可得該算法的功能是輸出數(shù)列{}的第5項(xiàng).所以B選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛：模擬程序的運(yùn)行,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的A,i的值,當(dāng)i=6時(shí)滿(mǎn)足條件,退出循環(huán),輸出A的值,觀察規(guī)律即可得解.11、C【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，而直線(xiàn)的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C12、A【解析】根據(jù)三邊的關(guān)系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、84【解析】先求出該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率，由對(duì)立事件的概率可得答案.【詳解】該選手射擊一次，命中的環(huán)數(shù)低于9環(huán)的概率為該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率為所以他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為故答案：0.8414、（1）平均時(shí)長(zhǎng)為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個(gè)數(shù)，從而利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解【小問(wèn)1詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)中位數(shù)滿(mǎn)足，解得，即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)為6.8，中位數(shù)為【小問(wèn)2詳解】解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標(biāo)記為，，，將中的標(biāo)記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率15、【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.16、1【解析】結(jié)合莖葉圖以及平均數(shù)列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，利用幾何法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)勾股定理求出圓心到直線(xiàn)的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的值，即可求出直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相交，則，解得.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，則圓心到直線(xiàn)的距離為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，整理得，解得或.所以，直線(xiàn)的方程為或.18、（1），是“恰當(dāng)回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應(yīng)用最小二乘法求出回歸直線(xiàn)方程，再分別估計(jì)、時(shí)的值，結(jié)合“恰當(dāng)回歸方程”的定義判斷是否為“恰當(dāng)回歸方程”.（2）根據(jù)（1）所得回歸直線(xiàn)方程，將代入求x值即可.【小問(wèn)1詳解】中間4組數(shù)據(jù)是：間隔時(shí)間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928因?yàn)?，所以，故，又，所以，?dāng)時(shí)，，而；當(dāng)時(shí)，，而；所以所求的線(xiàn)性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間10分鐘較合適.19、(1)(2)1【解析】（1）先設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，列出方程組求出首項(xiàng)和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以解得所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整數(shù)為1【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和的問(wèn)題，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.20、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對(duì)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，