2025-2026學(xué)年上海市致遠(yuǎn)中學(xué)上學(xué)期9月月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、單選題(★)1.符號(hào)sinA表示（）

A．∠A的正弦B．∠A的余弦C．∠A的正切D．∠A的余切(★★)2.如果，那么（）

A．B．C．5D．(★)3.在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．(★★)4.直角梯形ABCD如圖放置，AB、CD為水平線，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，從低處A處看高處C處，那么點(diǎn)C在點(diǎn)A的（）

A．俯角67°方向B．俯角23°方向C．仰角67°方向D．仰角23°方向(★★★)5.已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關(guān)系是（）

A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反C．和方向互相垂直D．和之間夾角的正切值為5(★★)6.如果點(diǎn)、、分別在邊、、上，聯(lián)結(jié)、，且，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么二、填空題(★)7.已知，那么___________(★)8.如果，那么銳角___________度(★★)9.線段AB＝2cm，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則AP的長(zhǎng)為_(kāi)____cm．(★★★)10.計(jì)算：2（﹣2）+3（+）＝_______．(★★)11.在比例尺為1:8000000地圖上測(cè)得甲、乙兩地間的圖上距離為4厘米，那么甲、乙兩地間的實(shí)際距離為_(kāi)___________千米(★★)12.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1：2，那么它們某一對(duì)對(duì)應(yīng)邊上的高之比為_(kāi)____．(★★)13.如圖，，，，，那么___________(★★★)14.如圖，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點(diǎn)E，連接BE，若BE=9，BC=12，則cosC=_____．(★★★)15.如圖，的中線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，那么_____．(★★★)16.如圖，斜坡長(zhǎng)為100米，坡角，現(xiàn)因“改小坡度”工程的需要，將斜坡改造成坡度的斜坡（、、三點(diǎn)在地面的同一條垂線上），那么由點(diǎn)到點(diǎn)下降了_________米（結(jié)果保留根號(hào)）(★★★)17.如圖，點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8的線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，如果AC＜BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACD、△BCE，聯(lián)結(jié)DE，當(dāng)△CDE的面積為3時(shí)，線段AC的長(zhǎng)度是_____．(★★★★)18.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，將矩形ABCD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形A'BC'D'，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'在對(duì)角線AC上，點(diǎn)C、D分別與點(diǎn)C'、D'對(duì)應(yīng)，A′D'與邊BC交于點(diǎn)E，那么BE的長(zhǎng)是_____．三、解答題(★★★)19.計(jì)算：(★★★)20.如圖，在梯形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，設(shè)，．(1)試用、的式子表示向量；(2)在圖中作出向量在、方向上的分向量，并寫(xiě)出結(jié)論．(★★★)21.如圖，已知在中，，，延長(zhǎng)邊至點(diǎn)D，使，連接.（1）求的正切值；（2）取邊的中點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)F，求的值.(★★★)22.某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓的高度，他們先在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得樓頂M的仰角為30°，再沿DF方向前行40米到達(dá)點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處測(cè)得樓頂M的仰角為45°，已知測(cè)角儀的高AD為1.5米．請(qǐng)根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)求此樓MF的高．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）(★★★)23.在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，與交于點(diǎn)F.若平分，．(1)求證：；(2)若，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：．(★★★★)24.綜合與實(shí)踐(1)【問(wèn)題初探】某興趣小組探索這樣一個(gè)問(wèn)題：若是的角平分線，則線段，，，有何數(shù)量關(guān)系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，請(qǐng)完成填空：

小智的思路和方法：如圖①，作，，垂足分別為M，N．

∵平分，，，___________．

∵，，∴．

再用另一種方式表示與的面積，即可推導(dǎo)出結(jié)論…小勇的思路和方法：如圖②，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

∵平分，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴___________．

再通過(guò)證明得到比例式，從而推導(dǎo)出結(jié)論…根據(jù)小智或小勇的方法，可以得到線段，，，的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)【變式拓展】小慈對(duì)問(wèn)題作了進(jìn)一步拓展：如圖3，在中，，D是邊上一點(diǎn)，，，求的值．請(qǐng)你完成解答．(3)【遷移應(yīng)用】請(qǐng)你借助以上結(jié)論或方法，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖4的線段上作一點(diǎn)P，使．（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(★★★★)25.在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），連接CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥