第一類曲線積分例題與習(xí)題第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第十一章一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用設(shè)

是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在

上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,

上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì)

的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)如果L是xOy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).3.性質(zhì)（

,

為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長(zhǎng)度)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分說(shuō)明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:建立坐標(biāo)系如圖,則例3.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得例4.計(jì)算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線例5.計(jì)算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知例6.計(jì)算其中

為球面解:化為參數(shù)方程則例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

的長(zhǎng)度)3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它的質(zhì)心.解:設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)故重心坐標(biāo)為作業(yè)P1883(3),(4),(6),(7)5第二節(jié)2.

L為球面標(biāo)面的交線,求其形心坐標(biāo).在第一卦限與三