第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

章末小結(jié)知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升易錯易混·銜接高考目錄索引

知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一導(dǎo)數(shù)的計算及幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高中數(shù)學(xué)的重要考點,常與導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)運算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)結(jié)合,考查求切線方程、切點坐標(biāo),以及與切線平行、垂直的直線問題,難度中低檔為主.導(dǎo)數(shù)的幾何意義還常應(yīng)用于解決與距離相關(guān)的最值問題,處理此類問題一般利用函數(shù)圖象的切線,將距離的最值轉(zhuǎn)化為點到直線、平行線間的距離問題解決.通過導(dǎo)數(shù)幾何意義的問題,提升數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng),對轉(zhuǎn)化與化歸思想有較多的體現(xiàn).【例1】

(1)設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(x)=xln(2x-1),則f'(1)=

.

2

(2)曲線f(x)=3x-cosx在(0,f(0))處的切線與直線2x-my+1=0垂直,則實數(shù)m的值為

.

-6解析

f'(x)=3+sin

x,∴f'(0)=3,∴f(x)在(0,f(0))處的切線斜率為3,∵f(x)在(0,f(0))處的切線與直線2x-my+1=0垂直,∴

=-1,解得m=-6.規(guī)律方法

導(dǎo)數(shù)的運算是解決一切導(dǎo)數(shù)問題的基礎(chǔ),要熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則,掌握函數(shù)的和、差、積、商的運算法則.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清層次,逐層求導(dǎo),求導(dǎo)時不要忘了對內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo).變式訓(xùn)練1(1)已知曲線f(x)=alnx+x2在點(1,1)處的切線與直線x+y=0平行,則實數(shù)a的值為(

)A.-3 B.1

C.2

D.3A解析

由f(x)=aln

x+x2,得f'(x)=+2x,則曲線在點(1,1)處的切線斜率為k=a+2,由切線與直線x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.

專題二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),主要以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三次函數(shù)為載體,研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,并能解決有關(guān)的問題;通過求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).【例2】

已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)a≥1時,f(x)≥0.(1)解

f(x)的定義域為(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).①若a≤0,則f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.②若a>0,由f'(x)=0,得x=-ln

a.當(dāng)x∈(-∞,-ln

a)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(-ln

a,+∞)時,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞減,在(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a≤0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時,f(x)在(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞減,在(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.(2)證明

(方法1)當(dāng)a≥1時,a(e2x+ex)-2ex-x≥e2x-ex-x.令h(x)=e2x-ex-x,則h'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1),由h'(x)=0得x=0,當(dāng)x∈(-∞,0)時,h'(x)<0,當(dāng)x∈(0,+∞)時,h'(x)>0,所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(0)=0.所以,當(dāng)a≥1時,f(x)≥0.(方法2)由(1)知,當(dāng)a≥1時,f(x)在(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞減,在(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決一切應(yīng)用問題的基礎(chǔ),一般按照求導(dǎo)、通分、因式分解、分類討論的思路研究函數(shù)的單調(diào)性,從而掌握函數(shù)圖象的變化趨勢,達到解決問題的目的.專題三與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合性問題導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的強有力的工具,從近幾年高考題看,利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、函數(shù)的零點、證明不等式這些知識點?？嫉?一般為解答題.其實質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)及圖象,解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù),然后考查這個函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解.【例3】

已知函數(shù)f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若對所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若關(guān)于x的方程f(x)=b恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍.∴當(dāng)x≥1時,g'(x)≥0,且不恒為0,∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(x)min=g(1)=1,∴a≤1,即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].(3)若關(guān)于x的方程f(x)=b恰有兩個不相等的實數(shù)根,則y=b的圖象和y=f(x)的圖象在(0,+∞)上有兩個不同的交點.規(guī)律方法

綜合性問題一般伴隨著分類討論、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法,關(guān)鍵是分類討論時,是否做到了不重不漏;數(shù)形結(jié)合時是否掌握了函數(shù)圖象的變化趨勢;構(gòu)造函數(shù)時是否合理等問題.變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)在[0,1]上有兩個零點,求a的取值范圍.解

(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時,f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,由f'(x)=0,得x=ln

a,所以當(dāng)x∈(-∞,ln

a)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln

a,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a≤0時,f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,f(x)在(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,ln

a)上單調(diào)遞減.(2)由(1)知當(dāng)a≤0時,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,至多有一個零點,不符合題意;當(dāng)a>0時,當(dāng)ln

a≤0,即0<a≤1時,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,不符合題意;當(dāng)0<ln

a≤1,即1<a≤e時,f(x)在[0,ln

a]上單調(diào)遞減,在[ln

a,1]上單調(diào)遞增,且f(0)=0,f(1)=e-a-1,要使f(x)在[0,1]上有兩個零點,當(dāng)ln

a>1,即a>e時,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,不符合題意.所以當(dāng)a∈(1,e-1]時,f(x)在[0,1]上有兩個零點.專題四導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最優(yōu)問題的基本思路(1)設(shè)出變量,找出函數(shù)關(guān)系式,確定定義域;(2)在實際應(yīng)用問題中,若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個極值點,則它就是最值點.【例4】

(2025江蘇連云港高二檢測)數(shù)學(xué)課上,老師出示了以下習(xí)題:已知圓柱內(nèi)接于半徑為3的球O,求圓柱體積V的最大值.為了求出圓柱體積V的最大值,小明和小亮兩位同學(xué)分別給出了如下兩種方案:(1)小明的方案:設(shè)圓柱的高為x,請你幫他寫出體積V與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出圓柱體積的最大值;(2)小亮的方案:取圓柱底面圓O'上一點P,連接PO,PO',設(shè)∠OPO'=θ,請你幫他寫出體積V與θ之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出圓柱體積的最大值.

規(guī)律方法

解決優(yōu)化問題的步驟(1)分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,并確定函數(shù)的定義域.(2)通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值與最大(小)值,提出優(yōu)化方案,使問題得以解決.在這個過程中,導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.(3)驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義.易錯易混·銜接高考12341.(2023新高考Ⅱ,6)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-25C

12342.(多選題)(2024新高考Ⅰ,10)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-4),則(

)A.x=3是函數(shù)f(x)的極小值點

B.當(dāng)0<x<1時,f(x)<f(x2)C.當(dāng)1<x<2時,-4<f(2x-1)<0 D.當(dāng)-1<x<0時,f(2-x)>f(x)5ACD12345解析

∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函數(shù)f(x)的定義域為R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.當(dāng)x<1或x>3時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)1<x<3時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,∴x=3是函數(shù)f(x)的極小值點,∴A正確.當(dāng)0<x<1時,0<x2<x<1,又由上可知當(dāng)0<x<1時,f(x)單調(diào)遞增,∴f(x2)<f(x),∴B錯誤.當(dāng)1<x<2時,f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正確.當(dāng)-1<x<0時,2<2-x<3.由f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,且在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減知,-20<f(x)<-4,-4<f(2-x)<0,故f(2-x)>f(x),∴D正確.故選ACD.12343.(多選題)(2024新高考Ⅱ,11)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+1,則(

)A.當(dāng)a>1時,f(x)有三個零點B.當(dāng)a<0時,x=0是f(x)的極大值點C.存在a,b使得直線x=b為曲線y=f(x)的對稱軸D.存在a使得點(1,f(1))為曲線y=f(x)的對稱中心5AD12345解析由題得,f'(x)=