3.1.1

橢圓及其標準方程用坐標法研究曲線的基本思路：現(xiàn)實背景曲線概念曲線方程曲線性質(zhì)曲線應(yīng)用明確研究思路常用的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合觀看視頻，請說說你看到的橢圓自然界中的橢圓竹子的斜截面，臍橙，西瓜，雞蛋，晶狀體籃球的光影，傾斜的水面，行星公轉(zhuǎn)的軌道……橢圓是自然界中常見的圖形橢圓在生產(chǎn)、生活、科技中的應(yīng)用橢圓的光學(xué)性質(zhì)橢圓的發(fā)展歷程動手操作請按照以下要求完成實驗（1）將繩子的兩端分別固定在圖板上的兩點（要求：繩子的長度大于兩點間的距離）（2）套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出軌跡。問題1：觀察筆尖畫出的軌跡是什么曲線？MF1F2動手操作問題2：回顧操作過程，思考（1）在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了嗎？說明了什么？（2）在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？|MF1|+|MF2|=常數(shù)(繩長).|MF1|+|MF2|>|F1F2|

平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點(M)的集合叫做圓,其中定點(O)叫做圓心,定長(|MO|)叫做半徑.MF1F2類比橢圓的定義|MF1|+|MF2|=常數(shù)（|MF1|+|MF2|>|F1F2|）

這兩個定點叫做橢圓的焦點(focus),兩焦點間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距(focusdistance),焦距的一半稱為半焦距.

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓(ellipse).

MF1F2(ii)當(dāng)常數(shù)

<|F1F2|時,點M的軌跡不存在.點M的軌跡是線段F1F2;F1F2M(i)當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時,121.焦點在x軸上的橢圓的標準方程以經(jīng)過橢圓兩焦點F1,F2的直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系Oxy,如圖所示.觀察橢圓的形狀,你認為怎樣建立坐標系使所得的橢圓方程形式簡單？根據(jù)橢圓的定義,設(shè)點M與焦點F1,F2的距離的和等于2a.則

|MF1|+|MF2|=2a

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點,橢圓的焦距為2c,那么焦點F1,F2的坐標分別是(-c,0),(c,0).xyOM(x,y)F1F22.動點滿足的幾何條件(-c,0)(c,0)1.建系設(shè)點3.列方程橢圓的標準方程13整理,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.對方程②兩邊平方,得整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).④③式兩邊再平方,得∵2a>2c>0,即a>c>0,∴a2-c2>0.將方程④兩邊同除以a2(a2-c2),得⑤4.化簡方程14由求解過程可知橢圓上任意一點的坐標(x,y)都滿足方程⑥;反之,以方程⑥的解為坐標的點(x,y)與橢圓的兩個焦點間的距離之和為2a,即以方程⑥的解為坐標的點都在橢圓上.|OF1|=|OF2|=c,稱方程⑥是橢圓的方程,這個方程叫做橢圓的標準方程.它兩個焦點分別是F1(-c,0),F2(c,0)

xyOPF1F2ac⑥abc(a>b>0)由圖可知,|PF1|=|PF2|=a,5.檢驗x2對應(yīng)大分母a2.五步法且a2=b2+c215

如果焦點F1,F2在y軸上,且F1(0,-c),F2(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么？焦點在x軸上的橢圓的標準方程

(a>b>0)焦點是F1(-c,0),F2(c,0).xyOMF1F2xyOMF1F22.焦點在y軸上的橢圓的標準方程16焦點在x軸上的橢圓的標準方程

(a>b>0)焦點是F1(-c,0),F2(c,0).xyOMF1F22.焦點在y軸上的橢圓的標準方程

如果焦點F1,F2在y軸上,且F1(0,-c),F2(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么？17焦點在x軸上的橢圓的標準方程

(a>b>0)焦點是F1(-c,0),F2(c,0).xyOMF1F2將x軸與y軸互換.這是焦點在y軸上的橢圓的標準方程.y2對應(yīng)大分母a2.焦點是F1(0,-c),F2(0,c).(a>b>0)2.焦點在y軸上的橢圓的標準方程

如果焦點F1,F2在y軸上,且F1(0,-c),F2(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么？18定義|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)標準方程圖形焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2ca,b,c的關(guān)系a2

=b2+c2哪個分母大，焦點就在哪條坐標軸上！19解：由于橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標準方程為

由橢圓的定義得從而b2=a2-c2

=10-4=6.因此,所求橢圓的標準方程為例題精講(a>b>0)又c=2,定義法20由已知c=2,得a2-b2=4.①

另解：由題意,橢圓的焦點在x軸上,設(shè)它的標準方程為你還能用其他方法求它的標準方程嗎？聯(lián)立①②解方程組,得a2

=10,b2=6.所以,所求橢圓的標準方程為(a>b>0)②

待定系數(shù)法21所以

x2+4y2=4,解:設(shè)點M的坐標為(x,y),

例2如圖,在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？因為點P在圓x2+y2=4上,xyMPDO(x,y)所以點M的軌跡是橢圓.相關(guān)點代入法5.檢驗下結(jié)論2.表示出相關(guān)點的坐標1.建系設(shè)點3.代入4.化簡即由例2我們發(fā)現(xiàn),圓通過“壓縮”可得到橢圓,你能描述一下圖像變換的過程嗎？22Oxy你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？Oxy縱向壓縮圓x2+y2=4x2+(2y)2=4

橫坐標保持不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍縱向拉伸

橫坐標保持不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼膱Ax2+y2=4

23所以點M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點的橢圓.化簡,得點M的軌跡方程為

MOxy解：設(shè)點M的坐標為(x,y),得到橢圓的方法有定義，圓的伸縮，到兩定點斜率乘積為定值你還有別的方法得到橢圓嗎？5.檢驗2.動點滿足的幾何條件1.建系設(shè)點3.列方程4.化簡

24(2)由已知得b2=a2-c2=16-15=1,

解得a=6,b=4.∴a-b=2,c2=a2-b2=(a+b)(a-b),

由142.求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)a=4,b=1,焦點在x軸上;

a-b=2.a+b=10,

課堂練習(xí)一個概念四種方法兩種思想兩個方程

數(shù)形結(jié)合，類比歸納五步法，相關(guān)點法定義法，待定系數(shù)法現(xiàn)實背景曲線概念曲線方程曲線性質(zhì)曲線應(yīng)用

|MF1|+|MF2|=2a（2a>2c)課堂小結(jié)

書面作業(yè)：教材109頁練習(xí)1，2，3，4。（必做）

探究作業(yè)：1.能否表示橢圓？（選做）

2.你還有別的方法得到橢