2025單一快拿分精算師題目及答案單項選擇題1.已知隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda=2$的泊松分布，則$P(X=2)$的值為（）A.$\frac{2}{e^{2}}$B.$\frac{2}{e}$C.$\frac{2^{2}}{2!}e^{2}$D.$\frac{2^{2}}{2!}e^{1}$答案：C。根據(jù)泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{\lambda}$，已知$\lambda=2$，$k=2$，代入可得$P(X=2)=\frac{2^{2}}{2!}e^{2}$。2.設(shè)$X$和$Y$是兩個隨機(jī)變量，且$E(X)=2$，$E(Y)=3$，$E(XY)=7$，則$Cov(X,Y)$等于（）A.1B.2C.3D.4答案：A。根據(jù)協(xié)方差的計算公式$Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)$，將$E(X)=2$，$E(Y)=3$，$E(XY)=7$代入可得$Cov(X,Y)=72\times3=1$。3.已知一組數(shù)據(jù)$1,2,3,4,5$，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1B.2C.3D.4答案：B。首先計算這組數(shù)據(jù)的均值$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$。然后根據(jù)方差公式$S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}\overline{x})^{2}$，可得$S^{2}=\frac{(13)^{2}+(23)^{2}+(33)^{2}+(43)^{2}+(53)^{2}}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。簡答題1.簡述大數(shù)定律在精算中的作用。答案：大數(shù)定律在精算中具有極其重要的作用。在保險精算里，保險公司面臨眾多風(fēng)險單位。大數(shù)定律表明，當(dāng)試驗次數(shù)（即保險標(biāo)的數(shù)量）足夠多時，實際觀測到的結(jié)果的平均值會趨近于理論上的期望值。例如，在人壽保險中，雖然對于單個被保險人來說，死亡時間是不確定的，但當(dāng)保險公司擁有大量的被保險人時，根據(jù)大數(shù)定律，被保險人的實際死亡人數(shù)會趨近于根據(jù)生命表所預(yù)期的死亡人數(shù)。這使得保險公司能夠較為準(zhǔn)確地估計理賠成本，合理制定保險費率。如果沒有大數(shù)定律，保險公司難以對風(fēng)險進(jìn)行量化和定價，可能會因為定價不合理導(dǎo)致經(jīng)營風(fēng)險，要么保費過高失去市場競爭力，要么保費過低導(dǎo)致虧損。在財產(chǎn)保險等其他保險領(lǐng)域，大數(shù)定律同樣幫助保險公司基于大量的損失數(shù)據(jù)來預(yù)測未來的損失情況，從而實現(xiàn)穩(wěn)健的經(jīng)營。2.說明風(fēng)險度量指標(biāo)VaR（在險價值）的含義及局限性。答案：VaR（在險價值）是指在一定的置信水平和一定的持有期內(nèi)，某一金融資產(chǎn)或投資組合所面臨的最大潛在損失。例如，在95%的置信水平下，一天的VaR值為100萬元，意味著在未來一天內(nèi)，該資產(chǎn)或組合有95%的可能性損失不會超過100萬元。VaR的局限性主要有以下幾點：缺乏次可加性：在某些情況下，投資組合的VaR可能大于組合中各資產(chǎn)VaR之和，這與分散投資降低風(fēng)險的理念相悖，不利于投資組合的風(fēng)險管理和優(yōu)化。不能反映尾部風(fēng)險：VaR只給出了在一定置信水平下的最大潛在損失，對于超出該置信水平的極端損失情況沒有提供更多信息。而在金融市場中，極端事件雖然發(fā)生概率小，但一旦發(fā)生可能會導(dǎo)致巨大損失，VaR無法充分衡量這種尾部風(fēng)險。對分布假設(shè)敏感：VaR的計算通常依賴于對資產(chǎn)收益率的分布假設(shè)，如正態(tài)分布等。但實際金融數(shù)據(jù)往往不滿足這些假設(shè)，可能存在厚尾現(xiàn)象等，這會導(dǎo)致VaR的計算結(jié)果不準(zhǔn)確。計算題1.某保險公司承保了1000份獨立的一年期定期壽險保單，每份保單的保額為10萬元。根據(jù)生命表，每個被保險人在一年內(nèi)的死亡概率為0.005。求該保險公司在這一年中理賠總額的期望值和方差。答案：設(shè)$X_{i}$表示第$i$份保單在一年內(nèi)的理賠金額，$i=1,2,\cdots,1000$。$X_{i}$服從兩點分布，當(dāng)?shù)?i$個被保險人在一年內(nèi)死亡時，$X_{i}=100000$，概率$p=0.005$；當(dāng)?shù)?i$個被保險人在一年內(nèi)未死亡時，$X_{i}=0$，概率$1p=0.995$。首先求$E(X_{i})$和$D(X_{i})$：根據(jù)期望公式$E(X_{i})=100000\times0.005+0\times0.995=500$。根據(jù)方差公式$D(X_{i})=E(X_{i}^{2})[E(X_{i})]^{2}$，$E(X_{i}^{2})=100000^{2}\times0.005+0^{2}\times0.995=500000000$，則$D(X_{i})=500000000500^{2}=499750000$。設(shè)$S=\sum_{i=1}^{1000}X_{i}$表示理賠總額。由于各保單相互獨立，根據(jù)期望的性質(zhì)$E(S)=\sum_{i=1}^{1000}E(X_{i})$，所以$E(S)=1000\times500=500000$（元）。根據(jù)方差的性質(zhì)$D(S)=\sum_{i=1}^{1000}D(X_{i})$，所以$D(S)=1000\times499750000=499750000000$。所以該保險公司在這一年中理賠總額的期望值為50萬元，方差為$4.9975\times10^{11}$。2.已知某投資組合的收益率$R$服從正態(tài)分布$N(0.1,0.04)$，求在95%的置信水平下，該投資組合的VaR（在險價值）。答案：因為收益率$R$服從正態(tài)分布$N(0.1,0.04)$，即均值$\mu=0.1$，標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma=\sqrt{0.04}=0.2$。在95%的置信水平下，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)$z_{\alpha}$，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得$z_{0.05}\approx1.645$（這里是單側(cè)分位數(shù)）。根據(jù)VaR的計算公式$VaR=(\mu+z_{\alpha}\sigma)$（這里的負(fù)號是為了使VaR表示損失