2025年高中物理競(jìng)賽未來導(dǎo)向的物理問題測(cè)試（五）一、力學(xué)模塊：復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化分析1.1多體耦合系統(tǒng)的拉格朗日方程建模題目：如圖1所示，光滑水平面上固定有一勁度系數(shù)k=100N/m的輕質(zhì)彈簧，彈簧左端連接質(zhì)量M=2kg的滑塊A，右端通過理想滑輪與一質(zhì)量m=1kg的小球B相連，小球懸掛于豎直平面內(nèi)?；瑝KA右側(cè)連接一根長(zhǎng)L=1m的不可伸長(zhǎng)柔索，柔索另一端固定在質(zhì)量m=1kg的滑塊C上，柔索初始處于松弛狀態(tài)。t=0時(shí)刻給滑塊A水平向左的初速度v?=3m/s，同時(shí)釋放系統(tǒng)。已知重力加速度g=10m/s2，忽略滑輪質(zhì)量及摩擦。（1）建立系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)微分方程組；（2）求柔索剛拉直瞬間滑塊A的速度及彈簧伸長(zhǎng)量；（3）分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中的奇異點(diǎn)位置（即加速度突變點(diǎn)）。解析：（1）選取滑塊A的位移x（向右為正）、小球B的豎直位移y（向下為正）為廣義坐標(biāo)，柔索未拉直時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能T=?M?2+?m?2，勢(shì)能V=?kx2-mgy（彈簧彈性勢(shì)能以原長(zhǎng)為零點(diǎn)）。由幾何關(guān)系x=y，拉格朗日函數(shù)L=T-V=?(M+m)?2-?kx2+mgx。代入拉格朗日方程d/dt(?L/??)-?L/?x=0，得(M+m)?+kx=mg，即3?+100x=10。（2）柔索拉直前滑塊A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，方程通解x(t)=Acos(ωt+φ)+mg/k，其中ω=√[k/(M+m)]=√(100/3)≈5.77rad/s。代入初始條件x(0)=0，?(0)=-v?=-3m/s，解得A=-0.52m，φ=0。當(dāng)x=L=1m時(shí)柔索拉直，此時(shí)cos(ωt)=[x(t)-mg/k]/A=(1-0.1)/(-0.52)≈-1.73，說明柔索在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)第一個(gè)周期內(nèi)未達(dá)到伸長(zhǎng)量1m，實(shí)際運(yùn)動(dòng)中滑塊A將先減速至速度為零后反向加速。由能量守恒?Mv?2=?kx2，解得x=√(Mv?2/k)=√(2×9/100)=0.424m<1m，故柔索始終處于松弛狀態(tài)，彈簧最大伸長(zhǎng)量0.424m，滑塊A速度為零時(shí)彈簧勢(shì)能最大。（3）系統(tǒng)奇異點(diǎn)出現(xiàn)在柔索張力突變時(shí)刻，當(dāng)x=1m時(shí)柔索拉直，此時(shí)需考慮滑塊C的碰撞沖量。由動(dòng)量定理，柔索張力的沖量使滑塊C獲得速度v，同時(shí)滑塊A損失動(dòng)量，此時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能不再守恒，需用動(dòng)量守恒與能量守恒聯(lián)立求解。1.2非線性阻力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析題目：電磁彈射式過山車原型中，質(zhì)量m=50kg的小車沿θ=30°的光滑斜面下滑，所受空氣阻力f=kv2（k=0.2kg/m），斜面長(zhǎng)L=20m。小車從斜面頂端由靜止釋放，已知重力加速度g=10m/s2。（1）推導(dǎo)小車速度v與位移x的關(guān)系方程；（2）計(jì)算小車到達(dá)斜面底端時(shí)的速度；（3）若k隨速度線性增大k=0.2+0.01v（v單位m/s），重新計(jì)算底端速度。解析：（1）沿斜面方向受力分析：mgsinθ-kv2=ma=mvdv/dx，分離變量得∫??dx=∫??[mvdv/(mgsinθ-kv2)]。積分得x=-(m/(2k))ln(mgsinθ-kv2/mgsinθ)，整理得v=√[(mgsinθ/k)(1-e^(-2kx/m))]。（2）代入x=20m，m=50kg，k=0.2kg/m，得v=√[(50×10×0.5/0.2)(1-e^(-2×0.2×20/50))]=√[1250(1-e^(-0.16))]≈√[1250×0.148]=13.5m/s。（3）非線性阻力下微分方程為mvdv/dx=mgsinθ-(0.2+0.01v)v2，即dv/dx=(250-0.2v2-0.01v3)/50v。采用數(shù)值積分法，取Δx=0.1m迭代計(jì)算，當(dāng)x=20m時(shí)v≈11.8m/s，較線性阻力情況降低12.6%。二、電磁學(xué)模塊：時(shí)變場(chǎng)與前沿應(yīng)用2.1石墨烯等離激元傳播特性題目：?jiǎn)螌邮┰诩t外波段可視為二維電子氣，其表面等離激元（SPPs）滿足色散關(guān)系ω=αq（α為常數(shù)，q為波矢）。已知石墨烯電導(dǎo)率σ=σ?/(1-iωτ)（σ?=ne2τ/m*，τ為弛豫時(shí)間），真空中光速c=3×10?m/s，介電常數(shù)ε?=8.85×10?12F/m。（1）推導(dǎo)SPPs的能流密度S與波矢q的關(guān)系；（2）當(dāng)頻率ω=101?Hz時(shí)，測(cè)得SPPs波長(zhǎng)λ=600nm，計(jì)算α值；（3）若石墨烯表面覆蓋厚度d=100nm的SiO?層（ε?=3.9），分析等離激元波長(zhǎng)變化趨勢(shì)。解析：（1）等離激元能流密度S=?Re(E×H*)，對(duì)于橫磁模，電場(chǎng)E=E?e^(i(qx-ωt))?，磁場(chǎng)H=H?e^(i(qx-ωt))?。由麥克斯韋方程組?×E=-?B/?t得qE?=ωμ?H?，?×H=J+?D/?t得qH?=σE?+iωε?ε?E?。聯(lián)立解得q=√[ωμ?(σ+iωε?ε?)]，代入色散關(guān)系ω=αq得α=ω/q=1/√[μ?(σ/ω+iε?ε?)]。取實(shí)部得S=?E?H?=?ωμ?|E?|2/q∝q?1。（2）由λ=2π/q得q=2π/λ≈1.047×10?m?1，α=ω/q=101?/1.047×10?≈9.55×10?m/s。（3）覆蓋介質(zhì)后有效介電常數(shù)增大，由色散關(guān)系q∝√(ε?)，波長(zhǎng)λ=2π/q∝1/√(ε?)，故波長(zhǎng)縮短為真空中的1/√3.9≈0.51倍，即λ≈306nm。2.2電磁感應(yīng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)題目：某實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，半徑R=0.2m的圓形線圈（N=50匝，電阻r=1Ω）與電容C=100μF的電容器并聯(lián)，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度B(t)=B?sin(ωt)的交變磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直線圈平面。已知B?=0.1T，ω=100πrad/s，外接電阻R=4Ω。（1）計(jì)算線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值；（2）求電路中電流的瞬時(shí)表達(dá)式；（3）分析電容器的充電放電過程，計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱。解析：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε=-N(dΦ/dt)=-NπR2dB/dt=-NπR2B?ωcos(ωt)，最大值ε?=NπR2B?ω=50×π×0.04×0.1×100π≈197.39V。（2）RLC并聯(lián)電路阻抗Z=1/(1/R+1/(iωL)+iωC)，其中線圈自感L≈μ?N2A/l（l為線圈長(zhǎng)度，此處近似取L=0.1mH）。因ωL=0.0314Ω<<R，可忽略電感，總阻抗Z≈1/(1/R+iωC)=R/(1+iωCR)。電流I=ε/Z=ε(1/R+iωC)=ε?[cos(ωt)/R-ωCsin(ωt)]，代入數(shù)據(jù)得I=197.39[cos(100πt)/4-100π×10??sin(100πt)]≈49.35cos(100πt)-6.19sin(100πt)A。（3）電容器電壓Uc=Q/C=∫Idt/C，一個(gè)周期內(nèi)電阻發(fā)熱Q=∫??(I2R)dt=R(?I?2)T，其中I?=√(49.352+6.192)≈49.7A，T=0.02s，故Q=4×0.5×49.72×0.02≈98.8J。三、近代物理模塊：量子與拓?fù)湮锢?.1量子糾纏態(tài)退相干過程題目：考慮兩量子比特系統(tǒng)，初始處于貝爾態(tài)|Φ??=(|00?+|11?)/√2。系統(tǒng)與環(huán)境耦合導(dǎo)致退相干，密度矩陣演化滿足主方程?ρ/?t=γ(σ??ρσ??-ρ)/2，其中γ=10?s?1為退相干率，σ??為第一個(gè)比特的泡利算符。（1）寫出初始密度矩陣ρ(0)；（2）推導(dǎo)t時(shí)刻密度矩陣的非對(duì)角元表達(dá)式；（3）計(jì)算量子相干性消失的特征時(shí)間（即非對(duì)角元衰減至初始值1/e的時(shí)間）。解析：（1）初始密度矩陣ρ(0)=|Φ???Φ?|=(|00??00|+|00??11|+|11??00|+|11??11|)/2，矩陣形式為：ρ(0)=?[1001;0000;0000;1001]（2）主方程作用于非對(duì)角元ρ??=?00|ρ|11?，得dρ??/dt=γ(σ??ρσ??-ρ)??/2=γ(ρ??e^(i2φ)-ρ??)/2（φ為環(huán)境相位）。在馬爾可夫近似下，解得ρ??(t)=ρ??(0)e^(-γt)，即非對(duì)角元按指數(shù)規(guī)律衰減。（3）相干性消失時(shí)間τ=1/γ=10??s，即1微秒。3.2拓?fù)浣^緣體表面態(tài)輸運(yùn)題目：拓?fù)浣^緣體Bi?Se?表面態(tài)的電子色散關(guān)系為E(k)=?vF|k|，其中vF=5×10?m/s為費(fèi)米速度，電子濃度n=101?m?2。在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的垂直磁場(chǎng)中，觀測(cè)到量子霍爾效應(yīng)。（1）計(jì)算費(fèi)米波矢kF及費(fèi)米能量EF；（2）求霍爾電阻Rh的量子化值；（3）若樣品尺寸為長(zhǎng)L=1mm、寬W=0.5mm，計(jì)算零磁場(chǎng)下的表面態(tài)電導(dǎo)率σ。解析：（1）由電子濃度n=kF2/(2π)得kF=√(2πn)=√(2π×101?)≈7.98×10?m?1，EF=?vFkF=1.05×10?3?×5×10?×7.98×10?≈4.2eV。（2）拓?fù)浔砻鎽B(tài)為二維無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子，量子霍爾電阻Rh=h/(2e2ν)，ν=1時(shí)Rh=25812Ω（量子霍爾電阻基值的1/2）。（3）電導(dǎo)率σ=neμ，其中遷移率μ=vF/E=vF/(?vFkF/e)=e/(?kF)≈1.6×10?1?/(1.05×10?3?×7.98×10?)≈1.88×10?m2/Vs，故σ=101?×1.6×10?1?×1.88×10?≈3008S。四、實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)處理4.1力學(xué)振動(dòng)測(cè)量實(shí)驗(yàn)題目：用單擺法測(cè)量重力加速度，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示（擺長(zhǎng)L±ΔL，周期T±ΔT）：|序號(hào)|L/m|ΔL/m|T/s|ΔT/s||------|-----|------|-----|------||1|0.5|0.001|1.42|0.01||2|0.6|0.001|1.55|0.01||3|0.7|0.001|1.67|0.01||4|0.8|0.001|1.79|0.01||5|0.9|0.001|1.90|0.01|（1）用作圖法求g值（要求畫出T2-L圖線）；（2）計(jì)算g的不確定度；（3）分析實(shí)驗(yàn)誤差來源，提出減小誤差的改進(jìn)措施。解析：（1）單擺周期公式T=2π√(L/g)，故T2=4π2L/g，圖線斜率k=4π2/g。計(jì)算T2值：1.422=2.016，1.552=2.403，1.672=2.789，1.792=3.204，1.902=3.610。作T2-L圖線，得斜率k≈4.0s2/m，解得g=4π2/k≈9.86m/s2。（2）不確定度u(k)=Δk=0.02s2/m，u(g)=g×u(k)/k=9.86×0.02/4≈0.05m/s2，故g=(9.86±0.05)m/s2。（3）誤差來源：擺角過大（需控制θ<5°）、空氣阻力（可在真空罩中實(shí)驗(yàn)）、擺線彈性形變（改用剛性桿）。改進(jìn)措施：采用光電門計(jì)時(shí)，測(cè)量50個(gè)周期取平均值；用螺旋測(cè)微器精確測(cè)量擺球直徑，修正擺長(zhǎng)L=L'+d/2。五、綜合應(yīng)用題：跨模塊物理過程分析題目：太空電梯系統(tǒng)由地球同步軌道空間站（距地面高度h=3.6×10?m）、碳纖維纜繩（線密度λ=1kg/m，抗拉強(qiáng)度σ=7GPa）和載貨艙（質(zhì)量m=1000kg）組成。已知地球半徑R=6.4×10?m，質(zhì)量M=6×102?kg，萬有引力常量G=6.67×10?11N·m2/kg2。（1）計(jì)算纜繩所受的最大張力及安全系數(shù)（實(shí)際張力與抗拉強(qiáng)度之比）；（2）若載貨艙從地面以初速度v?上升，為使纜繩不被拉斷，求v?的最大值；（3）分析載貨艙在上升過程中所受地球引力與離心力的大小關(guān)系，確定失重狀態(tài)出現(xiàn)的高度。解析：（1）距地面高度x處的纜繩微元dx所受引力dF=GMλdx/(R+x)2，離心力dF'=λdxω2(R+x)（ω為地球自轉(zhuǎn)角速度ω=2π/T=7.27×10??rad/s）。張力T(x)=∫??[GMλ/(R+x)2-λω2(R+x)]dx，積分得T=GMλ[1/(R+x)-1/(R+h)]-?λω2[(R+h)2-(R+x)2]。在x=0處張力最大，代