第一章緒論課題研究的目的和意義不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的一個重要組成部分。它是描述不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，反應(yīng)不同事物之間的差異，體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系。不等式相關(guān)知識和其中滲透的數(shù)學(xué)思想，幾乎應(yīng)用到在數(shù)學(xué)的各個方面，因此不等式知識的理解和掌握不僅影響在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，還會影響物理、生物和其他學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展。因此，在歷年高考中頗為重視。不等式與其他知識點(diǎn)密切相關(guān)。在解決與范圍和最大值相關(guān)的問題時，幾乎都會用到不等式，例如在集合所含元素的范圍，函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的最大值與最小值，直線的斜率，圓錐曲線離心率的范圍等問題的求解，都會用到不等式的相關(guān)知識。不等式這一知識點(diǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在解不等式、證明不等式、應(yīng)用不等式三個方面。由于不等式的題目形式各異，例如數(shù)列不等式、絕對值不等式、三角不等式等，所以解題方法多樣且技巧性強(qiáng)。因此對于大部分學(xué)生來講，不等式始終是一個難點(diǎn)。部分題目學(xué)生們即使能解出，但因為使用復(fù)雜的解題方法步驟繁多、敘述冗長，很多學(xué)生難以完全掌握。針對此現(xiàn)象，教師在不等式章節(jié)教授過程中頗下功夫，對不等式進(jìn)行歸類研究，提出一些技巧性解題方法，但這并沒有從根本上解決學(xué)生對于不等式知識的掌握和運(yùn)用?？紤]到數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的相關(guān)題目中有非常明顯的體現(xiàn)，為了突破上述難點(diǎn)，我們認(rèn)為可以從數(shù)學(xué)思想方法方面對中學(xué)不等式進(jìn)行研究和總結(jié)，希望研究結(jié)果對數(shù)學(xué)教育工作者有所幫助。國內(nèi)外研究現(xiàn)狀不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，起到“工具”的作用，同時也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的基礎(chǔ)知識。近幾年，不等式的相關(guān)知識逐漸成為中學(xué)數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，但大部分學(xué)生并不能全面且靈活地運(yùn)用不等式的相關(guān)知識，不等式問題的求解始終是個難點(diǎn)。因此，國內(nèi)很多研究學(xué)者對不等式的解題方法開展了研究。隨著對不等式的研究，相關(guān)題型也越來越多，對于大部分學(xué)生來說，不等式的題目始終是個困難點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)課程的重要目的，它是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。不等式是數(shù)學(xué)思想的載體，所以不等式中滲透的數(shù)學(xué)思想，成為廣大學(xué)者和教師的又一研究方向。文獻(xiàn)[1]介紹了數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想和方法以及數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式，從美國心理學(xué)家布魯納的基本結(jié)構(gòu)中詳細(xì)闡述了數(shù)學(xué)思想和方法教學(xué)所具有的重要意義，并給出詳細(xì)的闡述。文獻(xiàn)[2][6][7]重點(diǎn)研究了高中數(shù)學(xué)必修不等式的教學(xué)，分析了國內(nèi)外不等式的教學(xué)現(xiàn)狀，剖析了普通高中生不等式的易錯點(diǎn)，及高考中重點(diǎn)考察的數(shù)學(xué)思想，總結(jié)出教師在以后的教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重知識之間的聯(lián)系，注重數(shù)學(xué)思想的滲透。文獻(xiàn)[3]研究了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想應(yīng)如何滲透，從哪一方面滲透，提出了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略和幾種教學(xué)模式。文獻(xiàn)[4][5][15][16]介紹了中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明中的幾種常用的策略與技巧，以及結(jié)合例題給出了不等式求解的一些非常規(guī)解題方法和策略。文獻(xiàn)[8]-[12]分別研究了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、分類討論思想、模型思想等數(shù)學(xué)思想在不等式中的應(yīng)用，并給出相應(yīng)的例題。通過一些典型例題，分析如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，使解題過程更加簡便明了，更有利于學(xué)生們的理解。學(xué)生們文獻(xiàn)[13]-[15]重點(diǎn)研究了數(shù)學(xué)思維在不等式教學(xué)中的應(yīng)用策略，通過數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想等進(jìn)行詳細(xì)闡述，得出在不等式教學(xué)過中要積極采取數(shù)學(xué)思想，只有將不等式知識與數(shù)學(xué)思想并存，才能更透徹的理解不等式，從而靈活運(yùn)用不等式的結(jié)論。以提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。在現(xiàn)實(shí)生活中，不等式的影子也隨處可見，我們會用到很多不等式的數(shù)學(xué)模型來解決生活中所遇到的實(shí)際問題，將我們的許多生活問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，達(dá)到學(xué)有所用的目的。本文希望通過對中學(xué)數(shù)學(xué)不等式中滲透著的幾類數(shù)學(xué)思想進(jìn)行研究分析，并且針對不等式的教學(xué)內(nèi)容和相關(guān)知識點(diǎn)提出有效的教學(xué)方法，對現(xiàn)今不等式教學(xué)中如何將以上數(shù)學(xué)思想滲透到教學(xué)中提幾點(diǎn)建議，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效果，為進(jìn)行不等式教學(xué)的教師提供一定的參考。1.3問題的提出通過上述對不等式的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀的了解與研究，我對中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的相關(guān)章節(jié)教材做出以下分析，并提出中學(xué)數(shù)學(xué)不等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法研究這一問題。不等式的內(nèi)容從小學(xué)起就在教材中設(shè)置，不等式的相關(guān)知識的難度逐漸加深。不等式的題型主要分為三大類，不等式的求解證明及應(yīng)用。不等式的解法包括解各類不等式，例如二元一次不等式（組）、對數(shù)型不等式、指數(shù)型不等式、含參數(shù)的不等式等。此類題型對于大多數(shù)學(xué)生來說較簡單，解題方法步驟簡便易理解，但此類型的題目較少，解題方法固定較為死板，不利于學(xué)生靈活運(yùn)用。不等式的證明涉及的知識點(diǎn)較廣泛，題型各異，技巧性強(qiáng)，證明方法種類繁多，其中所滲透的數(shù)學(xué)思想也很多。在教材中涉及的數(shù)學(xué)思想方法有觀察、類比、抽象、概括、演繹推理、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)結(jié)合、函數(shù)思想、線性規(guī)劃等。此類題型對于大多數(shù)學(xué)生來說較困難，也是老師們在教學(xué)過程中難以攻克的難題。不等式的應(yīng)用主要以解決日常生活中的問題來體現(xiàn)，例如最優(yōu)化問題，根據(jù)約束條件列出方程式（組），在滿足約束條件的前提下，得到問題的最優(yōu)解。不等式解題方法多樣，但題目中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有著明顯的體現(xiàn)，可以通過研究不等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，來解決以上問題。其次，不等式的知識雖然不多，但題型靈活多變，所以不會單獨(dú)命題，都會與其他章節(jié)結(jié)合，具有一定的工具性。不等式與許多章節(jié)都有很緊密的聯(lián)系，尤其和高中數(shù)學(xué)中的知識有普遍聯(lián)系，例如集合、函數(shù)、方程、向量、平面幾何、空間幾何等。在代數(shù)方面，例如求函數(shù)的定義域、值域，確定函數(shù)的最大值與最小值、求直線的斜率、利用基本不等式求最值等；在幾何方面，例如求空間線線、線面、面面的夾角范圍，求橢圓和雙曲線的離心率的范圍；在概率方面，如求某事件的概率。這些問題都會用到不等式，它可以考察學(xué)生是否真正掌握不等式，能否利用不等式的知識和解題方法靈活處理題目，學(xué)生只有做到舉一反三，以不變應(yīng)萬變，才能正確的解決問題。綜上所述，中學(xué)數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有承前啟后的作用，它不僅是對不等式基礎(chǔ)知識的鞏固與深化，還是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的不等式做好鋪墊，所以我認(rèn)為可以從數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行研究和總結(jié)，對此進(jìn)行分析研究，希望結(jié)果對數(shù)學(xué)教育工作者有所幫助。1.4主要內(nèi)容本文分四個章節(jié)來研究中學(xué)數(shù)學(xué)不等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，第一章是緒論主要敘述了該論文研究的目的和意義,國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和此時仍未解決的問題，問題的提出；第二章研究了教材中不等式的知識結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、不等式與其他知識的聯(lián)系和中學(xué)數(shù)學(xué)幾個重要的不等式；第三章分析了不等式中滲透的數(shù)學(xué)思想，并給出了實(shí)例，通過實(shí)例闡述數(shù)學(xué)思想在其中的應(yīng)用；第四章對本論文進(jìn)行了一下總結(jié)并給出一些意見。第二章不等式的相關(guān)內(nèi)容2.1不等式知識結(jié)構(gòu)體系根據(jù)中學(xué)不等式的相關(guān)知識，整理分析，制定了如下知識框圖：圖2-1不等式知識結(jié)構(gòu)框圖2.2不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)，是求解不等式相關(guān)題目的理論依據(jù)，是解題過程中不等式與其他知識點(diǎn)聯(lián)系的工具，因此是教學(xué)過程中的重點(diǎn)考察的熱點(diǎn)。在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時，更要掌握各類不等式的特點(diǎn)與變形。表2-1不等式的性質(zhì)不等式基本性質(zhì)基本性質(zhì)（1）對稱性：；（2）傳遞性：若且，則；（3）可加性：；（4）可乘性：，；運(yùn)算性質(zhì)（1）同號相加：若且，則；（2）正數(shù)同向相乘：若且，則；乘方法則：若，則；（4）開放法則：若，則；（5）倒數(shù)法則：若且則.2.3不等式與其他知識點(diǎn)的聯(lián)系不等式與集合的聯(lián)系。集合是高中課程的第一課，集合的學(xué)習(xí)，為函數(shù)的一一對應(yīng)打下基礎(chǔ)，起著至關(guān)重要的作用。在集合的表示中會用到不等式，例如，可以求兩個集合的交集、并集或補(bǔ)集，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對不等式（組）的求解，此類型的題目在高考中較常見，一般是選擇題的第一題。解決此類題目一般會用到數(shù)形結(jié)合思想，通過畫坐標(biāo)軸或Venn圖，使結(jié)果更加明確直觀。不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。在函數(shù)中不等式運(yùn)用的最為廣泛，最簡單的就是求解不等式的解集，求函數(shù)的定義域、值域；難度再加強(qiáng)些就是求一個函數(shù)中含參變量的取值范圍，不等式與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起，可以判定函數(shù)是增(減)函數(shù)，求函數(shù)的最值，證明不等式的恒成立等問題，這都是高考題目中的必考點(diǎn)。解決此類題目用到的數(shù)學(xué)思想有很多，例如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、換元思想、模型思想、分類討論思想等等。不等式與數(shù)列的聯(lián)系。不等式與數(shù)列的綜合問題一般有兩種，求一個數(shù)列的前項和，再利用放縮法來，一是求這個數(shù)列最大值最小值，二是證明這個數(shù)列的有界性或單調(diào)性，這恰好又與函數(shù)聯(lián)系在了一起。所以此類綜合問題是高考中熱點(diǎn)中的難點(diǎn)，難點(diǎn)中的熱點(diǎn)，在試題中占有重要地位。解決此類題目一般會用到分類討論思想、換元思想等。不等式與平面解析幾何、立體幾何之間的聯(lián)系。不等式與立體幾何相結(jié)合的題目類型較為單一，一般是求線線、線面、面面之間的夾角范圍，會用到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。與平面解析幾何相結(jié)合的題目難度相對較大，題型一般求圓錐曲線離心率的取值范圍，會用到換元思想、數(shù)形結(jié)合思想等。不等式與概率的聯(lián)系。不等式與概率相結(jié)合的問題，例如求某個事件發(fā)生的概率范圍，或者與幾何圖形、函數(shù)結(jié)合，求某個圖形面積大小的概率。會用到數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想等。所以，不等式幾乎貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，是解決其他問題的重要“工具”，要重視學(xué)生對不等式的理解與掌握，才能更好地學(xué)習(xí)其他知識，起到事半功倍的效果。2.4中學(xué)數(shù)學(xué)幾個重要不等式2.4.1一元一次不等式（組）定義2.1[19]如果不等式中只含有一個次數(shù)是1未知數(shù)，左右兩邊均為整式且系數(shù)不為0，那么此不等式稱為一元一次不等式，記作.2.4.2一元二次不等式（組）定義2.2[19]如果不等式中只含有一個最高次數(shù)為2的未知數(shù)，左右兩邊均為整式，那么此不等式稱為一元二次不等式，記作.2.4.3基本不等式[18].當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，其中稱為的算數(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)。2.4.4均值不等式[7],當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。上式為兩個正數(shù)的均值不等式，我們可以將其推廣到個正數(shù)，得到下面的不等式，,其中，為調(diào)和平均數(shù)，為幾何平均數(shù)，為算數(shù)平均數(shù)，為平方平均數(shù)。2.4.5柯西不等式[7],均為實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。2.4.6排序不等式[7]設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，為的任排列，則有,當(dāng)且僅當(dāng)或時，等號成立。2.4.7切比曉夫不等式[7]設(shè)任意兩組實(shí)數(shù),若且或且,則有.若且,或且,則有.上述兩式中，當(dāng)且僅當(dāng)或者時，等號成立。2.4.8楊格不等式[7]設(shè)有理數(shù)滿足條件（互稱為共軛指標(biāo)），若為正數(shù)，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，楊格不等式就是重要不等式.第三章不等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法3.1數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想之一，在不等式的題目中應(yīng)用廣泛。其實(shí)質(zhì)就是將圖形與數(shù)學(xué)語言結(jié)合起來解決數(shù)學(xué)問題，借助圖形的性質(zhì)可以使復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)語言變得直觀，更好的理解題目。將抽象思維與具體思維相結(jié)合，從而達(dá)到抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，優(yōu)化解題過程的目的。數(shù)形結(jié)合思想貫穿在整個中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，其中函數(shù)圖像最直觀體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)圖像將函數(shù)與方程二者聯(lián)系起來，更利于學(xué)生理解與掌握各類函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，使學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)，并在解決題目時能靈活運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合思想多在選擇題和填空題中應(yīng)用，通過畫函數(shù)圖像等，學(xué)生可以更加簡單快速的選出正確選項，在大題中應(yīng)用，可以幫助學(xué)生更好的理解題意。因此合理的運(yùn)用該思想可達(dá)到事半功倍的效果。例如，二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃，其重點(diǎn)就是不等式的幾何意義，即通過解不等式(組)的解集，找出在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)區(qū)域。例如將方程對應(yīng)于圖中的直線，并將表示直線上方的區(qū)域，同理表示直線下方的區(qū)域。那么，不等式組解集則為各個不等式解集的交集。通過幾何意義、借助幾何圖形求最值，我們通過下面一道例題來探究。例3.1給定區(qū)域，令點(diǎn)集，是在上取得最大值或最小值，則中的點(diǎn)共確定_____幾條不同的直線。解畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)即，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與重合時取最大值，過時取最小值。又因為，即最優(yōu)解為整數(shù)解，故滿足條件的點(diǎn)有，，，，共有6個點(diǎn)，又除外其余5點(diǎn)共線，故6個點(diǎn)共確定6條不同直線。圖3-1線性規(guī)劃問題是關(guān)于不等式典型題目，雖然考察的題型不一，但本質(zhì)相同。在一些復(fù)雜的證明題中，我們也可以用數(shù)形結(jié)合的思想，使證明更加直觀簡明。例3.2若，求證：.證明題目中的可以看做直角坐標(biāo)系中的一條直線方程，可以看做點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，那么該距離可以看成直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，故自點(diǎn)向直線作垂線，垂足與它的距離最短，則，直線上其他點(diǎn)與的距離都大于.故.上述兩個例題均為較抽象的題目，用數(shù)形結(jié)合思想“以形助數(shù)”，可使解題更加具體簡單。例3.1先畫出不等式組的可行域與目標(biāo)函數(shù)，即可得出最大值與最小值的點(diǎn)。證明例3.2的關(guān)鍵是將兩個復(fù)雜的函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的最短距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式，便可簡單地證明。此類解題方法學(xué)生更易理解掌握，所以教師在教學(xué)過程中，要經(jīng)常提到數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步理解它的實(shí)質(zhì)并能靈活運(yùn)用。3.2分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“分類討論”是一個重要解題方法，大多在高中題目中應(yīng)用。分類討論思想的關(guān)鍵是對題目本質(zhì)的分析與思考，要求學(xué)生充分掌握與題目相關(guān)的知識，才能夠讀懂題目，讀透題目，在滿足題目所設(shè)定的限制條件的基礎(chǔ)上，找到分類的標(biāo)準(zhǔn)對它進(jìn)行分類，但分類的標(biāo)準(zhǔn)并不是單一的。所以分類的思想對于學(xué)生從不同方面來學(xué)習(xí)知識，全方面掌握知識有重要意義，同時培養(yǎng)學(xué)生縝密的數(shù)學(xué)思維。在不等式的相關(guān)題目中，含參數(shù)不等式也是一個難點(diǎn)，但是求解此類題型是有規(guī)律可循的，那就是恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用分類討論思想方法。解決這類問題的關(guān)鍵在于學(xué)生要充分掌握題目中所涉及的知識點(diǎn)，才能讀懂題目，讀透題目。其次對題目中所含的參數(shù)進(jìn)行分析，明確參數(shù)的取值范圍，根據(jù)題設(shè)的限制條件確定分類原則，然后運(yùn)用分類討論的思想對問題進(jìn)行分類，將一個求解過程復(fù)雜的大范圍，分解成多個小范圍對其求解，理清解題思路，最后簡化求正解，從而達(dá)到高效準(zhǔn)確解體的目的。例3.3解關(guān)于的不等式.解當(dāng)即時，化簡為,解得.當(dāng)即時，的判別式為,當(dāng)即時，,則兩根分別為且,解得,當(dāng)且即時，，解得.當(dāng)且即時，化簡為，解得.當(dāng)且即時，解得.綜上所述：當(dāng)時，原不等式解集為,當(dāng)時，原不等式解集為,當(dāng)時，原不等式解集為,當(dāng)時，原不等式解集為,當(dāng)時，原不等式解集為.例3.4已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為_______.解因為是定義在上的奇函數(shù)，所以.當(dāng)時，，所以.又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，.所以.當(dāng)時，由，得，解得,當(dāng)時，無解,當(dāng)時，由，得，解得.綜上得不等式的解集用區(qū)間表示為.上述兩個例題都用到了分類討論思想，例3.4較簡單，首先利用函數(shù)的奇偶性質(zhì)求出在不同范圍的自變量下對應(yīng)的函數(shù)方程，再進(jìn)行分類討論求的解集。例3.3中二次項系數(shù)和判別式都含參數(shù)，都需要討論，當(dāng)時為一次不等式，求出解集即可；當(dāng)時為二次不等式，則需通過判別式分類討論。要求學(xué)生對每一種情況都不疏漏，有清晰的思路，一步一步地解題才能做到準(zhǔn)確無誤。但題目的分類標(biāo)準(zhǔn)并不是唯一的。所以在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生按不同的分類原則對參數(shù)范圍進(jìn)行分類，從而使學(xué)生掌握正確合理的分類方法，達(dá)到學(xué)生獨(dú)立分析解題的目的，并逐漸掌握分類討論思想的實(shí)質(zhì)。3.3函數(shù)思想函數(shù)思想也是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，在解決許多數(shù)學(xué)問題時都會用到函數(shù)思想。其實(shí)質(zhì)就是把具體的語言問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)，通過求解函數(shù)方程式，達(dá)到解決問題的目的。函數(shù)思想一般與方程思想相結(jié)合應(yīng)用，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的方程問題，借助特定的方程進(jìn)行求解。該思想的運(yùn)用要求學(xué)生牢固掌握已學(xué)習(xí)過的方程及其性質(zhì)和圖像的特點(diǎn)，學(xué)生通過觀察函數(shù)圖像，便就能夠十分清楚的掌握函數(shù)圖像的一般規(guī)律，從而有效的簡化相應(yīng)的解題步驟。例3.5解不等式.分析將不等式化成的形式，但這個不等式不是常見不等式，沒有具體的解法，則可以用函數(shù)的思想解不等式。令畫出函數(shù)的圖像，觀察函數(shù)圖像哪一部分位于軸的上方，對應(yīng)哪一部分的自變量。但這個函數(shù)不是初等函數(shù)，畫圖難度較大，方法不可行。解將不等式，左右兩邊看成兩個函數(shù)和，在直角坐標(biāo)系中分別畫出和的圖像，若的圖像位于的上方，則滿足，即，那么圖像中對應(yīng)的自變量的范圍就是該不等式的解集。圖3-2例3.6正數(shù)滿足，證明：.分析本題是一道不等式的證明題，從題目中所給定的條件來看，該題非常困難。因為題目中有7個未知量，已知的是這幾個未知量的加和關(guān)系，但題目中讓我們證明的是未知量兩兩相乘再加和后小于未知數(shù)。我們可以根據(jù)題設(shè)構(gòu)造一個函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或奇偶性、對稱性等可使這個看起來復(fù)雜得問題簡單化。證明令,根據(jù)題意都大于零，所以，故,則,那么,化簡得,又因，所以,證得.上述兩個題目都用到了函數(shù)思想，例3.5將不等式看成兩個函數(shù)為與，求即可，在借助函數(shù)圖像，便可簡單地求解。例3.6巧妙地利用構(gòu)造函數(shù)的方法，使問題簡單化。在教學(xué)過程中要時刻注重函數(shù)思想的滲透，把不等式與函數(shù)相聯(lián)系，再把函數(shù)與函數(shù)相應(yīng)的圖形結(jié)合起來，從而解決不等式的問題。3.4模型思想不等式本身就是一個數(shù)學(xué)模型，描述現(xiàn)實(shí)生活中不等關(guān)系，通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量不等關(guān)系，根據(jù)題設(shè)中的約束條件列出不等式，然后求解不等式得到實(shí)際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，注重不等式在實(shí)際生活的應(yīng)用，因此創(chuàng)設(shè)了豐富的問題情境，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的不等關(guān)系，從而引起學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣。不等式關(guān)系的重點(diǎn)內(nèi)容就是通過具體情境，建立不等式模型。例3.7(1)某中學(xué)的女生住若干件宿舍，若每間宿舍住12人，剩27人沒有宿舍??；若每間宿舍住12人，則有一間宿舍住不滿。設(shè)有間女生宿舍，請寫出滿足的不等式組？(2)下表給出了三種食物的維生素含量及成本：表3-1維生素(單位/)維生素（單位/）維生素（單位/）300700550010043003003某人欲將這三種食物混合稱100的食物，要是混合食品中至少含35000單位維生素和40000單位維生素，則、兩種食物各取，那么應(yīng)滿足怎樣的條件？解（1）設(shè)有間女生宿舍，則有名女生，根據(jù)題意，得.食物，這兩種食物各取，則食物有，則即例3.7中的數(shù)學(xué)模型分別為一元一次不等式(組)和線性規(guī)劃模型。在教學(xué)中滲透模型思想可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和解決實(shí)際問題的能力。3.5換元思想換元思想在不等式的求解與證明中應(yīng)用廣泛。換元的目的是為了簡化書寫過程，更容易的計算結(jié)果，但學(xué)生們較難理解，在應(yīng)用的過程中易將題目中的參數(shù)與換元的參數(shù)相混淆。換元法所適用的不等式的范圍較小，它適用于一些特殊類型的不等式，當(dāng)遇見條件時，可用三角換元設(shè)等，當(dāng)遇見條件時，可用均值換元法令都為，這樣可以化繁為簡，從而使問題得到順利解決。例3.8已知，求證：分析由于，因此可以想到，當(dāng)然此題目也可以直接證明。由均值不等式和已知條件，得，從而，即證。證明因為，所以設(shè)因為所以則,故.例3.9若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析還原后把參數(shù)看作的函數(shù)，求函數(shù)的值域即可。解令，則原方程化為，變形得當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。則的取值范圍為.上述兩個題目都用到了換元思想，例3.8運(yùn)用三角換元法令，例3.9令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，即可簡便的求出參數(shù)的取值范圍。根據(jù)題設(shè)條件，進(jìn)行合理換元，可使參數(shù)間的關(guān)系更清楚。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析條件，滲透換元思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性與簡潔性。 第四章結(jié)論與建議本文重點(diǎn)研究了中學(xué)數(shù)學(xué)不等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，首先研究了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于不等式的知識點(diǎn)，不等式與其他知識點(diǎn)的聯(lián)系，然后基于數(shù)學(xué)思想將不等式的相關(guān)題目進(jìn)行分類，研究分析，從而確定不等式的解題方法和技巧。研究分析得出分類討論思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的解題中應(yīng)用最為廣泛，并且在解一道題目時會用到多種數(shù)學(xué)思想，才能使解題過程更加簡便，更利于學(xué)生的理解與掌握。所以教師在教學(xué)過程中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)，更要重視不等式與其他知識點(diǎn)的聯(lián)系，并強(qiáng)化應(yīng)用。使學(xué)生能自主的找出題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，理清思路達(dá)到正確解題的目的。參考文獻(xiàn)[1]徐紅.數(shù)學(xué)思想方法的探討[J].四川勞動保障,2019(07):28.[2]劉春蘭.高中數(shù)學(xué)必修不等式教學(xué)研究[D].江西科技師范大學(xué),2018.[3]張春麗.思想與方法在初中數(shù)學(xué)教育中的滲透研究[D].蘇州大學(xué),2009.[4]王沛滋.中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明方法及技巧[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新,