2/30第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（舉一反三單元測(cè)試·拔尖卷）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（24-25高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）以下各組函數(shù)中，不是同一函數(shù)的是（）A．f(x)=3x3C．f(x)=x0,g(x)=【答案】A【解題思路】對(duì)于選項(xiàng)B，C，D中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，故均為同一函數(shù)，而對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不同，故兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù).【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，f(x)=3對(duì)于B，f(x)=x故得到兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；對(duì)于C，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同為xx≠0且f(x)=x對(duì)于D，兩個(gè)函數(shù)定義域相同，f(x)=x?1,x≥1對(duì)應(yīng)法則相同，故兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù).故選：A.2．（5分）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知fx+1=x+2A．fx=x2 B．C．fx=x2?2x+2（x≥1）【答案】D【解題思路】令x+1=t【解答過程】令x+1=tt≥1，則∴ft所以fx故選：D.3．（5分）（24-25高一上·云南昭通·期中）已知冪函數(shù)fx=m2?3m+3xm是R上的偶函數(shù)，且函數(shù)gA．3,+∞ B．?∞,1 C．?【答案】A【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到m=2，則gx=x【解答過程】因?yàn)閮绾瘮?shù)fx=m則m2?3m+3=1，解得m=1或當(dāng)m=1時(shí)，fx當(dāng)m=2時(shí)，fx=x2，該函數(shù)是定義域?yàn)閯tgx=x因?yàn)間x在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，則a≥3故選：A.4．（5分）（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）函數(shù)y=xx2A． B．C． D．【答案】B【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用0<x<1時(shí)函數(shù)值的正負(fù)即可判斷得解.【解答過程】函數(shù)y=xx2?1中，x2由|?x|(?x)2?1=|x|當(dāng)0<x<1時(shí)，|x|x故選：B.5．（5分）（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知點(diǎn)3,13在冪函數(shù)fx=xα的圖象上，設(shè)a=f?1A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【解題思路】根據(jù)已知條件求出fx【解答過程】由于點(diǎn)3,13在冪函數(shù)fx=x由于?1<0，所以a=f?1又22=1所以c>b>0>a，即c>b>a故選：D.6．（5分）（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題．小明和他的數(shù)學(xué)建模小隊(duì)現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，那么，怎樣才可以提高呢？我們理想化地建立這樣一個(gè)關(guān)系，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明，當(dāng)x∈[20,200]時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．問：當(dāng)車流密度多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【答案】B【解題思路】首先求得分段函數(shù)的解析式，然后分類討論求解不等式即可確定車流密度的取值．【解答過程】解：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v=kx+b，則60=20k+b0=200k+b，解得于是v=設(shè)車流量為q，則q=v?x=當(dāng)0≤x<20時(shí)，q=60x,此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0,20)上是增函數(shù)，恒有q<1200；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，q=?13x2+因此恒有q≤100003，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)綜上所述，當(dāng)x=100時(shí)，函數(shù)取得最大值，即車流量最大，最大值約為3333輛．故選：B．7．（5分）（24-25高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)且x1≠A．(?∞,?6)∪(0,6) C．(?6,0)∪(0,6) D．(?【答案】B【解題思路】構(gòu)造g(x)=f(x)x，利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義與判斷得g(x)的性質(zhì)，再分類討論x=0，x>0與x<0三種情況，利用【解答過程】由當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)令g(x)=f(x)x，則?x1,因此函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又f(x)是定義在則g(x)的定義域?yàn)?∞,0∪于是g(x)是偶函數(shù)，g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0，不等式f(x)>x無解；當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)>x?f(x)x>1?g(x)>1=g(6)當(dāng)x<0時(shí)，不等式f(x)>x?f(x)x<1?g(x)<1=g(?6)因此?6<x<0或x>6，所以不等式f(x)>x的解集為(?6,0)∪(6,+∞故選：B.8．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+4為偶函數(shù)，f?x+2為奇函數(shù)，且fA．fB．x=4為函數(shù)fxC．函數(shù)fx在4,8D．f1【答案】D【解題思路】由f?x+2為奇函數(shù)可得f?x+2+fx+2=0，取x=0，即可判斷A；由fx+4為偶函數(shù)可得fx+4=f?x+4【解答過程】A選項(xiàng)，因f?x+2為奇函數(shù)，則f令x=0，得2f2=0，可得B選項(xiàng)，因fx+4為偶函數(shù)，則f即x=4為函數(shù)fxC選項(xiàng)，由f?x+2+fx+2=0，得又fx在0,2上單調(diào)遞增，則f所以fx在0,4又由B選項(xiàng)可知函數(shù)fx在4,8D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)，fx+4=f?x+4，令x=?3故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）（24-25高一上·吉林通化·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)fx+1的定義域?yàn)?2,2，則函數(shù)fxB．fx=xC．函數(shù)y=1xD．定義在R上的函數(shù)fx滿足2fx【答案】ACD【解題思路】對(duì)于A求抽象函數(shù)的定義域，由?2≤x≤2得?1≤x+1≤3即可判斷，對(duì)于B判斷是否是同一個(gè)函數(shù)只需判斷定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系即可，對(duì)于C由x2≥0得x2【解答過程】對(duì)于A：由fx+1的定義域?yàn)?2,2，則?2≤x≤2??1≤x+1≤3，所以函數(shù)fx的定義域?yàn)閷?duì)于B：函數(shù)fx=x2x的定義域?yàn)閤對(duì)于C：由x2≥0?x2+3≥3，所以0<對(duì)于D：由2fx?f?x=x+1，所以故選：ACD.10．（6分）（24-25高一上·山東青島·期中）已知函數(shù)fx=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)0,0 B．fx的圖象關(guān)于C．fx在1,2上單調(diào)遞減 D．fx在1,2【答案】BC【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式和圖象經(jīng)過的點(diǎn)求出a=?2，進(jìn)而利用fx【解答過程】因?yàn)閒x=x所以12a=4，解得a=?2對(duì)于A，因?yàn)閒x=1所以fx的圖象不經(jīng)過點(diǎn)0,0對(duì)于B，因?yàn)閒x=x又f?x所以fx是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y對(duì)于C，因?yàn)閠=x2在1,2上單調(diào)遞增，且所以fx=1對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知fx在1,2上最大值為f故選：BC.11．（6分）（24-25高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）若定義在?1,1上不恒為0的fx，對(duì)于?x,y∈?1,1都滿足fx+fy=fx+yA．f0=0 B．C．f13+f14>f【答案】ABD【解題思路】A：令x=0可得結(jié)果；B：令y=?x可得結(jié)果；先結(jié)合奇偶性分析fx在0,1上的單調(diào)性，由此可判斷D；根據(jù)條件將f【解答過程】對(duì)于A：令x=y=0，則f0+f0對(duì)于B：令y=?x，則fx+f?x且定義域?yàn)?1,1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以fx對(duì)于CD：?x1,因?yàn)?<x1<x2<1，所以因?yàn)閤1且x1所以x1?x21?因?yàn)閤∈?1,0時(shí)，fx>0所以fx1>fx2又因?yàn)閒13+f14故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（24-25高一上·云南紅河·階段練習(xí)）若函數(shù)fx的定義域?yàn)?,3，則函數(shù)gx=f【答案】1,2【解題思路】由1≤2x?1≤3x?1>0【解答過程】由題意可得：1≤2x?1≤3x?1>0解得：1<x≤2，所以定義域是1,2，故答案為：1,2.13．（5分）（24-25高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=xp2?2p?3p∈N?的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在0,+∞上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)【答案】(?1,4)【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)定義和性質(zhì)求出p，再根據(jù)單調(diào)性解不等式.【解答過程】因?yàn)閮绾瘮?shù)y=xp2所以p2?2p?3<0，即解得?1<p<3.又因?yàn)閜∈N*，所以p=1或當(dāng)p=1時(shí)，p2?2p?3=?4，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且滿足題意.原不等式為(a2?1)則不等式化為a2?1<3a+3，解得當(dāng)p=2時(shí)，p2?2p?3=?3，fx綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?1,4).故答案為：(?1,4).14．（5分）（24-25高一上·廣東廣州·期末）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x【答案】[0,2]∪(?【解題思路】令g(x)=f(x)x,x≠0，由條件可得g(x)的奇偶性與單調(diào)性，分為x>0,x<0,x=0【解答過程】因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f?x=?fx不妨設(shè)x1>x2>0則x2f(x令g(x)=f(x)x,x≠0，則g(x)=g(x)=f(x)x的定義域?yàn)榍襣(?x)=f(?x)故g(x)=f(x)x為偶函數(shù)，g(x)=f(x)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)?2x≤0?f(x)≤2x?f(x)因?yàn)閒2=4，所以故f(x)x≤f(2)2，即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)?2x≤0?f(x)≤2x?f(x)因?yàn)間2=2，所以故gx≥g?2當(dāng)x=0時(shí)，f0故不等式f(x)?2x≤0的解集為0,2∪(?故答案為：0,2∪(?四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（24-25高一上·新疆阿克蘇·期中）求下列函數(shù)的定義域或值域：(1)求y=1(2)f(x)=?【答案】(1)x|?2≤x≤2且x≠1且x≠(2)0,3.【解題思路】（1）根據(jù)題意由x?1≠02x?1≠0（2）令t=?x2+4x+5【解答過程】（1）解：由題意得：x?1≠02x?1≠0解得?2≤x≤2且x≠1且x≠1所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|?2≤x≤2且x≠1且x≠（2）由題意得t=?x所以y=t所以函數(shù)f(x)的值域是0,3.16．（15分）（24-25高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=p(1)求fx(2)若f3?a>f2a?1【答案】(1)f(2)1【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合f3（2）根據(jù)冪函數(shù)的定義域以及單調(diào)性求解不等式即可.【解答過程】（1）由fx可得p2?3p+3=1，解得p=1或當(dāng)p=1時(shí)，fx=x?1在當(dāng)p=2時(shí)，fx=x12故fx（2）由（1）知fx=x12，則函數(shù)fx的定義域?yàn)橛謋3?a所以3?a≥02a?1≥03?a>2a?1，解得所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1217．（15分）（24-25高一上·山東濰坊·期中）某地結(jié)合實(shí)際情況，因地制宜發(fā)展生態(tài)產(chǎn)業(yè)，計(jì)劃未來五年內(nèi)在當(dāng)?shù)亟ㄔ煲慌鷳B(tài)農(nóng)場(chǎng).經(jīng)過調(diào)研得知，初期需投入固定成本300萬元，除此之外，建造x個(gè)生態(tài)農(nóng)場(chǎng)需另投入成本Dx萬元，且D(1)求該期間生態(tài)農(nóng)場(chǎng)帶來的利潤(rùn)Lx（萬元）關(guān)于農(nóng)場(chǎng)數(shù)目x(2)建造多少個(gè)生態(tài)農(nóng)場(chǎng)能給當(dāng)?shù)貛碜畲罄麧?rùn)？并求最大利潤(rùn).【答案】(1)L(2)70個(gè)，640萬元【解題思路】（1）利潤(rùn)=銷售額-另投入成本-固定成本，分段計(jì)算整理即可；（2）分別計(jì)算分段函數(shù)的最值，比較得出函數(shù)最值.【解答過程】（1）根據(jù)題意得當(dāng)0<x≤30時(shí)，Lx當(dāng)x>30時(shí)，Lx=30x?34x?19600所以L（2）當(dāng)0<x≤30時(shí)，LxLx在0,30內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=30時(shí)，L當(dāng)x>30時(shí)，Lx因?yàn)?x+19600x≥2即x=70時(shí)，等號(hào)成立，所以Lx因?yàn)?40>450，所以當(dāng)x=70時(shí)，Lx所以建造70個(gè)生態(tài)農(nóng)場(chǎng)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為640萬元.18．（17分）（24-25高一上·四川樂山·期中）已知函數(shù)fx=ax+bx2(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx在?3,(3)解不等式f2t【答案】(1)f(x)=x(2)f(x)是(?3,3)上的增函數(shù)，證明見解析；(3)(1【解題思路】（1）由f(0)=0求得b，再由f1=1（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明；（3）由奇偶性變形不等式，再由單調(diào)性求解．【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx=ax+bx2+9定義在所以f(1)=a1+9=110f(?x)=?x所以f(x)=x（2）f(x)是(?3,3)上的增函數(shù)，證明如下：設(shè)?3<x1<因?yàn)?3<x1<x2<3，所以所以f(x1)?f(所以f(x)是(?3,3)上的增函數(shù)；（3）由題意f(x)是(?3,3)上的遞增的奇函數(shù)，由f(2t)+f(t?1)>0得f(2t)>?f(t?1)=f(1?t)，所以2t>1?t?3<2t<3?3<t?1<3，解得所以不等式的解集為(119．（17分）（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y，均有f(xy)=f(x)f(y)，且f(?1)=?1，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)∈(0,1)．(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)判斷f(x)在(0,+∞(3)若對(duì)任意x1，x2∈[?1,1]，a∈[?1,5]，總有2【答案】(1)奇函數(shù)(2)f(x)在(0,+∞(3)(?∞【解題思路】（1）令y=?1，結(jié)合f?1=?1得（2）先利用條件證x>0時(shí)，fx（3）先判斷f