2/30專題02基本不等式中必考七類最值問題（舉一反三專項(xiàng)訓(xùn)練）【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【類型1直接法求最值】 2【類型2配湊法求最值】 4【類型3巧用“1”的代換求最值】 7【類型4消元法求最值】 10【類型5和積互化求最值】 14【類型6齊次化求最值】 17【類型7多次使用基本不等式求最值】 21知識(shí)點(diǎn)利用基本不等式求最值1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．2．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.3．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【類型1直接法求最值】1．（24-25高一上·廣東河源·階段練習(xí)）已知a>0，則a+1a的最小值是（

）A．?1 B．1 C．2 D．3【答案】C【解題思路】根據(jù)基本不等式可求最小值.【解答過程】因?yàn)閍>0，所以a+1當(dāng)且僅當(dāng)a=1a，即所以a+1a的最小值是故選：C.2．（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如果m>0，那么當(dāng)m+16m取得最小值時(shí)A．－4 B．4 C．8 D．16【答案】B【解題思路】根據(jù)基本不等式等號(hào)成立的條件即可求解.【解答過程】由于m>0，故m+16m≥2m?16故選：B.3．（多選）（24-25高一上·河北·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)x≥0時(shí)，x+1+1x+1≥2 B．當(dāng)C．x+1x的最小值為2 D．【答案】AB【解題思路】利用基本不等式，注意等號(hào)成立條件判斷A、B、D，根據(jù)不等式性質(zhì)判斷C.【解答過程】當(dāng)x≥0時(shí)，x+1+1當(dāng)且僅當(dāng)x+1=1x+1時(shí)，即當(dāng)x>0時(shí)，x+1x當(dāng)且僅當(dāng)x=1x當(dāng)x<0時(shí)，顯然x+1因?yàn)閤2當(dāng)且僅當(dāng)x2+2=故選：AB.4．（24-25高一上·上海寶山·期中）已知x>0，則代數(shù)式x+4x的最小值是【答案】4【解題思路】利用基本不等式，可得答案.【解答過程】由x>0，則x+4x≥2所以代數(shù)式x+4x的最小值為故答案為：4.5．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）求下列各題的最值．(1)已知x>0，求y=12(2)設(shè)0<x<32，求函數(shù)【答案】(1)12(2)9【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，化簡得到y(tǒng)=4x3?2x【解答過程】（1）解：由x>0，則y=12當(dāng)且僅當(dāng)12x=3x時(shí)，即x=2時(shí)，等號(hào)成立，所以y的最小值為（2）解：由0<x<32，可得則y=4x3?2x當(dāng)且僅當(dāng)2x=3?2x時(shí)，即x=34時(shí)，等號(hào)成立，所以y的最大值為6．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知0<x<3，求：(1)x3?x(2)x3?2x【答案】(1)9(2)9【解題思路】利用基本不等式計(jì)算即可.【解答過程】（1）∵0<x<3，∴x3?x當(dāng)且僅當(dāng)x=3?x，即x=3所以x3?x的最大值為9（2）∵0<x<3，∴x3?2x當(dāng)且僅當(dāng)2x=3?2x，即x=3所以x3?2x的最大值為9【類型2配湊法求最值】7．（24-25高一上·全國·周測）已知函數(shù)fx=x+4x?1+2x>1A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【解題思路】首先將函數(shù)構(gòu)造成能夠利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】由題意，x>1，故x?1>0，根據(jù)基本不等式，fx當(dāng)且僅當(dāng)x?1=4x?1，即此時(shí)函數(shù)fx故選：D.8．（24-25高一上·云南大理·階段練習(xí)）已知x>4，則函數(shù)y=1x?4+4xA．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.【解答過程】由于x>4，所以x?4>0，所以y=1當(dāng)且僅當(dāng)1x?4=4x?4，即x=故選：D.9．（多選）（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．x+1x的最小值是2 B．x(2?x)C．x2+4+1x2+4【答案】ACD【解題思路】根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果，注意“一正二定三相等”.【解答過程】對(duì)于A：當(dāng)x<0時(shí)，x+1x<0對(duì)于B：設(shè)f(x)=x(2?x)，則f(x)=?x2+2x∴0<x≤1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取最大值，此時(shí)f(x)=1×(2?1)=1，則x(2?x)的最大值是1，B正確；對(duì)于C：x2當(dāng)且僅當(dāng)x2+4=1對(duì)于D：根據(jù)基本不等式，將原式變形為4?(2x+2根據(jù)基本不等式2x+2當(dāng)且僅當(dāng)2x=2x，即因此原式最大值為4?4=0，又∵x>1，故上述不等式無法取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：ACD.10．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知x>1，則x+1x?1的最小值為【答案】3【解題思路】求出x?1的范圍，根據(jù)基本不等式即可求出x+1【解答過程】∵x>1，∴x?1>0，∴x+1x?1=(x?1)+當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立，故x+1x?1的最小值為故答案為：3.11．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）回答下面兩題(1)已知x<54，求(2)設(shè)0<x<32，求【答案】(1)最大值1(2)最大值92【解題思路】（1）將所求式子轉(zhuǎn)化為4x?2+1（2）利用基本不等式求最值.【解答過程】（1）∵x<54，∴4x?5<0，∴4x?2+1當(dāng)且僅當(dāng)5?4x=15?4x，即∴當(dāng)x=1時(shí)，4x?2+1（2）∵0<x<32，∴4x3?2x當(dāng)且僅當(dāng)2x=3?2x，即x=3∴當(dāng)x=34時(shí)，4x3?2x12．（24-25高一上·天津·期中）（1）已知0<x<12，求y=1（2）已知x>3，求fx=x+4【答案】（1）ymax=116,此時(shí)x=【解題思路】根據(jù)所求函數(shù)式的特征，進(jìn)行適當(dāng)配湊項(xiàng)或系數(shù)，再運(yùn)用基本不等式求解即得.【解答過程】（1）因0<x<12，則由y=1當(dāng)且僅當(dāng)2x=1?2x，即x=1即當(dāng)x=14時(shí)，y=1（2）因x>3，則x?3>0，則f當(dāng)且僅當(dāng)x?3=4x?3，即即當(dāng)x=5時(shí)，fx【類型3巧用“1”的代換求最值】13．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且2x+y=1，則1x+4A．22 B．6+42 C．82【答案】B【解題思路】利用乘“1”法即可求出最值.【解答過程】1x當(dāng)且僅當(dāng)yx=8x故選：B.14．（24-25高一上·內(nèi)蒙古包頭·期中）設(shè)a,b∈R+，且a+b=3，則2a+babA．22 B．2+23 C．1+【答案】C【解題思路】利用基本不等式求解即可.【解答過程】因?yàn)閍,b∈R+，且所以2a+bab=1a+2b=（當(dāng)且僅當(dāng)a+b=3ba=2ab故選：C.15．（多選）（24-25高一上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知x，y是正數(shù)，且2x+y=1，下列敘述正確的是（）A．xy最大值為18 B．4xC．12x+1y的最小值為4【答案】ABC【解題思路】選項(xiàng)A、B可直接利用基本不等式求得最值，選項(xiàng)C、D可以先乘(2x+y)再求其最值.【解答過程】因?yàn)?xy≤(2x+y2)2=14，所以xy≤1對(duì)于B，4x2+y2=(2x+y)2?4xy≥對(duì)于C，12x+1y=(12x+1對(duì)于D，1x+12y=(1x故選：ABC.16．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知正數(shù)a,b滿足2a+b=1，則1a+2【答案】8【解題思路】根據(jù)基本不等式“1”的妙用可求得結(jié)果.【解答過程】∵a>0,b>0,2a+b=1，∴1a+2b當(dāng)且僅當(dāng)ba=4a綜上所述，1a+2故答案為：8.17．（24-25高一上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知x>0，y>0(1)求xy的最大值；(2)求1x【答案】(1)1(2)11+6【解題思路】（1）利用基本不等式可得2x+y≥22xy（2）利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式，即可求解.【解答過程】（1）∵x>0，y>0，∴1≥22xy，即xy≤1當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=12，即x=14,y=（2）1≥11+2y當(dāng)且僅當(dāng)yx=18xy時(shí)，18．（24-25高一上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，且2a+b=1.(1)求ab的最大值；(2)求1a(3)求b2【答案】(1)1(2)8(3)7【解題思路】（1）根據(jù)基本不等式性質(zhì)，直接對(duì)2a+b直接應(yīng)用基本不等式性質(zhì)求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解；（3）依題意b2+2a+12ab【解答過程】（1）∵a>0，b>0∴1=2a+b≥22a?b（當(dāng)且僅當(dāng)2a=b∴1≥8ab，ab≤由2a=b2a+b=1，解得所以，ab的最大值為18（當(dāng)且僅當(dāng)a=14（2）1（當(dāng)且僅當(dāng)ba由ba=所以，1a+2b的最小值為8（當(dāng)且僅當(dāng)（3）b=4ab+由ba=所以b2+2a+12ab的最小值為7（當(dāng)且僅當(dāng)a=【類型4消元法求最值】19．（24-25高一上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知a>0，b>0，b+4a?ab+1=?1，則a+b的最小值為（A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【解題思路】根據(jù)題設(shè)得到a=1+4b?3且【解答過程】由題設(shè)b+1=a(b?3)，又a>0，b>0，故b>3，則a=b+1所以a+b=b?3+4b?3+4≥2(b?3)?4所以a+b的最小值為8.故選：D.20．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2?y?xz+4z2=0，則當(dāng)xzA．2 B．1516 C．1 D．【答案】D【解題思路】將y=x2?xz+4z2代入xzy后剩下關(guān)于x,z的二元等式xzx2?xz【解答過程】∵x∴y=x2?xz+4∴（當(dāng)且僅當(dāng)x=2z時(shí)取"=")，∴xzymax∴y=x∴4x?∴4x?故選：D.21．（多選）（24-25高一上·浙江湖州·階段練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且ab+2a+b=16，則（

）A．2a+b的最小值為8 B．1a+1+C．a(chǎn)b的最大值為8 D．b+19?a【答案】ACD【解題思路】A，利用b=18a+1?2變形2a+b，利用基本不等式求解即可；B，由ab+2a+b=16可得ab+2a+b+2=18，利用基本不等式求解即可；C，利用6=ab+2a+b≥ab+2【解答過程】由16=ab+2a+b得b=16?2a所以2a+b=2a+≥22(a+1)?當(dāng)且僅當(dāng)2(a+1)=18a+1，即此時(shí)2a+b取得最小值8，A對(duì);ab+2a+b=16?ab+2a+b+2=18,1a+1當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)1a+1+1b+2因?yàn)?6=ab+2a+b≥ab+22ab，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b解不等式得?42≤ab≤22?ab≤8b+=(=≥218當(dāng)且僅當(dāng)18(9?a)10(a+1)=a+1此時(shí)b+19?a取得最小值6故選：ACD.22．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足a?3b+2c=0，則b2ac的最小值是【答案】8【解題思路】首先根據(jù)題意得到b=a+2c3，從而得到【解答過程】因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，a?3b+2c=0，所以b=a+2c則b2當(dāng)且僅當(dāng)a=2c，b=4c3時(shí)取等號(hào)，所以b2故答案為：8923．（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知x>2，y>0，xy=y+4．(1)求x+y的最小值和x?12(2)求x+4【答案】(1)x+y的最小值為5，x?12+(2)5【解題思路】（1）依題意可得x=1+4（2）結(jié)合（1）可得x+4【解答過程】（1）因?yàn)閤>2，y>0，xy=y+4，所以x=1+4y，所以x=1+4所以x+y=1+4y+y≥1+24y?y=5所以x+y的最小值為5；又x?12+y2=16y所以x?12+y（2）因?yàn)閤=1+4y，x>2且0<y<4，所以所以x+=1+1+4?y當(dāng)且僅當(dāng)4?yy=y4?y，即所以x+44?y的最小值為24．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知x>2，y>0，xy=y+4．(1)求x+y的最小值；(2)求x?12(3)求x+4【答案】(1)5(2)8(3)5【解題思路】（1）（2）依題意可得x=1+4（3）結(jié)合（1）可得x+4【解答過程】（1）因?yàn)閤>2，y>0，xy=y+4，所以x=1+4y，所以x=1+4所以x+y=1+4y+y≥1+24y?y=5所以x+y的最小值為5；（2）x?12當(dāng)且僅當(dāng)16y2=y2所以x?12+y（3）因?yàn)閤=1+4y，x>2且0<y<4，所以所以x+=1+1+4?y當(dāng)且僅當(dāng)4?yy=y4?y，即所以x+44?y的最小值為【類型5和積互化求最值】25．（24-25高一上·山西·期中）已知a>?1，且ab?2a+b=5，則a+2b+1的最小值為（

A．12 B．10 C．9 D．8【答案】A【解題思路】由ab?2a+b=5可得b=2a+5a+1，代入【解答過程】因?yàn)閍>?1，所以a+1>0，由ab?2a+b=5，得b=2a+5則a+2=3當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3所以a+2b+1故選：A.26．（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期中）已知正數(shù)a、b滿足a?1b?1=1，則a+4b的最小值等于（A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解題思路】推導(dǎo)出a>1，b>1，利用基本不等式可求得a+4b的最小值.【解答過程】因?yàn)檎龜?shù)a、b滿足a?1b?1=1，可得ab=a+b，則所以，0<1a<1，0<1b<1，可得a>1，所以，a+4b=a?1當(dāng)且僅當(dāng)a?1b?1=1a?1=4因此，a+4b的最小值為9.故選：B.27．（多選）（24-25高一上·重慶·期中）已知實(shí)數(shù)a>1，b>1，且滿足ab=a+b+3，則（

）A．a(chǎn)b的最小值為9 B．a(chǎn)+b的最小值為7C．a(chǎn)2+b2的最大值為18【答案】AD【解題思路】由基本不等式可判斷A、B是否正確；由a2+b2≥2ab【解答過程】對(duì)于A：因?yàn)閍+b≥2ab，所以ab?3≥2ab，令t=ab，則t2?2t?3≥0，解得t≥3,t≤?1（舍），所以ab≥9對(duì)于B：a+b+3=ab≤a+b22，令t=a+b，則t2?4t?12≥0，解得t≥6,t≤?2（舍），所以a+b≥6對(duì)于C：因?yàn)閍2+b2≥2ab，由選項(xiàng)A可知，ab≥9，所以a對(duì)于D：由ab=a+b+3可得，a?1b?1所以1a?1+1b?1≥2故選：AD.28．（24-25高三上·上海·期中）已知a>0，b>0，4a+b=1，則2aba+b的最大值為【答案】2【解題思路】先求出1a+1【解答過程】因?yàn)閍>0,b>0,4a+b=1，故1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=4a所以2aba+b=21a故答案為：2929．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知x>0,y>0,xy=x+2y+a．(1)當(dāng)a=0時(shí)，求xy的最小值；(2)當(dāng)a=6時(shí)，求x+2y的最小值．【答案】(1)8(2)12【解題思路】（1）利用基本不等式即可求出最小值；（2）根據(jù)已知化簡求出得x=2+8【解答過程】（1）當(dāng)a=0時(shí)，由x>0,y>0,xy=x+2y，則xy=x+2y≥22xy即xy≥22，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=4，y=2時(shí)xy取最小值8.（2）當(dāng)a=6時(shí)，由x>0,y>0,xy=x+2y+6，由xy=x+2y+6得x=2y+6則x+2y=2+8y?1故可知當(dāng)y=3,x=6時(shí)，x+2y取得最小值為12．30．（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b滿足：9a(1)求ab和3a+b的最大值；(2)求9a【答案】(1)1,23(2)最小值為6，最大值為30.【解題思路】（1）使用基本不等式根據(jù)所求解的目標(biāo)代數(shù)式進(jìn)行合理的配湊計(jì)算求解；（2）使用基本不等式，注意根據(jù)所求解的目標(biāo)代數(shù)式進(jìn)行合理的配湊計(jì)算求解.【解答過程】（1）∵9a2+∵9a2+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=33、b=3或a=?33、b=?∵9a2+∵2ab=2∴(3a+b)2?10≤(3a+b)∴3a+b≤23，當(dāng)且僅當(dāng)a=33、b=3時(shí)等號(hào)成立，∴（2）∵9a2+∵9a2+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=33、b=3或a=?33、b=?又9a2+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=153、b=?15或a=?∴9a2+【類型6齊次化求最值】31．（24-25高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1，則x2+yxyA．122 B．22 C．1【答案】D【解題思路】將目標(biāo)式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.【解答過程】x2+yxy=x2則xy+2yx+1≥2故x2+yxy故選：D.32．（24-25高一下·江西吉安·期末）函數(shù)f(x)=x2+x+1x?1A．23 B．3+23 C．2+22【答案】B【解題思路】將函數(shù)化簡變形為f(x)=x【解答過程】解：因?yàn)閤>1，所以x?1>0，所以f(x)=x當(dāng)且僅當(dāng)x?1=3x?1，即所以函數(shù)f(x)=x2+x+1x?1故選：B.33．（多選）（24-25高一上·江蘇·階段練習(xí)）下列各式中，最小值是6的有（

）A．x+9x B．2x2+8【答案】BD【解題思路】根據(jù)基本不等式分析各個(gè)選項(xiàng)的最小值即可得出正確答案.【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，由于x可能為負(fù)，所以x+9對(duì)于B，因?yàn)閤2所以2x當(dāng)且僅當(dāng)x2對(duì)于C，x2+y對(duì)于D，因?yàn)閤+1>0所以x+10x+1當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：BD.34．（24-25高一上·湖南益陽·階段練習(xí)）已知x>?1，則函數(shù)y=x2+x+4【答案】3【解題思路】將函數(shù)化簡，分離常數(shù)，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【解答過程】因?yàn)閤>?1，y=≥2當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1所以函數(shù)y=x2故答案為:3.35．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的最值．(1)已知0<x<12，求(2)已知x>?2，求y=x【答案】(1)1(2)7【解題思路】（1）利用基本不等式可求得y=1（2）將函數(shù)解析式變形為y=x+2【解答過程】（1）因?yàn)?<x<12，所以所以12當(dāng)且僅當(dāng)2x=1?2x0<x<即x=14時(shí)，等號(hào)成立，故y=1（2）因?yàn)閤>?2，所以x+2>0．所以y==x+2當(dāng)且僅當(dāng)x+2=4x+2x>?2所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=x2+7x+1436．（24-25高一上·甘肅蘭州·期中）求解下列各題：(1)求y=x(2)求y=x(3)已知x>0，y>0且4x+y=xy，若x+y>m2+8m【答案】(1)?(2)8(3)m【解題思路】（1）將函數(shù)解析式化為y=3（2）將函數(shù)解析式變形為y=x?1（3）由已知條件可得出1x+4y=1，將代數(shù)式x+y與1【解答過程】（1）當(dāng)x<0時(shí)，y=≤3當(dāng)且僅當(dāng)?x2=?所以，函數(shù)y=x2+3x+4（2）當(dāng)x>1時(shí)，x?1>0，則y=x當(dāng)且僅當(dāng)x?1=9x?1x>1故函數(shù)y=x2+8（3）因?yàn)閤>0，y>0且4x+y=xy，則y+4xxy所以，x+y=x+y當(dāng)且僅當(dāng)yx=4xy1x+因?yàn)閤+y>m2+8m恒成立，則m2+8m<9因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m?9<m<1【類型7多次使用基本不等式求最值】37．（2025·四川德陽·模擬預(yù)測）已知x>?1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，則1x+1+1A．72+6 B．7+62 【答案】A【解題思路】結(jié)合條件可得41【解答過程】因?yàn)?x+3y+z=2，所以2x+1所以4所以41又2x+1y+6x+1z+9yz+z所以41x+1+1y+3所以1x+1+1故選：A.38．（24-25高二上·湖南·開學(xué)考試）