2/30專題3.3奇偶性（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)奇偶性的定義與判斷】 2【題型2由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值、解析式】 4【題型3由函數(shù)奇偶性求參數(shù)】 5【題型4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】 6【題型5抽象函數(shù)的奇偶性】 8【題型6函數(shù)圖象的識(shí)別與判斷】 11【題型7函數(shù)圖象的應(yīng)用】 13【題型8抽象函數(shù)的性質(zhì)】 16【題型9函數(shù)的性質(zhì)綜合】 20知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：定義偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).非奇非

偶函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).定義域

特征定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間.等價(jià)

形式設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，則有f(x)是偶函數(shù)?x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函數(shù)?x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特別地，若f(x)≠0，還可以判斷是否成立.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).(3)奇、偶函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用①若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).2．函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.3．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.【題型1\t"/gzsx/zj145208/_blank"\o"函數(shù)奇偶性的定義與判斷"函數(shù)奇偶性的定義與判斷】【例1】（24-25高一下·山西大同·階段練習(xí)）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（

）A．fx=x+1 C．fx=?2x 【答案】C【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性的定義依次判斷即可.【解答過程】對(duì)A，函數(shù)fx定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f?x=?x+1對(duì)B，函數(shù)fx定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f?x=對(duì)C，函數(shù)fx定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f?x=2x對(duì)D，函數(shù)fx定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f?x=故選：C.【變式1-1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A．y=x2（x>0） C．y=2x2【答案】C【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義，逐項(xiàng)分析即可得解.【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，y=x2(對(duì)于B選項(xiàng)，x+1≠?x+1，所以對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=2x2+2定義域?yàn)镽，且對(duì)于D選項(xiàng)，3x?1≠3?x?1，所以故選：C.【變式1-2】（25-26高一上·全國·單元測試）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在0,+∞上單調(diào)遞減的是（

A．y=x B．y=x C．y=1x【答案】C【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式及奇偶性定義判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可得.【解答過程】A：函數(shù)y=x是奇函數(shù)，且在0,+∞B、D：函數(shù)y=x，y=1?C：函數(shù)y=1x是奇函數(shù)，且在故選：C.【變式1-3】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，gx是定義在R上的偶函數(shù)，則（

）A．fxgx是偶函數(shù) C．fx?gx是奇函數(shù) 【答案】D【解題思路】根據(jù)奇偶性的定義判斷即可.【解答過程】因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，所以fgx是定義在R上的偶函數(shù)，所以g則f?xg?xfg?x=ff?x?g?xgf?x=g故選：D.【題型2由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值、解析式】【例2】（24-25高一上·甘肅蘭州·期末）已知函數(shù)fx是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=x2?3，那么A．?3 B．?1 C．1 D．3【答案】B【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x則f(?2)=?f(2)=?(4?3)=?1.故選：B.【變式2-1】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x2?2x，則在A．?xx?2 B．xx?2 C．xx【答案】C【解題思路】利用函數(shù)奇偶性求對(duì)稱區(qū)域解析式，再利用絕對(duì)值的意義，把分段函數(shù)又寫成含絕對(duì)值的函數(shù)即可.【解答過程】當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，即有f?x再由y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以f即有fx所以當(dāng)x<0時(shí)，fx當(dāng)x≥0時(shí)，fx綜上可得：fx故選：C.【變式2-2】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=2x2A．?2 B．1 C．?1 D．?3【答案】D【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f?1=?f1【解答過程】因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f所以f?1故選：D.【變式2-3】（24-25高一上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x2A．fx=xC．fx=x【答案】A【解題思路】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式即得.【解答過程】當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，則f?x∵函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴f∴fx故選：A.【題型3由函數(shù)奇偶性求參數(shù)】【例3】（24-25高三上·廣西河池·期末）已知f(x)=x+a1?x2為奇函數(shù)，則a=A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解題思路】利用f(0)=0求出a值并驗(yàn)證即可.【解答過程】函數(shù)f(x)=x+a1?x2的定義域?yàn)??1,1)，而此時(shí)f(x)=x1?x2，所以a=0.故選：B.【變式3-1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知fx=ax2+bx是定義在2a?3,4aA．?13 B．13 C．?【答案】D【解題思路】利用偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求得a的值，由偶函數(shù)的定義可得a?x2+b【解答過程】因?yàn)閒x=ax所以2a?3+4a=0，解得a=12又f?x=fx，所以a又x∈?2,2，所以b=0，所以a+b=故選：D.【變式3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)fx=1+x1?x，若A．a(chǎn)=1,b=?1 B．a(chǎn)=1,b=1 C．a(chǎn)=?1,b=?1 D．a(chǎn)=?1,b=1【答案】A【解題思路】fx的對(duì)稱中心為1,?1，根據(jù)y=fx+a?b為奇函數(shù)得到f【解答過程】fx因?yàn)閒1?x所以fx的對(duì)稱中心為1,?1由題意得函數(shù)y=fx+a?b為奇函數(shù)關(guān)于則fx關(guān)于a,b解得a=1,b=?1，故選：A.【變式3-3】（24-25高一上·重慶·期中）設(shè)fx=ax3+bx2+cx+2b+c是偶函數(shù)，且定義域?yàn)锳．12 B．13 C．14【答案】B【解題思路】根據(jù)奇偶性可得a=0，c=0，b?1+2b=0，解出b，進(jìn)而得出答案．【解答過程】由偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，所以b?1+2b=0?b=1顯然a=0，c=0，所以a+b?c=1故選：B．【題型4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】【例4】（24-25高一上·廣東揭陽·期末）設(shè)偶函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，fx是增函數(shù)，則f?7，fA．fπ>f?3C．fπ<f?3【答案】A【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性即可求解.【解答過程】由于fx為偶函數(shù)，故f?7由于x∈0,+∞時(shí)，fx故fπ故選：A.【變式4-1】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，fx=fx+4，且f?1A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解題思路】根據(jù)函數(shù)周期性和奇函數(shù)性質(zhì)求解.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在R所以f0=0，又fx=fx+4f2024故選：C.【變式4-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函數(shù)y=fx是奇函數(shù)，則下列各點(diǎn)一定是函數(shù)y=fx+1+2A．1,?2 B．?1,2 C．?1,?2 D．1,2【答案】B【解題思路】利用函數(shù)的圖象變換求解.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx所以函數(shù)y=fx又函數(shù)y=fx+1+2的圖象是向上平移2個(gè)單位得到的，所以函數(shù)y=fx+1+2圖象對(duì)稱中心的是故選：B.【變式4-3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知fx為R上的奇函數(shù)，f2=2，若?x1,x2∈A．?∞,0∪4,+∞B．?∞,0【答案】D【解題思路】設(shè)gx=xfx，由題意得到gx為偶函數(shù)且在0,+∞上單調(diào)遞增，由2f2=g【解答過程】設(shè)gx=xfx，由?x則gx在0,+∞上單調(diào)遞增，∵fxg故gx而gx?2則?2<x?2<2，解得：0<x<4，故選：D.【題型5抽象函數(shù)的奇偶性】【例5】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(1)=?2，若f(x)?f(y)=f(x+y)+f(x?y)，則（

）A．f(0)=0 B．f(2)=1C．f(x)為偶函數(shù) D．f(x)為增函數(shù)【答案】C【解題思路】通過賦值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【解答過程】令x=1,y=0，則f1則?2f0令x=1,y=1，則f1則4=f2令x=0，則f0所以fx由f0=2，f(1)=?2，可知故選：C.【變式5-1】（24-25高一上·重慶·期中）若x，y∈R，fx+y+fA．-2 B．-1 C．?12【答案】A【解題思路】利用賦值法，判斷函數(shù)的周期，對(duì)稱性，再利用周期性和對(duì)稱性求值.【解答過程】令x=2，y=0，得2f2=2f2令y=2，fx+2又fx+4+fx=fx+2故fx得到周期T=12令x=0，fy+f?y=2fy又fx+6+fx=0，fx+6所以f3=0，f4=?f2所以f2020故選：A.【變式5-2】（24-25高一上·浙江溫州·期末）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足：?x,y∈R，fx?fy=fA．f0=1 C．fx是奇函數(shù) D．?x∈R，【答案】D【解題思路】利用賦值法結(jié)合題干信息逐項(xiàng)分析求解.【解答過程】對(duì)A，令x=6,y=0，則f(6)?f(0)=f(6?0)+2(6?0)×0，由f(6)=0，則0?f(0)=f(6)+0，即?f(0)=0，所以f(0)=0，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，令x=6,y=3，則f(6)?f(3)=f(6?3)+2(6?3)×3，因?yàn)閒(6)=0，所以0?f(3)=f(3)+18，解得f(3)=?9，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令x=0，則f0又f(0)=0，所以?fy=f?y當(dāng)x≠0時(shí)，f?x所以f(x)不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由C選項(xiàng)知，?fx=f?x所以?x∈R，fx故選：D.【變式5-3】（2025·甘肅慶陽·一模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，ffx+y=fx+fA．f0=0 B．C．f2024=2024 D．fx【答案】D【解題思路】利用賦值法x=1,y=0可得f0=0，即可判斷A，利用y=?x，即可根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷B，利用ffx+1?x=f【解答過程】取x=1,y=0，則ff1=f1+f取y=?x，則ffx?x=fx+f對(duì)任意的x都有ffx+1?x=f因此fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1由于1=fx+f1?x且fx是奇函數(shù)，得因此f2故選：D.知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的圖象1．函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).(2)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)為偶函數(shù).2．函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷(1)排除法：利用特殊點(diǎn)的值來排除；(2)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來判斷.3．對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.【題型6函數(shù)圖象的識(shí)別與判斷】【例6】（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）函數(shù)y=xx2?1A． B．C． D．【答案】B【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用0<x<1時(shí)函數(shù)值的正負(fù)即可判斷得解.【解答過程】函數(shù)y=xx2?1中，x2由|?x|(?x)2?1=|x|當(dāng)0<x<1時(shí)，|x|x故選：B.【變式6-1】（24-25高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）函數(shù)fx=xA． B．C． D．【答案】A【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的符號(hào)可得正確的選項(xiàng).【解答過程】fx的定義域?yàn)閤|x≠±2，而f因此fx當(dāng)0<x<2時(shí)，fx故選：A.【變式6-2】（24-25高一上·四川南充·期中）函數(shù)fx的大致圖象如圖所示，則fx可能是（

A．fx=1C．fx=x【答案】C【解題思路】根據(jù)圖象分析fx【解答過程】由圖象可知，fx為奇函數(shù)且定義域?yàn)閤對(duì)于A：定義域?yàn)閤x≠±1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f對(duì)于B：定義域?yàn)閤x≠1對(duì)于C：定義域?yàn)閤x≠±1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f對(duì)于D：定義域?yàn)閤x≠±2故選：C.【變式6-3】（24-25高一上·貴州六盤水·期中）函數(shù)fx=1xA．

B．

C．

D．

【答案】D【解題思路】判定函數(shù)的奇偶性和正負(fù)即可得解.【解答過程】fx=1x2所以fx當(dāng)x≠0時(shí)，fx故選：D.【題型7函數(shù)圖象的應(yīng)用】【例7】（24-25高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)f(x)是(?∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式fA．(?3,?1)∪(1,3) B．(?3,?1)∪(0,1)∪(3,+C．(?∞,?3)∪(?1,1)∪(3,+∞【答案】D【解題思路】根據(jù)題設(shè)，將不等式化為f(x)x【解答過程】由題設(shè)fx?f?x當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x由圖可知，x∈(?∞,?3)∪(?1,0)時(shí)f(x)>0，x∈(?3,?1)時(shí)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，有x∈(0,1)∪(3,+∞)時(shí)f(x)<0，x∈(1,3)時(shí)所以，不等式的解集為(?∞故選：D.【變式7-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx是定義在區(qū)間a2?6,a內(nèi)的奇函數(shù)，且fx在區(qū)間0,a內(nèi)的圖象如圖所示，則A．?2,?1 B．?1,1 C．?2,?1和1,2 D．1,2【答案】C【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出a的值，由圖象可得函數(shù)在1,2內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，求出函數(shù)在?2,?1內(nèi)單調(diào)遞增，即可得解.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在區(qū)間a所以a2?6+a=0a所以函數(shù)fx是定義在區(qū)間?2,2由圖可知，函數(shù)在1,2內(nèi)單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在?2,?1內(nèi)單調(diào)遞增，因此fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?2,?1和1,2故選：A.【變式7-2】（24-25高一上·貴州六盤水·期中）已知函數(shù)fx=x?1A．fx的定義域?yàn)镽 B．fxC．fx在區(qū)間?∞,0上單調(diào)遞減 D．【答案】D【解題思路】根據(jù)解析式和圖像直接判斷AB；對(duì)于C：結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：利用單調(diào)性解不等式即可.【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A：顯然函數(shù)fx=x?1對(duì)于選項(xiàng)B：由圖象可知fx可以為負(fù)值，所以fx的值域不為因?yàn)閒?x=?x?1對(duì)于選項(xiàng)C：由圖象可知：fx在區(qū)間0,+則fx在區(qū)間?對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閒x在區(qū)間0,+且f1=0，此時(shí)fx又因?yàn)閒x在區(qū)間?且f?1=?f1=0，此時(shí)綜上所述：fx>0的解集為故選：D.【變式7-3】（24-25高一上·四川南充·期中）已知偶函數(shù)fx與奇函數(shù)gx的定義域都是?2,2，它們在0,2上的圖象分別如圖1、圖2所示，則使關(guān)于x的不等式fxgA．?2,?1∪1,2 C．?2,?1∪0,1 【答案】C【解題思路】補(bǔ)全兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出不等式fx【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx為偶函數(shù)，函數(shù)g因?yàn)閒xgx>0，則由圖可得，不等式組fx<0g不等式組fx>0g綜上所述，不等式fxgx故選：C.【題型8抽象函數(shù)的性質(zhì)】【例8】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定義在?∞，0∪0，+∞上的函數(shù)fx，滿足fA．f?1=2 B．C．f?2025<f?2024 D．若【答案】C【解題思路】A選項(xiàng)，先令x=y=1，可得f1=2，再令B選項(xiàng)，令y=?1，結(jié)合fxC選項(xiàng)，由題可判斷fx在0D選項(xiàng)，由ABC選項(xiàng)可解不等式fx+2【解答過程】A選項(xiàng)，在fxy+2=fx得f1+2=f1+f1得f1+2=f?1B選項(xiàng)，令y=?1，得f?x+2=fx又fx的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以fC選項(xiàng)，設(shè)0<x1<x2所以fx所以fx在0,+∞上是增函數(shù)，因?yàn)樗詅x在?∞,0D選項(xiàng)，因?yàn)閒x是偶函數(shù)，則f又fx在0,+∞上是增函數(shù)，所以x+2<1故選：C．【變式8-1】（2025·新疆烏魯木齊·二模）已知fx，gx都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足fx?y=fxA．f0=1 B．函數(shù)g2x+1C．g1+g?1=0 【答案】D【解題思路】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC，取fx=sin2π3x,gx=cos2π3x可判斷B，對(duì)于D，通過觀察選項(xiàng)可以推斷【解答過程】解：對(duì)于A，令x=y=0，代入已知等式得f0=f0對(duì)于B，取fx=sin2π因?yàn)間3=cos2π所以函數(shù)g2x+1的圖象不關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)于C，令y=0，x=1，代入已知等式得f1可得f11?g0=?g1f0再令x=0，代入已知等式得f?y將f0=0，g0=1代入上式，得令x=1，y=?1，代入已知等式，得f2因?yàn)閒?1=?f1又因?yàn)閒2=?f?2因?yàn)閒1≠0，所以對(duì)于D，分別令y=?1和y=1，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：fx+1=fx兩式相加易得fx+1+fx?1即：fx有：?fx即：fx?1=fx+2因?yàn)閒1=1，所以f?2=1，所以所以f1所以n=12023故選：D.【變式8-2】（24-25高一上·遼寧丹東·期中）定義域?yàn)閤∣x≠0的函數(shù)fx滿足f(1)求證：f1(2)求證：fx(3)當(dāng)x>1時(shí)，fx>0，求證：fx在0,+【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解題思路】（1）取x=y=1計(jì)算出f1=0，再?。?）取y=?1，再取x=y=?1計(jì)算出f?1（3）利用定義法證明函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)奇偶性得出函數(shù)在?【解答過程】（1）取x=y=1代入fx+fy取y=1x代入得fx+f1（2）取y=?1代入fx+fy取x=y=?1代入fx+fy所以fx=f?x，因?yàn)楫?dāng)x∈x∣x≠0時(shí)，（3）設(shè)x1,x2∈所以fx2?f因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以f?x2>f?x【變式8-3】（24-25高一上·重慶·期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的x,y∈R都有fxy=fxfy，且x<0(1)求f1的值并判斷函數(shù)f(2)討論fx(3)若f4=16，fx【答案】(1)f1(2)增函數(shù)，證明見解析(3)(?【解題思路】（1）對(duì)已知式中的x,y依次賦值，求得f(1)=1，f(?1)=?1，利用奇偶性定義證明即得；（2）先證明x>0時(shí),fx>0，由y=f(x)是R上的奇函數(shù)，可得f0=0，再由函數(shù)的單調(diào)性定義證明在f(x)在0,+∞（3）通過賦值法，將題設(shè)不等式化成f(x2+x)≥f(2ax+12)，再利用fx在R上是增函數(shù)將其化成【解答過程】（1）因?qū)θ我獾膞,y∈R都有f當(dāng)x>1時(shí),令y=1,則f(x)=f(x)f(1)，因f(x)>1，則f(1)=1；再令x=y=?1,則f(1)=f(?1)f(?1)，即f2(?1)=1，因f(?1)<0，則令y=?1,則f(?x)=f(?1)f(x)=?f(x),故y=f(x)是奇函數(shù).（2）fx在R當(dāng)0<x<1時(shí),1x>1,則f(1x)>1又f1=1>0，且x>1時(shí),f(x)>1，故x>0時(shí),又因fx是定義在R上的奇函數(shù),所以f任取x1>x2f∴fx1>f又因fx是R上的奇函數(shù),則fx在?∞故fx在R（3）在fxy=fxfy中，令x=y=2，可得f(4)=由fxfx+1即f(因fx在R上是增函數(shù)，即得x2+(1?2a)x?12≥0設(shè)g(a)=?2xa+x則g(0)=x2+x?12≥0g(1)=即實(shí)數(shù)x的取值范圍為(?∞【題型9函數(shù)的性質(zhì)綜合】【例9】（24-25高一上·北京東城·期末）已知y=fx奇函數(shù)，fx=f2?x恒成立，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，fx=x，設(shè)A．gB．函數(shù)y=gxC．函數(shù)y=gxD．函數(shù)y=gx在區(qū)間2022,2023【答案】D【解題思路】推導(dǎo)出函數(shù)fx是周期函數(shù)，可推導(dǎo)出函數(shù)gx為周期函數(shù)，結(jié)合周期性可判斷AB選項(xiàng)；利用函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；求出函數(shù)y=gx【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx為奇函數(shù)，f則fx=?fx?2故函數(shù)fx是周期為4對(duì)于A選項(xiàng)，gx+4所以，函數(shù)gx是周期為4則g2022當(dāng)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，fx=x，則f3所以，g2022對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)間=fx+1所以，函數(shù)gx的圖象關(guān)于直線x=又因?yàn)間?1?x所以，gx+g?x?1=0，故函數(shù)因此，函數(shù)y=gx對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)2022<x<2023時(shí)，2023<x+1<2024，0<x?2022<1，0<2023?x<1，則fxfx+1此時(shí)，gx所以，函數(shù)gx在區(qū)間2022,2023故選：D.【變式9-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+4為偶函數(shù)，f?x+2為奇函數(shù)，且fA．fB．x=4為函數(shù)fxC．函數(shù)fx在4,8D．f1【答案】D【解題思路】由f?x+2為奇函數(shù)可得f?x+2+fx+2=0，取x=0，即可判斷A；由fx+4為偶函數(shù)可得fx+4