高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理試卷

姓名:年級:學(xué)號:

題型選擇題填空題解答題判斷題計算題附加題總分

得分

評卷人得分

一、選擇題（共11題，共55分）

、如圖所示，垂直于所在的平面，是的直徑，是上的一點，尸分別

12A0°48PA=AB=2f0E,

是點.在PB,PC上的投影，當三棱錐P-/EF的體積最大時，與底面“BC所成角的余弦值是（）

A.2B.2c,3D,2

【考點】

【答案】D

【解析】分析：由題意首先得到體積的表達式，然后結(jié)合解析式確定函數(shù)取得最值時的條件，最后求得最

值即可.

詳解：設(shè)/84c=6,由題意可知，設(shè)也與底面4BC所成的角為夕，則3夕=正

由圓的性質(zhì)可知：/4C-LZ?C,由線面垂直的定義可知：1z?c,

結(jié)合線面垂直的判斷定理可得：平面P4C,則BC14F,

結(jié)合4F1PC可知4F1平面PBC,

據(jù)此有4F1EF,則S△向另X/X”,

由平面可知"F1PB,結(jié)合力51PB可得PB1平面4EF,

則VpTEF=?xSaAEFXPE=3X4FxEFxPE

在Rt△P4c中AC=ABxcosff

AFJxAC2x2cos82cos。，

利用面積相等可得：PCj22+（2cos0）2Jl+cosb,

在RtaPRB中，AE=PE=&,則EF=真尸一力尸,

222

Vp_AEF=^xAFxEFxPE=^-x^2-AFx#=^AF（2-AF）

結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知，當“產(chǎn)=（2一”產(chǎn)），即4F=1時三棱錐的體積最大，

cAF1

此時cosB=sin4P4F=^=,

本題選擇D選項.

2、已知帆＞0,九＞0,log47n=log8n=logi6（2m+n）,則log?師Tog/=（）

11

A.-2B.2C.一而.2

【考點】

【答案】C

【解析】分析：由題意首先求得m,n的關(guān)系，然后結(jié)合對數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意，設(shè)log4m=10g8九=10gi6（2m+n）=k,

則m=4、九=8k2/n4-n=16、據(jù)此有；2x44+8'=16”

據(jù)此可得:◎ZE一,

則log2師一1084Tl=log2^-log2^H=log2^=log2/=一；

本題選擇c選項.

3、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線或虛線面出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條弧均為

圓弧，則該幾何體的體積為（）

327r16打8打

A64-FB.64-8%64-萬D.64-^

【考點】

寓;7析：由題意首先確定該幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合體積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.

詳解：如圖所示，在棱長為，的正方體中，F(xiàn)E，G出分別為其對應(yīng)棱上的中點，

將正方體裁取四分之一圓柱DEF_D]E|F]和四分之一圓錐后對應(yīng)的幾何體即為三視圖

所對應(yīng)的幾何體，

V.=4’=64

其中正方體的體積1*

2

V9=7X（7TX2）X4=4"

四分之一圓柱的體積24

V-=jX^X（7Tx22）X4=3n-

四分之一圓錐的體積34'

16

U=V1_V2—=64—

則所求組合體的體積為：.

本題選擇c選項?

Di

4、已知函數(shù)y=f(x)為R上的偶函數(shù)，且滿足/(%+2)=-/(X),當X601)時，f(x)=1-X2

下列四個命題：

P1：/(1)=0；

P2：2是函數(shù)丫=,(2)的一個周期；

P3：函數(shù)y=/('-1)在(1，2)上單調(diào)遞增；

11

P4：函數(shù)y=f(2%—l)的增區(qū)間［2人一階2k+禮kEZ

其中真命題為()

A.P1，P2B.P2，P3C.P1，P4D.P2，P4

【考點】

【答案】C

【解析】分析：由題意首先確定函數(shù)f(x)的性質(zhì)，然后逐一分析所給的命題即可求得最終結(jié)果.

詳解：/(、+2)=_f(x)中，令x=-1可得：f(l)=-fjl)=

據(jù)此可得：f⑴=°,命題P1正確;

由題意可知：/(X+4)=+2)=f(x),則函數(shù)f(x)的周期為T=4,

則函數(shù)y=/G)的一個周期為8,命題「2錯誤，

由r(x+2)=-fa)可知函數(shù)關(guān)于點(i，o)中心對稱，繪制函數(shù)圖像如圖所示:

將函數(shù)圖像向右平移一個單位可得函數(shù)y=/('_1)的圖像,

則函數(shù)y=fa-1)在(1，2)上單調(diào)遞減，命題「3錯誤:

P4：函數(shù)y=f(2x-1)的增區(qū)間滿足：4/c-2<2x-l<4k(keZ),

求解不等式組可得增區(qū)間為：〔2"一/"+可，kez.

綜上可得：真命題為Pi'p立

本題選擇c選項.

5、將函數(shù)丫=2sm(LOCOS(G+x)T的圖象向左平移以伊>0)個單位

,所得的圖象恰好關(guān)于原點

對稱，則3的最小值為()

nnnn

A.24B,mC.，D.3

【考點】

【答案】B

【解析】分析：首先化簡三角函數(shù)的解析式，然后結(jié)合三角函數(shù)圖象的特征整理計算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由于sm(6)=仙卜噲+X)]=cos(aX),

y=2cos2償+X]—1=cosd+2%)

故三角函數(shù)的解析式即：J16/13),

令cosg+2x)=0可得:」+2x=E+先WZ),則x='+/kez),

取k=°可得：”-12,即函數(shù)圖象與X軸正半軸的第一個交點坐標為口2,),

n

函數(shù)圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知3的最小值為運.

本題選擇B選項.

6、已知函數(shù)"刈="g"(°V0<D的導(dǎo)函數(shù)為f(X),記力=f(。)，8=f(a+l)-f(a),

C=f(a+1),則()

KA>B>C3A>C>BQB>A>CDC>B>A

【考點】

【答案】D

【解析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義整理計算即可求得最終結(jié)果.

詳解：繪制函數(shù)八幻=l°ga"°<a<1)的圖像如圖所示，

且M(alog』)，N(a+Uogja+1)),

由題意可知“=r(a)為函數(shù)在點M處切線的斜率，

C=r(a+1)為函數(shù)在點N處切線的斜率，

B_f(a+l)-/(a)-(fl+1)_a為直線MN的斜率，

數(shù)形結(jié)合可得：C>B>4

本題選擇D選項.

7、祖沖之是我國古代杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機械發(fā)明家，是世界上第一個把圓周率的值精確到7位小

數(shù)的人，現(xiàn)在可用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)的方法估算出"的值，其程序框圖如下圖所示，其中函數(shù)廣所以（0,1）的

功能是生成區(qū)間（°」）內(nèi)的隨機數(shù)，若根據(jù)輸出的出值估計出的值為3.14,則輸出的值為（）

A.314B.628C.640D.785

【考點】

【答案】D

【解析】分析：首先確定流程圖的功能，然后結(jié)合蒙特卡羅模擬的方法計算P的值即可.

詳解：由題意可知，流程圖的功能等價于有1000顆豆子，隨機投擲在區(qū)域ABCD之內(nèi),

其中落在陰影部分的豆子顆數(shù)為k,據(jù)此可估計圓周率的值為3.14,求k的值為多少.

結(jié)合蒙特卡羅模擬的方法可知：

kn1O

Tooox1=4x3-14X1,則：k=785

本題選擇D選項.

y<x

2x+y<3

8、已知實數(shù)與J，滿足不等式組"4,則z=2x-y的最大值為()

A.5B.3C.1D.-4

【考點】

【答案】A

【解析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解的取值之處，據(jù)此求解最大值

即可.

詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，

|2x+y=3

聯(lián)立直線方程：2y=4,可得點的坐標為：4(2,—1),

Zmax=2X2-(-1)=5

據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為:

本題選擇A選項.

A.y=±也B.y=±K.y=±不“口y=±也

【考點】

【答案】B

【解析】分析：由題意首先求得m的值，然后求解漸近線方程即可.

222

詳解：由題意結(jié)合雙曲線的標準方程可知：a=?n,b=l,c=5i

則：m+1=5,m=4,

-X：—v7=1

雙曲線的標準方程為：4),

/21

雙曲線的漸近線方程滿足彳一)’=°,整理可得漸近線方程為：y=土/.

本題選擇B選項.

10、若復(fù)數(shù)Z滿足(1+2i)?z=2+i,其中i為虛數(shù)單位，則匕|=()

34

A.5B.5C1D.2

【考點】

【答案】C

【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.

2+i

詳解：由題意可得：z=T7萬，

I12+i|2+i\拒

則出=4T|=EI=3=I

本題選擇c選項.

11、已知全集〃=%集合力=卜僅=皿一/)},集合'=則(c〃)n8=()

A.(x\x>1}B{x|0<x<1}C{x\x<0}D{x\x<。或X>1]

【考點】

【答案】A

【解析】分析：由題意首先求得集合A,B,然后進集合的混合運算即可求得最終結(jié)果.

2

詳解：函數(shù)y=ln(x一一)有意義，則：x-x>Qf據(jù)此可得4={x|0vxvl},

求解指數(shù)不等式?<1可得：B={x|x>。},

據(jù)此可得：CUA={小-1或X-0},

結(jié)合交集運算可知：(CMn8={x\x>1}

本題選擇A選項.

二、填空題(共3題，共15分)

sinB+sinC

12、在448C中，內(nèi)角48,C的對邊分別為a,b,c,且滿足asinA—4”sinC=0,/為銳角，則2si*

的取值范圍為.

【考點】

【答案】(翳)

【解析】分析：由題意首先利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最

終結(jié)果.

sinB+sinCb+c

詳解：由數(shù)”那一4加inC=°結(jié)合正弦定理可得：a=4bc,且2siE=W,

b2+c^-c?

4為銳角，則：Ovcos/vl,即0v—2bi—VI,據(jù)此有：

82+/-4兒

°V2bcVI

0V店+c2-4bc<2bc

J

6bc<b2+c24-2bc<8fac

,(b+c)2c

6v^^<8

J

6(b+c)28￡(b+)8

即16V16bc<16,16<4a2<叱

*b++cQ

據(jù)此可得：彳V2a〈爹,

sinB+sinC

則25"乜的取值范圍為.

2

13、拋物線C：y=2px(p>0)的焦點為F,過點的直線[交拋物線C于4,B兩點，交拋物線的準線加于

D點,若|BD|=2|FB|,|F0|=2,則「=.

【考點】

【答案】1或3

【解析】分析：由題意分類討論點A在上方，點B在下方和點B在上方，點A在下方兩種情況即可求得實

數(shù)P的值.

_P2pP

X=+=

詳解：如圖所示，當點B位于點A下方時，由幾何關(guān)系可知：B=-2T6I

直線a》的方程為：丫一"

與拋物線方程整理可得：12x2-20px+3p2=o,

31

則：X/l=印，無8=或，結(jié)合可得：

MF|=Jp2+3P2=2p,則2P=2,p=1.

=_P?=9

當點B位于點A下方時，由幾何關(guān)系可知：“8一一3十ZP—2,

代入拋物線方程可得：)[=再，

結(jié)合可得：，

直線的方程為：，

與拋物線方程整理可得：，

31

則：XR=卯,七4=或，結(jié)合可得：

一=腦+#=%,則|p=2,p=3

綜上可得，p的值為1或3.

14、（/-次2%+1）6的展開式中X4項的系數(shù)為.

【考點】

【答案】-132

【解析】分析：由題意結(jié)合二項式展開式的通項公式首先寫出展開式，然后結(jié)合展開式整理計算即可求得

最終結(jié)果.

詳解：（24+1）6的展開式為：Tr+l=《（2x）6-r=26-6白6-1

當6T=2,r=4時,74+1=26-4由6-4=60%2,

當6—r=5r=1.時，74+]=之61=192

據(jù)此可得：展開式中X，項的系數(shù)為60—192=-132

三、解答題（共6題，共30分）

15、已知函數(shù)f（x）=x2-\x\+3

（l）求不等式f（x）-3”的解集；

（II）若關(guān)于X的不等式"乃一'-'+可恒成立，求實數(shù)Q的取值范圍.

【考點】

［答案］(?){x|xN3或x41}；(||)(一8,-3］U［3,+oo)

【解析】分析：(I)由題意分類討論x2°和、v°兩種情況可得原不等式的解集為.

X

(II)原問題等價于可+|%|-3恒成立，結(jié)合絕對值三角不等式的性質(zhì)可得MlN3,則實數(shù)。

的取值范圍是.

詳解：(I)當時,f(X)=.r_x+3N3%,即/_4x+3N0

解得在3或1所以或OKxK1；

當時，/(%)=/+x+3N3欠，此不等式/-2x+3N0恒成立，所以.

綜上所述，原不等式的解集為.

/u、f(x)-x2＜，+a|廣十一

(II)''12怛成A￡,

x

即-田+3*b+。|恒成立，

即恒成立，

XXXXXXXX

?a

?,片+。1+因=b+I引+可之叮+。一W+.=.+III-llJ

當且僅當x=°時等式成立，

解得a23或a3

故實數(shù)的取值范圍是.

n

16、在直角坐標系x°y中，以坐標原點為極點，”軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線’的傾斜角為？且過

極坐標點P(l'T),若曲線C的極坐標方程為psin%+4COS0=0

(I)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程；

11

(II)設(shè)直線與曲線交于［方兩點，求兩+兩的值.

【考點】

1

X=21

,=if年

【答案】(I)。2(亡為參數(shù))，產(chǎn)=一4%(||)2+和

【解析】分析：(I)由題意可得直線’的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，極坐標化為直角坐標方程可得曲線。的

直角坐標方程為.

11_R

（II）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與拋物線的方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義可得兩十兩=2+'

詳解：（I）直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），

曲線的極坐標方程即：P2siiFe+4pcos0=°,

2

化為直角坐標方程為：y+4x=o.

即直角坐標方程為.

川）將代入，得/+（2+回"1=0

4(2+我4

其判別式4=4+4腳＞°--------3-八七=彳

,故有11J

11%+,2后

，兩+兩=-77^=2+[3

17、設(shè)函數(shù)f(%)=x+axln'SWR).

（I）討論函數(shù)f。）的單調(diào)性;

x2

（II）若函數(shù)的極大值點為x=1,證明：f。）三。一”+、.

【考點】

【答案】（I）答案見解析；（II）證明見解析.

【解析】分析：（I）f（x）的定義域為（°，+8）,f（X）=1+alnx+a,據(jù)此分類討論可得：當。=。

a+1

時，函數(shù)在區(qū)間（°，+8）單調(diào)嗟增；當a>°時，函數(shù)在區(qū)間（°，e0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間

a+1

（。°，+8）上單調(diào)遞增；當av°時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（II）由（I）知/（%）=X7仇％,原問題等價于證明1一"構(gòu)造函數(shù)

一+丫+"-1（%>0）,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特征再次構(gòu)造函數(shù)g（x）=X-2-X（x>。），結(jié)合

函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.

詳解：（?）的定義域為，，

當時，f（x）=x,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增;

a+1

當時，由f（無）>。得y>e由「。）V0得Ovxv。-

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，由得，由得，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

a+1

(II)由(I)知且e°=1時，解得O=-1.,

要證f(x)K。7+了,即證x—x伍無式0_丫+/,即證：.

、17ra+l)(X-L)

F(x)=《H----------------+1=-------------------

令，則X//

令，易見函數(shù)9(、)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

而g⑴=1->0,g(o)=_i〈o,

所以在區(qū)間上存在唯一的實數(shù)"°,使得g(、°)=xo-eO=o,

即與=/"且XW(0，/)時g(x)v0,XW(%,+oo)時gQ)>o

故F(X)在(°40)上遞減，在(與，+8)上遞增.

?.F（X）mOi=F（%0）=lnxQ+k+'0?1

XFlnx

e-°=X0.Wmin=Q+%+/-1=-%+1+/-1=0

...F(x)>F&o)=0成立，即成立

18、已知橢圓°的中心為坐標原點，焦點在X軸上，離心率2,以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形

的周長為4戶

(I)求橢圓的標準方程；

(II)若經(jīng)過點P(l，°)的直線'交橢圓于4B兩點，是否存在直線‘°："=x0("o>2),使得到直線’0

%_\PA\

的距離d4%滿足而一畫恒成立，若存在，請求出餐的值；若不存在，請說明理由.

【考點】

x22

—4-=1

【答案】(I)4丁,；(II)答案見解析.

【解析】分析：(I)設(shè)橢圓°的標準方程為。2+必-1(">">°),由題意可得a=2,b=l,c=串

則橢圓的標準方程為.

(H)若直線』的斜率不存在，則直線‘°為任意直線都滿足要求；當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為:

2

y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立有(1+4k2)/_8k2%+4k-4=01結(jié)合韋達定理可得

8/8M

1+4*21+4*2

X。=一族=4%_/川

2,則存在直線后"=4,使得4B到直線的距離霖’盛滿足五"西恒成立.

詳解：(I)設(shè)橢圓的標準方程為，

.W=￥,.」=虱又.；*2+b2=4$,

22由廬=。

.a+b=5t2,2=12,

解得，，.

所以橢圓的標準方程為.

(II)若直線的斜率不存在,則直線為任意直線都滿足要求；

當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為：，

設(shè)力口。2。'2)(不妨令4>1>々)，

則冊=與

71,dB=xQ-x2^

\PA\=Jl+k2al-1),I尸Bl=Jl+M(1-X2)

?of_Jl+d(x「l)2x^2-(xx+X2)

????2

?，?.”°*2Jl+fc(l-x2)-l-x2j解得“。一(xx+x2)-2

2

fx9

不+V=1

由得，

8M4M-4

4+%2=E空2=門

99?

綜上可知存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立.

19、高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發(fā)明”，彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力.某移

動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

(?)把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，能否在犯錯誤概率不超過0.005

的前提下，認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān)？

(II)把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”，視頻率為概率，在我市所

有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶.

①求抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率；

②為了鼓勵男性用戶使用移動支付，對抽出的男“移動支付達人”每人獎勵300元，記獎勵總金額為X,

求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2n(ad-bc)2

附公式及表如下：=(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【考點】

【答案】(I)在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，能認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān).(II)

64

①K②見解析.

92450

K乙—______xp249>3841

【解析】分析：(I)由題意完成列聯(lián)表，結(jié)合列聯(lián)表計算可得―297',.所以在犯

錯誤概率不超過0.005的前提下，能認為是否為“移動支付活趺用戶”與性別有關(guān).

(II)視頻率為概率，在我市“移動支付達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為男“移動支付達人”

12

的概率為可女“移動支付達人”的概率為司

64

p-

①有對立事件公式可得滿足題意的概率值為=81.

②記抽出的男“移動支付達人”人數(shù)為丫，則X=30°P.由題意得,~“(4年)，由二項分布公式首

先求得Y的分布列，然后利用均值和方差的性質(zhì)可得X的分布列，計算可得=得K的數(shù)學(xué)期望

EX=300EF=400元

詳解：(I)由表格數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表如下：

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得：

22

2_n(ad-bc)_100(25x40-15x20)_2450

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=-40x60x55x45—=