基于模型預(yù)測控制的機(jī)器人空中姿態(tài)調(diào)整方法案例分析目錄TOC\o"1-3"\h\u21150基于模型預(yù)測控制的機(jī)器人空中姿態(tài)調(diào)整方法案例分析 111791.1引言 1194841.2模型預(yù)測控制算法的設(shè)計(jì)與仿真 116301.3自適應(yīng)模型預(yù)測控制算法設(shè)計(jì)與仿真 6270611.4控制方法的對(duì)比與分析 8317551.1.1響應(yīng)速度 8307011.1.2控制裕度 9296411.1.3算法魯棒性 101.1引言本章從控制算法的響應(yīng)速度、控制裕度和算法魯棒性三個(gè)方面對(duì)反饋線性化、模型預(yù)測控制和自適應(yīng)模型預(yù)測控制三個(gè)算法進(jìn)行比較。1.2模型預(yù)測控制算法的設(shè)計(jì)與仿真一般情況下，模型預(yù)測控制問題可以表示為如下形式： (4-1)滿足系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程() (4-2)以及系統(tǒng)滿足的控制約束和輸出約束 (4-3)(4-1)式中，稱為預(yù)測時(shí)域，用來表示控制器在每個(gè)采樣時(shí)刻預(yù)測多少步之內(nèi)的模型輸出；稱為控制時(shí)域，表示對(duì)多少步之內(nèi)的系統(tǒng)輸入進(jìn)行優(yōu)化求解；是對(duì)系統(tǒng)的輸入與輸出設(shè)置的權(quán)重；是設(shè)定的系統(tǒng)輸出參考軌跡。在預(yù)測時(shí)域和控制時(shí)域給定的情況下，每個(gè)采樣時(shí)刻，優(yōu)化函數(shù)是當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)和優(yōu)化目標(biāo)的函數(shù)。雖然每個(gè)采樣時(shí)刻計(jì)算出個(gè)步長內(nèi)的系統(tǒng)輸入最優(yōu)解，但是控制器只會(huì)輸出第一個(gè)作用于實(shí)際系統(tǒng)，在下一個(gè)采樣時(shí)刻，控制器會(huì)根據(jù)系統(tǒng)新的狀態(tài)重新求解優(yōu)化問題，即采用滾動(dòng)優(yōu)化的策略。(4-2)式表示的是控制器內(nèi)部的預(yù)測模型，是一個(gè)線性離散時(shí)間系統(tǒng)，表示系統(tǒng)的狀態(tài)，表示系統(tǒng)的輸入，表示系統(tǒng)的可測擾動(dòng)，表示系統(tǒng)的輸出。(4-3)式表示的是優(yōu)化問題求解需要滿足的約束條件，這里表明MPC算法會(huì)考慮系統(tǒng)約束的作用計(jì)算系統(tǒng)輸入。在線性約束和預(yù)測模型為線性離散時(shí)間系統(tǒng)的條件下，MPC算法求解的優(yōu)化問題是一個(gè)凸優(yōu)化問題，可以運(yùn)用成熟的算法進(jìn)行求解。綜上所述，MPC算法采用在線滾動(dòng)優(yōu)化的策略，利用預(yù)測模型的輸出求解優(yōu)化問題，從而計(jì)算得到系統(tǒng)的輸入控制變量。本小節(jié)使用Matlab中的MPC工具箱進(jìn)行模型預(yù)測控制算法的設(shè)計(jì)，主要進(jìn)行兩項(xiàng)工作：（1）給出控制器預(yù)測模型要求的線性離散時(shí)間系統(tǒng)；（2）給定控制時(shí)域、預(yù)測時(shí)域、采樣時(shí)間、權(quán)重和約束等參數(shù)。第3章提到所關(guān)心的是(3-2)微分方程組第4個(gè)和第5個(gè)方程，在MPC控制算法中，額外考慮系統(tǒng)對(duì)于車把轉(zhuǎn)角的約束，因此也需要考慮方程組中第8個(gè)方程。記MPC控制器預(yù)測模型的狀態(tài)變量與系統(tǒng)的輸入變量 (4-4) (4-5)即預(yù)測模型的狀態(tài)變量包括單軌雙輪機(jī)器人的橫滾角、俯仰角、車把轉(zhuǎn)角和對(duì)應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)。而廣義坐標(biāo)中其余的6項(xiàng)和對(duì)應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)記為模型的可測干擾 (4-6)利用(3-2)中第4，第5和第8個(gè)方程，表示出預(yù)測模型的非線性連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間形式 (4-7)對(duì)式(4-7)在處進(jìn)行線性化，得到 (4-8)整理得到預(yù)測模型的線性連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間方程 (4-9)對(duì)(4-9)式進(jìn)行離散化，并假定系統(tǒng)的輸入和可測干擾零階保持，采樣時(shí)間記為，得到預(yù)測模型的線性離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，并表示出預(yù)測模型的輸出方程 (4-10) (4-11)其中 (4-12) (4-13) (4-14) (4-15)接下來，進(jìn)行MPC控制器參數(shù)的設(shè)置，如表1.1所示。在MatlabSimulink仿真平臺(tái)上搭建單軌雙輪機(jī)器人空中姿態(tài)MPC控制算法模型如圖1.1所示。MPC控制器參數(shù)表符號(hào)含義取值采樣時(shí)間0.01控制時(shí)域50預(yù)測時(shí)域30預(yù)測模型輸出誤差加權(quán)因子①預(yù)測模型輸入增量加權(quán)因子②后輪最大輸入力矩150車把轉(zhuǎn)向最大輸入力矩100車把最大轉(zhuǎn)角60①車把轉(zhuǎn)角誤差與車把轉(zhuǎn)速誤差的權(quán)重設(shè)置為0，不會(huì)對(duì)MPC控制器優(yōu)化函數(shù)的求解產(chǎn)生影響；②這里是對(duì)預(yù)測模型輸入增量加權(quán)因子，與(4-1)式有所不同。模型預(yù)測控制系統(tǒng)Simulink模型結(jié)構(gòu)示意圖為了便于比較反饋線性化控制和模型預(yù)測控制的控制效果，在本次仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置與圖3.4相同的初始條件，即初始速度大小，初始橫滾角，初始俯仰角，橫滾角和俯仰角的設(shè)定值均為0。預(yù)測模型的線性化工作點(diǎn)取單軌雙輪機(jī)器人前輪后輪具有初始轉(zhuǎn)速的零位空中姿態(tài)工作點(diǎn)，即 (4-16) (4-17) (4-18)在該組初始條件下，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1.2所示。，，空中姿態(tài)MPC控制仿真結(jié)果從圖1.2的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出，空中單軌雙輪機(jī)器人的橫滾角在0.62s時(shí)回0，俯仰角在1.20s時(shí)回0，橫滾角和俯仰角的回0速度明顯快于圖3.4反饋線性化的控制結(jié)果，這一點(diǎn)可以從兩種控制方法的輸出力矩看出，MPC算法在計(jì)算輸出力矩時(shí)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，會(huì)在力矩約束范圍內(nèi)選取最優(yōu)的力矩大小進(jìn)行輸出，當(dāng)橫滾角和俯仰角沒有回0時(shí)，輸出力矩會(huì)盡可能接近所允許的最大力矩，從而使得系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快。在單軌雙輪機(jī)器人的橫滾角和俯仰角回0后，車體偏航角由初始的0變?yōu)?，車把轉(zhuǎn)角由初始的0變?yōu)?，這些變化與反饋線性化控制方法基本相同，從一定程度上說明單軌雙輪機(jī)器人空中姿態(tài)控制過程由于不受到外力和外力矩的作用，滿足角動(dòng)量守恒原理，所以橫滾角與俯仰角回0帶來的車體偏航角和車把轉(zhuǎn)角的變化不會(huì)因?yàn)椴扇〔煌目刂扑惴ǘl(fā)生改變，因此可以利用角動(dòng)量守恒原理確定單軌雙輪機(jī)器人空中姿態(tài)的控制裕度，這一點(diǎn)在1.1.2節(jié)中進(jìn)行具體的物理公式推導(dǎo)來說明。值得注意的是，在圖1.2的仿真實(shí)驗(yàn)中，俯仰角從初始的回0，變化范圍較大，而在此過程中，MPC控制器的預(yù)測模型是在空中單軌雙輪機(jī)器人零位姿態(tài)工作點(diǎn)線性化得到的，模型的預(yù)測輸出會(huì)與實(shí)際系統(tǒng)有較大誤差，從而對(duì)MPC控制器的優(yōu)化求解產(chǎn)生影響，為了使得控制器的預(yù)測模型更加準(zhǔn)確，在1.3節(jié)中，設(shè)計(jì)自適應(yīng)模型預(yù)測控制(AdaptiveMPC)方法，對(duì)單軌雙輪機(jī)器人空中姿態(tài)進(jìn)行控制。1.3自適應(yīng)模型預(yù)測控制算法設(shè)計(jì)與仿真自適應(yīng)模型預(yù)測控制(以下簡稱AMPC)算法與1.2節(jié)設(shè)計(jì)的模型預(yù)測控制算法的不同之處在于AMPC算法會(huì)在每個(gè)采樣時(shí)刻或每隔一段采樣時(shí)間，對(duì)控制器中的預(yù)測模型參數(shù)進(jìn)行更新。針對(duì)本文的研究對(duì)象，更新預(yù)測模型參數(shù)時(shí)，控制器根據(jù)當(dāng)前單軌雙輪機(jī)器人的工作點(diǎn)，更新公式(4-10)中的、、、、、和七個(gè)參數(shù)，AMPC控制器預(yù)測模型的輸出方程形式為 (4-19)對(duì)照公式(4-11)可知，，，，因此需要同時(shí)更新參數(shù)，由此得到新的在該工作點(diǎn)的線性離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，完成控制器預(yù)測模型的更新。AMPC算法通過更新預(yù)測模型的方式，針對(duì)非線性系統(tǒng)的大范圍角度變化，使得控制器的預(yù)測模型輸出與實(shí)際系統(tǒng)輸出誤差較小。在MatlabSimulink仿真平臺(tái)上搭建單軌雙輪機(jī)器人空中姿態(tài)AMPC控制算法模型如圖1.3所示。自適應(yīng)模型預(yù)測控制系統(tǒng)Simulink模型結(jié)構(gòu)示意圖AMPC控制器的其他參數(shù)設(shè)置與MPC控制器相同，如表1.1所示，預(yù)測模型參數(shù)每隔0.2s更新一次。在本次仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置與圖3.4和圖1.2相同的初始條件，即初始速度大小，初始橫滾角，初始俯仰角，橫滾角和俯仰角的設(shè)定值均為0。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1.4所示。，，空中姿態(tài)AMPC控制仿真結(jié)果在圖1.4的仿真結(jié)果中，單軌雙輪機(jī)器人橫滾角在0.97s回0，俯仰角在1.01s回0，從橫滾角和俯仰角都回到零位所需的時(shí)間來看，AMPC算法所需要的時(shí)間小于MPC算法所需要的1.20s和反饋線性化方法的2.04s，系統(tǒng)的響應(yīng)速度更快。而在此過程中，單軌雙輪機(jī)器人的偏航角從0變化到，車把轉(zhuǎn)角從0變化到，這些變化與反饋線性化控制方法和MPC控制方法基本相同，進(jìn)一步說明單軌雙輪機(jī)器人空中姿態(tài)控制過程滿足角動(dòng)量守恒原理，如果系統(tǒng)的末態(tài)處于穩(wěn)定狀態(tài)，那么系統(tǒng)末態(tài)不會(huì)因?yàn)榭刂扑惴ǖ母淖兌l(fā)生變化。1.4控制方法的對(duì)比與分析本小節(jié)主要從響應(yīng)速度、系統(tǒng)控制裕度和算法魯棒性三個(gè)方面對(duì)反饋線性化、模型預(yù)測控制和自適應(yīng)模型預(yù)測控制三個(gè)算法進(jìn)行對(duì)比和分析。1.1.1響應(yīng)速度將圖3.4、圖1.2和圖1.4的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行整理，如表1.2所示。，，三種控制算法仿真結(jié)果對(duì)比反饋線性化MPCAMPC橫滾角回0時(shí)間0.90s0.62s0.97s俯仰角回0時(shí)間2.04s1.20s1.01s被控變量回0總時(shí)間①2.04s1.20s1.01s末態(tài)車體偏航角末態(tài)車把轉(zhuǎn)角①指車體橫滾角與俯仰角都回0所需要的時(shí)間從表1.2對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的匯總可知，三種控制算法中，AMPC算法響應(yīng)速度最快，MPC算法次之，反饋線性化算法最慢。反饋線性化算法響應(yīng)速度較慢的原因在于MPC算法和AMPC算法屬于最優(yōu)控制的一種，它們所求解出的輸出力矩往往有局部最優(yōu)或全局最優(yōu)的性質(zhì)，使得控制變量能夠快速到達(dá)設(shè)定值，響應(yīng)速度較快。而AMPC算法比MPC算法響應(yīng)速度更快的原因在于，AMPC算法會(huì)根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前工作點(diǎn)及時(shí)更新控制算法中的預(yù)測模型參數(shù)，使得模型的預(yù)測輸出更加接近系統(tǒng)的真實(shí)輸出，從而使得目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化求解更為準(zhǔn)確，AMPC控制系統(tǒng)響應(yīng)速度更快。值得注意的是，MPC算法與AMPC算法采用滾動(dòng)優(yōu)化的策略，算法計(jì)算成本要高于反饋線性化控制方法；而AMPC算法又需要更新預(yù)測模型參數(shù)，算法的計(jì)算成本更高。因此，從計(jì)算成本來講，反饋線性化計(jì)算成本較低，MPC算法計(jì)算成本較高，AMPC算法計(jì)算成本在三者中最高。1.1.2控制裕度從表1.2中可以看出，在單軌雙輪機(jī)器人初始條件相同的條件下，無論采用哪種控制算法，系統(tǒng)末態(tài)穩(wěn)定時(shí)，車體的偏航角與車把轉(zhuǎn)角基本相同，前文也多次提到這是因?yàn)榭罩袉诬夒p輪機(jī)器人不受外力和外力矩作用，滿足角動(dòng)量守恒原理，下面從定量的角度對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證。首先，對(duì)系統(tǒng)作出以下假設(shè)：空中單軌雙輪機(jī)器人的初態(tài)和末態(tài)都處于穩(wěn)定狀態(tài)，即車體的橫滾角、俯仰角、偏航角和車把轉(zhuǎn)角不存在轉(zhuǎn)動(dòng)，認(rèn)為系統(tǒng)的角動(dòng)量近似等于單軌雙輪機(jī)器人的前輪角動(dòng)量與后輪角動(dòng)量之和。所以，系統(tǒng)的角動(dòng)量表示為 (4-20)在上述假設(shè)條件下，系統(tǒng)角動(dòng)量是關(guān)于的函數(shù)，針對(duì)表1.2中MPC控制算法的仿真結(jié)果，對(duì)角動(dòng)量守恒進(jìn)行驗(yàn)證，如表1.3所示。從表1.3系統(tǒng)初末態(tài)角動(dòng)量的計(jì)算結(jié)果看，可以認(rèn)為在一定假設(shè)條件下和計(jì)算誤差允許的范圍內(nèi)，空中單軌雙輪機(jī)器人滿足角動(dòng)量守恒原理。這意味著系統(tǒng)的末態(tài)可以通過系統(tǒng)初末態(tài)角動(dòng)量相等的關(guān)系式進(jìn)行求解：系統(tǒng)的初態(tài)給定，可以直接得到系統(tǒng)角動(dòng)量的大??；如果機(jī)器人的橫滾角與俯仰角能夠回0，并處于穩(wěn)定狀態(tài)，可以注意到機(jī)器人前輪沒有受到力矩驅(qū)動(dòng)作用，初末態(tài)機(jī)器人前輪轉(zhuǎn)速大小不會(huì)發(fā)生改變，因此系統(tǒng)末態(tài)角動(dòng)量是關(guān)于的函數(shù)，初末態(tài)角動(dòng)量相等，得到三個(gè)未知變量與三個(gè)方程，可以通過數(shù)值求解的方法對(duì)系統(tǒng)末態(tài)的偏航角、車把轉(zhuǎn)角和后輪轉(zhuǎn)速進(jìn)行求解，如果方程無解，說明設(shè)置的初始俯仰角與橫滾角超過系統(tǒng)的控制裕度；如果方程有解，還需要判斷末態(tài)車把轉(zhuǎn)角是否在約束范圍內(nèi)，如果求解出的末態(tài)車把轉(zhuǎn)角超過車把轉(zhuǎn)角約束，那么說明設(shè)置的初始俯仰角與橫滾角仍然超過系統(tǒng)的控制裕度。綜上所述，公式(4-20)提供的系統(tǒng)角動(dòng)量計(jì)算方法為單軌雙輪機(jī)器人空中姿態(tài)控制裕度的求解提供一種理論計(jì)算方法。角動(dòng)量守恒驗(yàn)證結(jié)果初態(tài)末態(tài)橫滾角0俯仰角0偏航角0車把轉(zhuǎn)角0后輪轉(zhuǎn)速前輪轉(zhuǎn)速系統(tǒng)角動(dòng)量1.1.3算法魯棒性本小節(jié)從外力擾動(dòng)和模型參數(shù)攝動(dòng)兩個(gè)方面對(duì)三種控制算法的魯棒性進(jìn)行對(duì)比分析。外力擾動(dòng)單軌雙輪機(jī)器人在空中運(yùn)動(dòng)過程中，會(huì)受到風(fēng)力作用影響，因此設(shè)計(jì)外力擾動(dòng)，觀察控制算法在有外力擾動(dòng)的情況下的仿真結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)的初始條件仍然設(shè)置初始速度大小，初始橫滾角，初始俯仰角，橫滾角和俯仰角的設(shè)定值均為0。對(duì)系統(tǒng)的橫滾角方向和俯仰角方向施加外力矩：橫滾角方向在0.2s至0.7s之間設(shè)置大小為的方波信號(hào)，在3.0s至3.5s之間設(shè)置大小為的方波信號(hào)；俯仰角方向在0.2s至0.7s之間設(shè)置大小為的方波信號(hào)，在3.0s至3.5s之間設(shè)置大小為的方波信號(hào)，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1.5所示。外力擾動(dòng)情況下三種控制方法仿真結(jié)果對(duì)比圖從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在外力擾動(dòng)情況下，MPC算法和AMPC算法的抗干擾性能更好，而反饋線性化算法中，車體橫滾角和俯仰角在干擾存在的0.2s至0.7s和3.0s至3.5s時(shí)出現(xiàn)較大波動(dòng)，系統(tǒng)需要較長的響應(yīng)時(shí)間來抵消外力干擾帶來的影響。模型參數(shù)攝動(dòng)在測量單軌雙輪機(jī)器人的模型參數(shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)張量、幾何尺寸等測量不準(zhǔn)的情況，而論文的三種控制方法均使用到模型的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行設(shè)計(jì)，所建立的動(dòng)力學(xué)方程準(zhǔn)確性以及模型參數(shù)與實(shí)際物理系統(tǒng)的一致性會(huì)對(duì)控制器的性能產(chǎn)生影響。本小節(jié)針對(duì)質(zhì)量測量出現(xiàn)誤差的情況，觀察模型參數(shù)攝動(dòng)對(duì)于控制算法的影響。在Simscape多剛體仿真模型中，設(shè)置車架的質(zhì)量為原來的1.2倍，前輪的質(zhì)量為原來的1.5倍，車把與后輪的質(zhì)量不變，三種控制算法的參數(shù)仍然按照原有的模型參數(shù)給出。設(shè)置初始速度大小，初始橫滾角，初始俯仰角，橫滾角和俯仰角的設(shè)定值均為0，仿真結(jié)果如圖1.6所示。模型參數(shù)攝動(dòng)情況下三種控制方法仿真結(jié)果對(duì)比圖從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，反饋線性化算法在2.8s左右使得俯仰角和橫滾角回0，系統(tǒng)響應(yīng)速度明顯變慢，主要原因在于單軌雙輪機(jī)器人的質(zhì)量參數(shù)測量不準(zhǔn)，導(dǎo)致沒有完全補(bǔ)償?shù)粝?/p>