2/24專題05函數(shù)與方程及其函數(shù)模型應(yīng)用目錄目錄學(xué)考要求速覽必備知識(shí)梳理高頻考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：求函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)二：求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)考點(diǎn)三：用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間考點(diǎn)四：求方程的根及根的個(gè)數(shù)考點(diǎn)五：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍考點(diǎn)七：分段函數(shù)模型考點(diǎn)八：指數(shù)函數(shù)模型考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)函數(shù)模型考點(diǎn)十：冪函數(shù)模型進(jìn)階分級(jí)訓(xùn)練1.會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)；2.會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；3.能利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間；4.會(huì)求方程的根及根的個(gè)數(shù)；5.掌握零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用；6.能根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍；7.掌握分段函數(shù)模型的應(yīng)用；8.掌握指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用；9.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用；10.掌握冪函數(shù)模型的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)y=fx，把使叫作函數(shù)y=fx的零點(diǎn).函數(shù)y=fx的零點(diǎn)就是方程fx=0方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系：方程fx=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=fx的圖象?函數(shù)知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象是的一條曲線，且有，那么函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b內(nèi)零點(diǎn)，即存在c∈a,b，使得fc=0知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)知識(shí)點(diǎn)4幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒(méi)有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒(méi)有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0知識(shí)點(diǎn)5零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，知識(shí)點(diǎn)6證明零點(diǎn)存在的步驟（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在知識(shí)點(diǎn)7三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同知識(shí)點(diǎn)8常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)知識(shí)點(diǎn)9解函數(shù)模型問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．以上過(guò)程用框圖表示如下：考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：求函數(shù)的零點(diǎn)例題1．（2025高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C． D．例題2．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題3．（2025高二下·陜西·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)是(寫出滿足條件的一個(gè)零點(diǎn)即可).1．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．1 B．－3 C．1和－3 D．和2．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．或 D．和3．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．8 B．7 C．5 D．4考點(diǎn)二：求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例題1．（2025高三上·四川·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題2．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題3．（2025高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．31．（2025高二上·黑龍江·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．44．函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)三：用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間例題1．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四：求方程的根及根的個(gè)數(shù)例題1．（2025高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．31．方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．3考點(diǎn)五：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用例題1．．（2025高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為、、，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）已知、分別是函數(shù)，的零點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的值．1．求證：函數(shù)有零點(diǎn).2．已知(1)求證：在上存在零點(diǎn)；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．已知函數(shù).(1)求函數(shù)恒過(guò)哪一個(gè)定點(diǎn)，寫出該點(diǎn)坐標(biāo)；(2)令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍例題1．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．例題2．（2025高二下·天津南開·學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題3．（2025高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．3．（2025高二上·遼寧·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．4．已知函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為．5．（2025高二下·湖南婁底·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，（，且）．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)七：分段函數(shù)模型例題1．（2025高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）某市居民自來(lái)水水價(jià)實(shí)行階梯水價(jià)制度，用水銷售價(jià)格表如下：階梯戶年用水量水價(jià)（元/立方米）第一階梯0-180（含）5第二階梯181~260（含）7第三階梯260以上9根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若某戶居民自來(lái)水年用水量為，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為770元B．若某戶居民自來(lái)水年用水量為，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為950元C．若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為700元，則該戶自來(lái)水年用水量在至之間D．若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為970元，則該戶自來(lái)水年用水量在至之間1．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)的部分3元超過(guò)但不超過(guò)的部分6元超過(guò)的部分9元已知某用戶本月的用水量為，則該用戶本月應(yīng)交納的水費(fèi)（單位：元）是（

）A．45 B．54 C．72 D．902．茶葉是中國(guó)文化元素的重要象征之一，飲茶習(xí)俗在中國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，已知某種茶葉的茶水溫度（單位：℃）和泡茶時(shí)間（單位：）滿足關(guān)系式若喝茶的最佳口感水溫大約是，則需要等待的時(shí)間為（

）A．1.5min B．2min C．3min D．4min3．某旅游旺地出租車的費(fèi)用按下列規(guī)則制定：①行程在3以內(nèi)的（含3），車費(fèi)10元；②行程在3以上且不超過(guò)10的，前3車費(fèi)10元，以后每增加1車費(fèi)增加2元（不足1的按1計(jì)算）；③行程超過(guò)10，則超過(guò)的部分每公里車費(fèi)3元（不足1的按1計(jì)算）.小明某天乘坐該地的出租車，共花費(fèi)39元，那么他的行程大約為（

）A．13 B．14 C．15 D．164．為了節(jié)約能源，某城市對(duì)居民生活用燃?xì)鈱?shí)行“階梯定價(jià)”，計(jì)費(fèi)方式如下表：每戶每年燃?xì)庥昧咳細(xì)鈨r(jià)格不超過(guò)3.2元超過(guò)但不超過(guò)的部分3.6元超過(guò)的部分4.5元若某戶居民一年的燃?xì)庥昧繛?，則此戶居民這一年應(yīng)繳納的燃?xì)赓M(fèi)為（

）A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元考點(diǎn)八：指數(shù)函數(shù)模型例題1．（2025高二下·湖南株洲·學(xué)業(yè)考試）某市政府為平抑房?jī)r(jià)，2021年計(jì)劃新建經(jīng)濟(jì)適用房1000萬(wàn)平方米，解決中低收入家庭的住房問(wèn)題.設(shè)年平均增長(zhǎng)率為%，設(shè)2024年新建經(jīng)濟(jì)住房面積為萬(wàn)平方米，則關(guān)于的函數(shù)是（

）A． B．C． D．1．某生物科研小組培育了甲、乙兩種固氮菌，其數(shù)量（單位：個(gè)）分別記為和.設(shè)培育時(shí)間為（單位：天），據(jù)統(tǒng)計(jì)，兩者數(shù)量滿足以下關(guān)系：.若要求甲種菌數(shù)量首次超過(guò)乙種菌，則大約需要（

）A．3天 B．4天 C．5天 D．6天2．某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每過(guò)濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的2%以下，則至少需要過(guò)濾（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次3．已知某企業(yè)生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，若第一年增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該企業(yè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為（

）A． B． C． D．4．了解某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防該細(xì)菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進(jìn)行研究，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團(tuán)隊(duì)提出如下假設(shè)：①當(dāng)時(shí)，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來(lái)越快．則下列選項(xiàng)中，符合團(tuán)隊(duì)假設(shè)的模型是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)函數(shù)模型例題1．（2025高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）人們用分貝（dB）來(lái)劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足．一般兩人正常交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為，燃放煙花爆竹時(shí)聲音的等級(jí)約為，若燃放煙花爆竹時(shí)聲音強(qiáng)度為，兩人正常交談時(shí)聲音強(qiáng)度為，則．1．燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過(guò)冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數(shù)，其中表示燕子的耗氧量．當(dāng)一只成年燕子的飛行速度時(shí)，它的耗氧量為（

）A．30 B．60 C．40 D．802．在環(huán)境檢測(cè)中人們常用聲強(qiáng)級(jí)表示聲音的強(qiáng)弱，其中代表聲強(qiáng)（單位：），為基礎(chǔ)聲強(qiáng)，其值約為，某環(huán)境檢測(cè)點(diǎn)檢測(cè)到某一時(shí)段的聲強(qiáng)約為，則這一時(shí)段的聲強(qiáng)級(jí)約為（

）A． B． C． D．3．地震震級(jí)是對(duì)地震本身能量大小的相對(duì)量度，用M表示，M可通過(guò)地震面波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最大值進(jìn)行測(cè)定，計(jì)算公式如下：（其中為震中距）．若某地發(fā)生6.0級(jí)地震，測(cè)得，則可以判斷（

）．參考數(shù)據(jù)：，．A．震中距在2000～2020之間 B．震中距在2040～2060之間C．震中距在2070～2090之間 D．震中距在1040～1060之間4．假設(shè)在不考慮空氣阻力的條件下，某型號(hào)火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：）的函數(shù)關(guān)系是（k為大于0的常數(shù)）．已知當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍時(shí)，火箭的最大速度，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時(shí)，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十：冪函數(shù)模型例題1．（2025高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）某市持續(xù)擴(kuò)大綠色生態(tài)空間，打造宜居城市，該市人均公園綠地面積從2020年的增長(zhǎng)到2023年的.設(shè)年期間該市人均公園綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為.則（

）A． B．C． D．1．為響應(yīng)國(guó)家退耕還林的號(hào)召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了，如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為m，則2029年的耕地面積為（

）A． B．C． D．2．異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)則的零點(diǎn)之和為（

）A．1 B．2 C．-1 D．-22．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為．則里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量的（

）A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍4．函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題6．已知函數(shù)，，則（

）A．為減函數(shù) B．為增函數(shù)C．的零點(diǎn)為 D．只有一個(gè)零點(diǎn)7．某商場(chǎng)在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤(rùn)如下表所示：時(shí)間（天）1234利潤(rùn)（萬(wàn)元）23.988.0115.99則下列函數(shù)中不符合銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型的是（

）A． B． C． D．三、填空題8．已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則9．已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間上，則.10．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為四、解答題11．已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).一、單選題1．方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．33．若函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（

）A． B． C． D．4．DeepSeek以其強(qiáng)大的算法火爆全球，吸引了大量用戶的關(guān)注與討論，成為熱門話題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)熱門話題的關(guān)注度達(dá)到峰值后，會(huì)出現(xiàn)下降趨勢(shì)．假設(shè)一個(gè)熱門話題的關(guān)注度（）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系式為，其中為關(guān)注度的峰值，a為常數(shù)，若經(jīng)過(guò)半年關(guān)注度下降到峰值的，則關(guān)注度下降到峰值的，至少需要的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．23個(gè)月 B．24個(gè)月 C．25個(gè)月 D．26個(gè)月二、填空題5．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則．6．已知二次函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．三、解答題7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式及零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.8．我們知道，聲音由物體的振動(dòng)產(chǎn)生，以波的形式在一定的介質(zhì)（如固體、液體、氣體）中進(jìn)行傳播．在物理學(xué)中，聲波在單位時(shí)間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強(qiáng)．但在實(shí)際生活中，常用聲音的聲強(qiáng)級(jí)來(lái)度量．為了描述聲強(qiáng)級(jí)與聲強(qiáng)之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過(guò)多次測(cè)定，得到如下數(shù)據(jù)：組別1234567聲強(qiáng)①聲強(qiáng)級(jí)1013.0114.7716.022040②現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．(1)試根據(jù)前4組的數(shù)據(jù)選出你認(rèn)為符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡(jiǎn)單敘述理由，并根據(jù)第1組和第5組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求解析式，結(jié)合表中已知數(shù)據(jù)，求出表格中①，②數(shù)據(jù)的值；(3)已知發(fā)電機(jī)的噪聲聲強(qiáng)級(jí)一般在，其聲強(qiáng)為；電鋸的噪聲聲強(qiáng)級(jí)一般在，其聲強(qiáng)為；飛機(jī)起飛時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的噪聲聲強(qiáng)級(jí)一般在，其聲強(qiáng)為，試判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

專題05函數(shù)與方程及其函數(shù)模型應(yīng)用目錄目錄學(xué)考要求速覽必備知識(shí)梳理高頻考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：求函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)二：求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)考點(diǎn)三：用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間考點(diǎn)四：求方程的根及根的個(gè)數(shù)考點(diǎn)五：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍考點(diǎn)七：分段函數(shù)模型考點(diǎn)八：指數(shù)函數(shù)模型考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)函數(shù)模型考點(diǎn)十：冪函數(shù)模型進(jìn)階分級(jí)訓(xùn)練1.會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)；2.會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；3.能利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間；4.會(huì)求方程的根及根的個(gè)數(shù)；5.掌握零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用；6.能根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍；7.掌握分段函數(shù)模型的應(yīng)用；8.掌握指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用；9.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用；10.掌握冪函數(shù)模型的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)y=fx，把使fx=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=fx的零點(diǎn).函數(shù)y=fx的零點(diǎn)就是方程f方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系：方程fx=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=fx的圖象與x軸有公共點(diǎn)?函數(shù)y=fx知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有fa?fb<0，那么函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈a,b知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)知識(shí)點(diǎn)4幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒(méi)有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒(méi)有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0知識(shí)點(diǎn)5零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，知識(shí)點(diǎn)6證明零點(diǎn)存在的步驟（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在知識(shí)點(diǎn)7三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同知識(shí)點(diǎn)8常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)知識(shí)點(diǎn)9解函數(shù)模型問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．以上過(guò)程用框圖表示如下：考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：求函數(shù)的零點(diǎn)例題1．（2025高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先研究函數(shù)的單調(diào)性，再判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最后分析的解即可求出．【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)為．故選：B．例題2．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】令，結(jié)合對(duì)數(shù)解方程即可得結(jié)果.【詳解】令，即，可得，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)是0.故選：A.例題3．（2025高二下·陜西·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)是(寫出滿足條件的一個(gè)零點(diǎn)即可).【答案】（或填，答案不唯一）【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)，寫出一個(gè)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得.故答案為：（或填，答案不唯一）1．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．1 B．－3 C．1和－3 D．和【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義令計(jì)算求解.【詳解】令，，即，解得或．故選：C.2．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．或 D．和【答案】D【分析】直接解方程即得函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】令，即，解得,所以函數(shù)的零點(diǎn)為和.故選：D3．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．8 B．7 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的零點(diǎn)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)和為7.故選：B考點(diǎn)二：求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例題1．（2025高三上·四川·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，令，解得，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).故選：B.例題2．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，令，求得方程的解，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的概念，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)，令，可得，解得或，所以函數(shù)在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：C.例題3．（2025高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】令，解得，當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的值，找出符合的值即可得解.【詳解】令，解得.當(dāng)時(shí)，，符合條件；當(dāng)時(shí)，，符合條件；當(dāng)時(shí)，，符合條件；當(dāng)時(shí)，，不符合條件；當(dāng)時(shí)，，不符合條件.綜上，在區(qū)間上，有三個(gè)解，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：D1．（2025高二上·黑龍江·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】1【分析】利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增且連續(xù)，且，，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故答案為：12．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】將的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為和的圖象的交點(diǎn)，結(jié)合圖象確定正確選項(xiàng).【詳解】由，得，在同一坐標(biāo)系中，作出和的圖象，觀察圖象知，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C

3．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)的概念，分，，三種情況討論求解即可.【詳解】，即0不是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；而，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)解當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)解；綜上，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選：A4．函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】用輔助角公式化為，且，再令求解即得.【詳解】.，.令得，∴或或.所以或或故選：C.考點(diǎn)三：用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間例題1．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判定定理得答案.【詳解】因?yàn)榫鶠樵龊瘮?shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是.故選：D.1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理判斷即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，而，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是.故選：C2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理即可判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，又，所以，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，其所在的區(qū)間是.故選：A.3．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷.【詳解】的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹途谏蠁握{(diào)遞減，所以也在單調(diào)遞減．又，，，則，故零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)．故選：B4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算函數(shù)值，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可判斷.【詳解】因，，，，，則由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為故選：B考點(diǎn)四：求方程的根及根的個(gè)數(shù)例題1．（2025高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出直線與該圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.【詳解】由給定的圖象知，直線與函數(shù)的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程的解的個(gè)數(shù)為1.故選：B1．方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】作出與的圖象,觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出與的圖象，如圖：由圖象可知，函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)解．故選：B2．方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】方程的實(shí)根個(gè)數(shù)等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別畫出函數(shù)圖象即可判斷.【詳解】，令，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).畫出函數(shù)圖象，如圖可知兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，即方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：B.3．已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化問(wèn)題為函數(shù)和函數(shù)的圖象在上的交點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而結(jié)合圖象求解即可.【詳解】原方程即為，變形得，要求方程根的個(gè)數(shù)，即求函數(shù)和函數(shù)的圖象在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，

由圖可知，兩函數(shù)圖象在上共有2個(gè)交點(diǎn)，故原方程共有2個(gè)根．故選：C.考點(diǎn)五：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用例題1．．（2025高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為、、，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)存在定理求出、的方程，直接解出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在定理可知，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理可得，由題意知，解得，因此，.故選：B.例題2．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）已知、分別是函數(shù)，的零點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證得結(jié)論成立；（2）函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用函數(shù)、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)槭呛瘮?shù)唯一的零點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，即，由零點(diǎn)存在定理可知.（2）由題意可知，、分別是函數(shù)、的零點(diǎn)，如圖，函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，又由函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而直線也關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)和也關(guān)于直線對(duì)稱，則有，則有．1．求證：函數(shù)有零點(diǎn).【答案】證明見解析【分析】利用零點(diǎn)存在定理直接證明.【詳解】因?yàn)?，，且函?shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷的，所以函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，從而函數(shù)有零點(diǎn).2．已知(1)求證：在上存在零點(diǎn)；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性可知對(duì)任意的，不等式恒成立，參變分離，結(jié)合基本不等式計(jì)算可得，需注意.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，又，，所以，所以在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在零點(diǎn)；（2）由（1）可知在上單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)任意的，不等式恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．已知函數(shù).(1)求函數(shù)恒過(guò)哪一個(gè)定點(diǎn)，寫出該點(diǎn)坐標(biāo)；(2)令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).【答案】(1)恒過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得函數(shù)的解析式，再由對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)的解析式，再由零點(diǎn)存在定理判斷即可.【詳解】（1）由題意知函數(shù)，故，令，即函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）證明：由題意，當(dāng)時(shí)，，即，則，又，故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍例題1．（2025高二下·湖南郴州·學(xué)業(yè)考試）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】畫出函數(shù)的圖像，找出，得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】如圖，函數(shù)的值域是時(shí)，，方程只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)方程有兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．例題2．（2025高二下·天津南開·學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】令有，即與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令有，所以與圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖像，由圖可有或，即或，所以，故答案為：.例題3．（2025高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)，分與進(jìn)行討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及其值域可得在上必有一零點(diǎn)，則可得有兩不同非正根，結(jié)合根的判別式與韋達(dá)定理計(jì)算即可得解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，故必有唯一解，故?dāng)時(shí)，有兩不同根，即有兩不同非正根，即有，解得，由，則，解得，故.故選：D.1．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)存在性定理列式求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，得，解得，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是.故選：D2．若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】/【分析】畫出函數(shù)與的圖象，進(jìn)而確定正確答案．【詳解】畫出與的圖象如下圖，依題意，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由圖可知，故答案為：．3．（2025高二上·遼寧·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得在上有兩個(gè)根，由二次函數(shù)的根的分布可求得的取值范圍.【詳解】由函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，可得在上有兩個(gè)根，令則，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.4．已知函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為．【答案】【分析】由題意可得在上有2個(gè)零點(diǎn)，可得所滿足的條件，求解即可.【詳解】令，得，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)，則在上有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以a的取值范圍為．故答案為：.5．（2025高二下·湖南婁底·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，（，且）．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)偶函數(shù)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于0列出不等式組，解出即可；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有兩解，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題意得，由得，所以的定義域?yàn)椋?）因?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是偶函數(shù)．（3）當(dāng)時(shí)，．令，則．令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，易知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．要使有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，那么，則，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．考點(diǎn)七：分段函數(shù)模型例題1．（2025高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）某市居民自來(lái)水水價(jià)實(shí)行階梯水價(jià)制度，用水銷售價(jià)格表如下：階梯戶年用水量水價(jià)（元/立方米）第一階梯0-180（含）5第二階梯181~260（含）7第三階梯260以上9根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若某戶居民自來(lái)水年用水量為，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為770元B．若某戶居民自來(lái)水年用水量為，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為950元C．若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為700元，則該戶自來(lái)水年用水量在至之間D．若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為970元，則該戶自來(lái)水年用水量在至之間【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的概念即可逐一判斷.【詳解】若某戶居民自來(lái)水年用水量為，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為元，故A錯(cuò)誤；若某戶居民自來(lái)水年用水量為，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為元，故B錯(cuò)誤；對(duì)于第一階梯，用戶繳費(fèi)的最大值為元，而第二階梯用戶繳費(fèi)必然大于元，所以若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為元，則他來(lái)自第一階梯，故C錯(cuò)誤.由C可知：元費(fèi)用必在第二階梯或以上，設(shè)用水量為，則，解得，因?yàn)椋蔇正確故選：D1．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)的部分3元超過(guò)但不超過(guò)的部分6元超過(guò)的部分9元已知某用戶本月的用水量為，則該用戶本月應(yīng)交納的水費(fèi)（單位：元）是（

）A．45 B．54 C．72 D．90【答案】B【分析】根據(jù)階梯水價(jià)的計(jì)算方法求解.【詳解】某用戶本月的用水量為，該用戶本月應(yīng)交納的水費(fèi)為元.故選：B.2．茶葉是中國(guó)文化元素的重要象征之一，飲茶習(xí)俗在中國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，已知某種茶葉的茶水溫度（單位：℃）和泡茶時(shí)間（單位：）滿足關(guān)系式若喝茶的最佳口感水溫大約是，則需要等待的時(shí)間為（

）A．1.5min B．2min C．3min D．4min【答案】D【分析】分別令和，求出后檢驗(yàn)是否符合范圍.【詳解】令，解得；令，解得，不符合題意，所以需要等待的時(shí)間為4min．故選：D3．某旅游旺地出租車的費(fèi)用按下列規(guī)則制定：①行程在3以內(nèi)的（含3），車費(fèi)10元；②行程在3以上且不超過(guò)10的，前3車費(fèi)10元，以后每增加1車費(fèi)增加2元（不足1的按1計(jì)算）；③行程超過(guò)10，則超過(guò)的部分每公里車費(fèi)3元（不足1的按1計(jì)算）.小明某天乘坐該地的出租車，共花費(fèi)39元，那么他的行程大約為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】首先設(shè)行程為km，車費(fèi)為元，得到分段函數(shù)的解析式，再根據(jù)共花費(fèi)39元求解即可.【詳解】設(shè)行程為km，車費(fèi)為元，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.小明某天乘坐該地的出租車，共花費(fèi)39元，所以，解得km.故選：C4．為了節(jié)約能源，某城市對(duì)居民生活用燃?xì)鈱?shí)行“階梯定價(jià)”，計(jì)費(fèi)方式如下表：每戶每年燃?xì)庥昧咳細(xì)鈨r(jià)格不超過(guò)3.2元超過(guò)但不超過(guò)的部分3.6元超過(guò)的部分4.5元若某戶居民一年的燃?xì)庥昧繛?，則此戶居民這一年應(yīng)繳納的燃?xì)赓M(fèi)為（

）A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元【答案】B【分析】直接分段計(jì)算，然后相加即可得解.【詳解】由題意此戶居民這一年應(yīng)繳納的燃?xì)赓M(fèi)為元.故選：B.考點(diǎn)八：指數(shù)函數(shù)模型例題1．（2025高二下·湖南株洲·學(xué)業(yè)考試）某市政府為平抑房?jī)r(jià)，2021年計(jì)劃新建經(jīng)濟(jì)適用房1000萬(wàn)平方米，解決中低收入家庭的住房問(wèn)題.設(shè)年平均增長(zhǎng)率為%，設(shè)2024年新建經(jīng)濟(jì)住房面積為萬(wàn)平方米，則關(guān)于的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均增長(zhǎng)率的定義寫出方程即可得到答案．【詳解】設(shè)2024年新建經(jīng)濟(jì)住房面積為萬(wàn)平方米，根據(jù)平均增長(zhǎng)率的定義，則關(guān)于的函數(shù)是.故選：B.1．某生物科研小組培育了甲、乙兩種固氮菌，其數(shù)量（單位：個(gè)）分別記為和.設(shè)培育時(shí)間為（單位：天），據(jù)統(tǒng)計(jì)，兩者數(shù)量滿足以下關(guān)系：.若要求甲種菌數(shù)量首次超過(guò)乙種菌，則大約需要（

）A．3天 B．4天 C．5天 D．6天【答案】B【分析】列出不等式，驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由題意，，整理得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以.故選：B2．某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每過(guò)濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的2%以下，則至少需要過(guò)濾（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】列不等式后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】每過(guò)濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，設(shè)要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的2%以下至少需要過(guò)濾次，則.又，所以.故選：C3．已知某企業(yè)生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，若第一年增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該企業(yè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為，可得，解出即可．【詳解】設(shè)企業(yè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為，可得，解得.故選：D．4．了解某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防該細(xì)菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進(jìn)行研究，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團(tuán)隊(duì)提出如下假設(shè)：①當(dāng)時(shí)，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來(lái)越快．則下列選項(xiàng)中，符合團(tuán)隊(duì)假設(shè)的模型是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過(guò)分析不同函數(shù)的增減性快慢，即可進(jìn)行得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于①，，即函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，A、B、C、D均符合；對(duì)于②隨的增加而增加，且增加的速度越來(lái)越快，即函數(shù)為增函數(shù)，且增加的速度越來(lái)越快，A符合，B、C、D均不符合.故選：A.考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)函數(shù)模型例題1．（2025高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）人們用分貝（dB）來(lái)劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足．一般兩人正常交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為，燃放煙花爆竹時(shí)聲音的等級(jí)約為，若燃放煙花爆竹時(shí)聲音強(qiáng)度為，兩人正常交談時(shí)聲音強(qiáng)度為，則．【答案】9【分析】根據(jù)給定函數(shù)模型，代入列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，則，解得，，則，解得，所以.故答案為：91．燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過(guò)冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數(shù)，其中表示燕子的耗氧量．當(dāng)一只成年燕子的飛行速度時(shí)，它的耗氧量為（

）A．30 B．60 C．40 D．80【答案】C【分析】根據(jù)題意將代入可求出即可.【詳解】因?yàn)椋瑢⒋?，則，則，所以，所以，故選：C2．在環(huán)境檢測(cè)中人們常用聲強(qiáng)級(jí)表示聲音的強(qiáng)弱，其中代表聲強(qiáng)（單位：），為基礎(chǔ)聲強(qiáng)，其值約為，某環(huán)境檢測(cè)點(diǎn)檢測(cè)到某一時(shí)段的聲強(qiáng)約為，則這一時(shí)段的聲強(qiáng)級(jí)約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將的值代入關(guān)系式即可化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，.故選：C.3．地震震級(jí)是對(duì)地震本身能量大小的相對(duì)量度，用M表示，M可通過(guò)地震面波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最大值進(jìn)行測(cè)定，計(jì)算公式如下：（其中為震中距）．若某地發(fā)生6.0級(jí)地震，測(cè)得，則可以判斷（

）．參考數(shù)據(jù)：，．A．震中距在2000～2020之間 B．震中距在2040～2060之間C．震中距在2070～2090之間 D．震中距在1040～1060之間【答案】B【分析】代入求值，得到，進(jìn)而求出答案.【詳解】依題意，，則，則，故．故選：B4．假設(shè)在不考慮空氣阻力的條件下，某型號(hào)火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：）的函數(shù)關(guān)系是（k為大于0的常數(shù)）．已知當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍時(shí)，火箭的最大速度，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時(shí)，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求出，再代入當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時(shí)的表達(dá)式可得答案.，【詳解】當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍，火箭的最大速度時(shí)，則，得，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時(shí)，火箭的最大速度.故選：D.考點(diǎn)十：冪函數(shù)模型例題1．（2025高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）某市持續(xù)擴(kuò)大綠色生態(tài)空間，打造宜居城市，該市人均公園綠地面積從2020年的增長(zhǎng)到2023年的.設(shè)年期間該市人均公園綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為.則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)年平均增長(zhǎng)率的意義列方程即可.【詳解】根據(jù)題意列方程：.故選：C1．為響應(yīng)國(guó)家退耕還林的號(hào)召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了，如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為m，則2029年的耕地面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)某地的耕地面積每年減少,依題列出方程，再進(jìn)行整體代入，即得2029年的耕地面積.【詳解】設(shè)某地的耕地面積每年減少，因在最近50年內(nèi)減少了，則有，故，由題意，2029年的耕地面積為，即.故選：D.2．異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】初始狀態(tài)設(shè)為，變化后為，根據(jù)，的關(guān)系代入后可求解．【詳解】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)則的零點(diǎn)之和為（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】A【分析】分和直接解方程即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得.所以的零點(diǎn)之和為.故選：A2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】函數(shù)在R上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，則，由零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C3．目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為．則里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量的（

）A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】分別設(shè)里氏8.0級(jí)地震和里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量為和，通過(guò)給定的式子求出和，再求比值可得答案.【詳解】設(shè)里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量為，里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量為，則，；，．故選：C4．函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理列不等式求解即得.【詳解】函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D.5．已知函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：轉(zhuǎn)化成一元二次方程在上有兩個(gè)不同的解的問(wèn)題；法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題.【詳解】法一：因?yàn)椋矣袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)不同的解，所以,解得.法二：由得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).函數(shù)，的圖像如圖，由圖可知.故選：D.二、多選題6．已知函數(shù)，，則（

）A．為減函數(shù) B．為增函數(shù)C．的零點(diǎn)為 D．只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷AB；求出的零點(diǎn)判斷C；根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以是增函?shù)，則為增函數(shù)，A錯(cuò)；因?yàn)椋允窃龊瘮?shù)，又因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，則為增函數(shù)，B對(duì)；由，即的零點(diǎn)為，C對(duì)；因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，D對(duì).故選：BCD.7．某商場(chǎng)在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤(rùn)如下表所示：時(shí)間（天）1234利潤(rùn)（萬(wàn)元）23.988.0115.99則下列函數(shù)中不符合銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】把代入每一個(gè)選項(xiàng)，逐一與題目中的數(shù)據(jù)對(duì)比，可得答案.【詳解】對(duì)于A，把代入，可得下表：對(duì)于B，把代入，可得下表：對(duì)于C，把代入，可得下表：對(duì)于D，把代入，可得下表：顯然只有的值最接近表格中的對(duì)應(yīng)的值，故A，C，D符合題意．故選：ACD.三、填空題8．已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則【答案】【分析】由二次函數(shù)根與系數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，所以，，解得，，所以．故答案為：.9．已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間上，則.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間進(jìn)而求解.【詳解】函數(shù)的是減函數(shù)，，所以，所以函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間上，所以.故答案為：.10．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為【答案】2【分析】令，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來(lái)判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】令，得，即，作出與的圖象，可知它們只有2個(gè)交點(diǎn).故答案為：2.四、解答題11．已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)3或-2．(2)．【分析】（1）根據(jù)得到，求出答案；（2）轉(zhuǎn)化為有解，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出答案.【詳解】（1）若，則，解得或．所以實(shí)數(shù)的值為3或-2．（2）若有零點(diǎn)，則有解，由，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)有恒成立，即可求參數(shù)值；（2）設(shè)，問(wèn)題化為分析解的個(gè)數(shù)，分類討論判斷原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）依題意，得，即即恒成立，得.（2）令，得設(shè)，則由函數(shù)在上單調(diào)遞增，