2024-2025學(xué)年河北省保定市高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷及答案解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(x,4)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.8B.2C.2D.82.已知角\(\alpha\)的終邊經(jīng)過點\(P(3,4)\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)3.若\(\tan\alpha=3\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值為（）A.2B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)4.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)5.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(\sinA=\frac{1}{3}\)，則\(\sinB\)的值為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{5}{9}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.16.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{2}=3\)，\(a_{6}=11\)，則\(S_{7}\)等于（）A.13B.35C.49D.637.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的最小值為（）A.2B.4C.6D.88.已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}2x3\)，若\(x\in[0,3]\)，則函數(shù)\(f(x)\)的值域為（）A.\([4,0]\)B.\([4,3]\)C.\([3,0]\)D.\([0,3]\)二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線，\(\vec\)與\(\vec{c}\)共線，則\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)共線B.若\(\vec{a}\)與\(\vec\)不共線，則\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{a}+\vec\)可以作為空間向量的一組基底C.若\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，且\(\vec{a}\neq\vec{0}\)，則\(\vec=\vec{c}\)D.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的長度相等，但方向不一定相同10.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,\vert\varphi\vert\lt\frac{\pi}{2})\)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）（此處應(yīng)配有函數(shù)圖象，但由于文本形式無法呈現(xiàn)，假設(shè)圖象能得出\(A=2\)，\(\frac{T}{4}=\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\)）A.函數(shù)的解析式為\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)B.函數(shù)圖象的對稱軸方程為\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\inZ)\)C.函數(shù)圖象的對稱中心為\((\frac{k\pi}{2}\frac{\pi}{12},0)(k\inZ)\)D.函數(shù)在區(qū)間\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)上單調(diào)遞增11.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的公比為\(q\)，前\(n\)項和為\(S_{n}\)，則下列說法正確的是（）A.若\(q\gt1\)，則\(\{a_{n}\}\)單調(diào)遞增B.若\(S_{3}=3\)，\(S_{6}=9\)，則\(S_{9}=21\)C.若\(a_{1}\gt0\)，\(q\gt0\)，\(b_{n}=\lna_{n}\)，則\(\{b_{n}\}\)是等差數(shù)列D.若\(a_{1}\gt0\)，\(q\gt0\)，且\(a_{1}+a_{2}\gta_{2}+a_{3}\)，則\(a_{1}+a_{3}\gt2a_{2}\)12.已知關(guān)于\(x\)的不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集為\(\{x\mid1\ltx\lt2\}\)，則下列說法正確的是（）A.\(a\lt0\)B.\(b\gt0\)C.\(c\gt0\)D.\(ab+c\gt0\)三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,2)\)，且\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，則\(m=\)______。14.已知\(\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，則\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})\)的值為______。15.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=4\)，\(a_{7}=16\)，則\(a_{5}=\)______。16.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+2y=2\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為______。四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,2)\)。（1）求\(\vert\vec{a}+\vec\vert\)的值；（2）當(dāng)\(k\)為何值時，\(k\vec{a}+\vec\)與\(\vec{a}3\vec\)垂直？18.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)上的最大值和最小值。19.（12分）在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(a=2\)，\(b=3\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)。（1）求\(c\)的值；（2）求\(\sinA\)的值。20.（12分）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，\(a_{3}=5\)，\(S_{10}=100\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項公式；（2）設(shè)\(b_{n}=2^{a_{n}}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_{n}\}\)的前\(n\)項和\(T_{n}\)。21.（12分）某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為\(4800m^{3}\)，深為\(3m\)，如果池底每\(1m^{2}\)的造價為\(150\)元，池壁每\(1m^{2}\)的造價為\(120\)元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？22.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}2ax+a^{2}1\)，\(g(x)=e^{x}x1\)。（1）若\(x\in[0,2]\)時，\(f(x)\leq0\)恒成立，求實數(shù)\(a\)的取值范圍；（2）當(dāng)\(a=1\)時，證明：\(f(x)\geqg(x)\)。答案解析一、選擇題1.因為\(\vec{a}\parallel\vec\)，根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，\(\vec{a}\parallel\vec\)則\(x_1y_2x_2y_1=0\)，所以\(1\times(4)2x=0\)，解得\(x=2\)，答案選B。2.已知角\(\alpha\)的終邊經(jīng)過點\(P(3,4)\)，根據(jù)三角函數(shù)定義\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，其中\(zhòng)(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+4^{2}}=5\)，\(y=4\)，所以\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，答案選B。3.\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)，因為\(\tan\alpha=3\)，所以\(\frac{3+1}{31}=2\)，答案選A。4.對于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，在\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)中\(zhòng)(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，答案選B。5.根據(jù)正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，則\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{5\times\frac{1}{3}}{3}=\frac{5}{9}\)，答案選B。6.因為\(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列，所以\(a_{1}+a_{7}=a_{2}+a_{6}=3+11=14\)，\(S_{7}=\frac{7(a_{1}+a_{7})}{2}=\frac{7\times14}{2}=49\)，答案選C。7.\(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}=2+\frac{a}+\frac{a}\geq2+2\sqrt{\frac{a}\times\frac{a}}=4\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{a}=\frac{a}\)即\(a=b=\frac{1}{2}\)時取等號，答案選B。8.\(f(x)=x^{2}2x3=(x1)^{2}4\)，\(x\in[0,3]\)，當(dāng)\(x=1\)時，\(f(x)\)取得最小值\(f(1)=4\)；當(dāng)\(x=3\)時，\(f(3)=3^{2}2\times33=0\)，所以函數(shù)\(f(x)\)的值域為\([4,0]\)，答案選A。二、選擇題9.A選項，若\(\vec=\vec{0}\)，\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)不一定共線，A錯誤；B選項，若\(\vec{a}\)與\(\vec\)不共線，則\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{a}+\vec\)不共面，可以作為空間向量的一組基底，B正確；C選項，\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，則\(\vec{a}\cdot(\vec\vec{c})=0\)，當(dāng)\(\vec{a}\neq\vec{0}\)時，\(\vec\vec{c}\)可能與\(\vec{a}\)垂直，不一定有\(zhòng)(\vec=\vec{c}\)，C錯誤；D選項，\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的長度相等，但方向不一定相同，D正確。答案選BD。10.由\(\frac{T}{4}=\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\)，得\(T=\pi\)，\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\)，\(A=2\)，把\((\frac{\pi}{6},2)\)代入\(y=2\sin(2x+\varphi)\)得\(2\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=2\)，\(\vert\varphi\vert\lt\frac{\pi}{2}\)，解得\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，所以\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，A正確；對稱軸方程\(2x+\frac{\pi}{6}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，即\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\inZ)\)，B正確；對稱中心\(2x+\frac{\pi}{6}=k\pi(k\inZ)\)，\(x=\frac{k\pi}{2}\frac{\pi}{12}(k\inZ)\)，對稱中心為\((\frac{k\pi}{2}\frac{\pi}{12},0)(k\inZ)\)，C正確；令\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，得\(k\pi\frac{\pi}{3}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{6}(k\inZ)\)，所以在\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增，在\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)上單調(diào)遞減，D錯誤。答案選ABC。11.A選項，當(dāng)\(a_{1}\lt0\)，\(q\gt1\)時，\(\{a_{n}\}\)單調(diào)遞減，A錯誤；B選項，由等比數(shù)列性質(zhì)\(S_{3}\)，\(S_{6}S_{3}\)，\(S_{9}S_{6}\)成等比數(shù)列，\(S_{3}=3\)，\(S_{6}S_{3}=93=6\)，則\((S_{6}S_{3})^{2}=S_{3}(S_{9}S_{6})\)，\(36=3(S_{9}9)\)，解得\(S_{9}=21\)，B正確；C選項，\(b_{n}=\lna_{n}\)，\(b_{n+1}b_{n}=\lna_{n+1}\lna_{n}=\ln\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lnq\)為常數(shù)，所以\(\{b_{n}\}\)是等差數(shù)列，C正確；D選項，\(a_{1}+a_{2}\gta_{2}+a_{3}\)，即\(a_{1}\gta_{3}\)，\(a_{1}+a_{3}2a_{2}=a_{1}+a_{1}q^{2}2a_{1}q=a_{1}(1q)^{2}\gt0\)，D正確。答案選BCD。12.因為不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集為\(\{x\mid1\ltx\lt2\}\)，所以\(a\lt0\)，且\(1\)，\(2\)是方程\(ax^{2}+bx+c=0\)的兩根，由韋達(dá)定理\(\frac{a}=1+2=1\gt0\)，則\(b\gt0\)，\(\frac{c}{a}=1\times2=2\lt0\)，則\(c\gt0\)，當(dāng)\(x=1\)時，\(ab+c=0\)，答案選ABC。三、填空題13.\(\vec{a}+\vec=(4,m2)\)，因為\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，所以\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec=0\)，即\(4\times3+(m2)\times(2)=0\)，\(122m+4=0\)，解得\(m=8\)。14.\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)=\cos[\pi(\frac{\pi}{6}\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})=\sin^{2}[(\frac{\pi}{6}\alpha)]=\cos^{2}(\frac{\pi}{6}\alpha)1=\frac{1}{3}1=\frac{2}{3}\)，所以\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。15.由等比數(shù)列性質(zhì)\(a_{5}^{2}=a_{3}a_{7}=4\times16=64\)，又\(a_{3}\)，\(a_{5}\)，\(a_{7}\)同號，所以\(a_{5}=8\)。16.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(x+2y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{2}(3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y})\geq\frac{1}{2}(3+2\sqrt{\frac{2y}{x}\times\frac{x}{y}})=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}\)時取等號。四、解答題17.（1）\(\vec{a}+\vec=(13,2+2)=(2,4)\)，則\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\sqrt{(2)^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\)。（2）\(k\vec{a}+\vec=(k3,2k+2)\)，\(\vec{a}3\vec=(1+9,26)=(10,4)\)，因為\(k\vec{a}+\vec\)與\(\vec{a}3\vec\)垂直，所以\((k\vec{a}+\vec)\cdot(\vec{a}3\vec)=0\)，即\(10(k3)4(2k+2)=0\)，\(10k308k8=0\)，\(2k=38\)，解得\(k=19\)。18.（1）函數(shù)\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。令\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解得\(k\pi\frac{5\pi}{12}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{12}(k\inZ)\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為\([k\pi\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}](k\inZ)\)。（2）當(dāng)\(x\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)時，\(2x+\frac{\pi}{3}\in[0,\pi]\)，當(dāng)\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)即\(x=\frac{\pi}{12}\)時，\(f(x)\)取得最大值\(2\)；當(dāng)\(2x+\frac{\pi}{3}=0\)或\(\pi\)即\(x=\frac{\pi}{6}\)或\(\frac{\pi}{3}\)時，\(f(x)\)取得最小值\(0\)。19.（1）根據(jù)余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)，已知\(a=2\)，\(b=3\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，則\(c^{2}=4+92\times2\times3\times\frac{1}{3}=9\)，所以\(c=3\)。（2）因為\(\cosC=\frac{1}{3}\)，\(C\in(0,\pi)\)，所以\(\sinC=\sqrt{1\cos^{2}C}=\sqrt{1(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，得\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{2\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}\)。20.（1）設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的公差為\(d\)，則\(\begin{cases}a_{1}+2d=5\\10a_{1}+\frac{10\times9}{2}d=100\end{cases}\)，即\(\begin{cases}a_{1}+2d=5\\2a_{1}+9d=20\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a_{1}=1\\d=2\end{cases}\)，所以\(a_{n}=a_{1}+(n1)d=1+2(n1)=2n1\)。（2）\(b_{n}=2^{a_{n}}=2^{2n1}\)，則\(\{b_{n}\}\)是首項\(b_{1}=2^{1}=2\)，公比\(q=4\)的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式\(T_{n}=\frac{b_{1}(1q^{n})}{1q}=\frac{2(14^{n})}{14}=\frac{2(4^{n}1)}{3}\)。