江蘇省南通市海門區(qū)2026屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合滿足，則（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為全集，集合滿足，所以.故選：C.2.若，則（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】選項A：因為，所以，所以，即.所以選項A錯誤；選項B：因為，所以，所以，即.所以選項B正確；選項C：因為，所以，即.所以選項C錯誤；選項D：因為，所以.所以選項D錯誤；故選：B.3.下列函數(shù)與函數(shù)的圖象相同的是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的最小正周期是.所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的相同.故選：A.4.已知函數(shù)的定義域為，設(shè)甲：，乙：不是減函數(shù)，則（

）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】充分性：如果，那么不是減函數(shù)，因為減函數(shù)要求增大時減小，所以甲能推出乙，即甲是乙的充分條件；必要性：不是減函數(shù)，它可能是增函數(shù)、常函數(shù)、或非單調(diào)函數(shù)，如果，則，不滿足，所以乙不能推出甲，即甲不是乙的必要條件；綜上，甲是乙的充分條件但不是必要條件，故選：A.5.已知，則的最小值為（

）A.4 B.5C. D.【答案】D【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故選：D.6.若是正方體的面上的一個動點，則下列結(jié)論不可能成立的是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】是正方體的面上的一個動點，對于A，在正方體中當(dāng)點與重合時，為平行四邊形，則，A成立；對于B，在正方體中若，那么共面，因為是面上的一個動點，則不能在同一平面，B不成立；對于C，在正方體中當(dāng)點與重合時，平面，因為平面，所以，C成立；對于D，在正方體中當(dāng)點與重合時，平面，因為平面，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以，D成立；故選：B.7.在平面四邊形ABCD中，已知，則的外接圓的直徑長度為（

）A.4 B.5 C. D.【答案】D【解析】因為，所以，得，在中，，在中，，所以，所以，所以，所以，在中，利用正弦定理得，的外接圓的直徑長度為．故選：D.8.已知，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，由可得，由可得，由可得，令，則有，，，又，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以，由在上單調(diào)遞增知，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知m、n是兩條不同直線，是三個不同的平面，則下列結(jié)論一定成立的有（

）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】選項A：若，由線面垂直的性質(zhì)可知，故A選項正確；選項B：若，則不一定正確，因為與可能相交，故選項B不正確；選項C：若，由線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義或判定定理可知，故C選項正確；選項D：若，則不一定正確，因為m與n可能相交，也可能m與n異面，選項D不正確；故選：AC.10.記的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，，則（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為，所以，化簡得，可知，因為，所以，因為的面積為，所以，化簡得，聯(lián)立方程組，解得或?qū)τ贏，因為，所以，A錯誤；對于B，由上分析可知，B正確；對于C，由上分析可知，C正確；對于D，因為正弦定理，所以，則，當(dāng)，，時，，當(dāng)，，時，，D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（

）A.B.是的極值點C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】選項A：由題可知：，所以選項A正確；選項B：由得函數(shù)的定義域為，在上恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點，所以選項B錯誤；選項C：當(dāng)時，因為，所以，由選項B知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以選項C正確；選項D：因為函數(shù)，所以，所以，所以.當(dāng)時，，即，由選項B知函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以所以選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若兩個平行平面之間的距離為6，一條直線與這兩個平面分別交于A，B兩點，線段AB與其中一個平面所成角為，則AB的長度為____________.【答案】12【解析】如圖，平面，，過作于，連接，依題意，，所以，所以AB的長度為12.故答案為：1213.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則______.【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點為，與曲線的切點為，而的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，所以兩曲線的切線分別為，兩條切線對應(yīng)相同，且切線為，可得，解得，所以.故答案為：.14.若對于，總，使得，則實數(shù)的最小值為______________.【答案】【解析】因為，所以，所以的解集為，對于，總，使得，所以，，，所以，所以，即實數(shù)的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求；（2）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】解：（1）因為函數(shù)，且，所以，所以.所以，所以.（2）.當(dāng)時，，若在上是增函數(shù)，則，所以.所以的取值范圍是.16.已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域均為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在上有2個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】解：（1）因為，故，而是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故，由，可得.（2）由（1）可知：，所以，令，因為，由單調(diào)性可知，故在上有2個不同的零點，即在有2個不同的零點，則，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.17.如圖，在四棱錐中，平面，.（1）求證：平面；（2）設(shè)為棱PD上一點，若平面ABC與平面EAC的夾角的正弦值為，求.【答案】（1）證明：因為平面，平面，所以.因為，所以.因為所以.因為，所以.所以，所以.因為平面，，所以平面.（2）解：因為平面，平面，所以.因為，所以.所以三線兩兩垂直.如圖所示，分別所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則所以.設(shè)，則，.設(shè)平面EAC的法向量為，則，所以，令則.由題易知是平面的一個法向量，所以，解得.所以，即.18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求.（2）若在AB上，CD平分.（i）若，求BD；（ii）若在AC上，BE平分，且，求.【答案】解：（1）因為，由正弦定理得：，因為，所以.因為，所以，所以，所以.（2）因為CD平分，所以.（i）中，，由余弦定理，得：，所以，或.當(dāng)時，，所以，所以，所以.所以，所以.當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以，所以.（ii）設(shè)，則，因為，所以，，.由正弦定理，得，.因為BC，所以，因為，所以，即，所以.因為，所以，即，所以.因為，所以，所以，所以，所以，所以.19.（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）已知，求證：對于任意；（3）若是關(guān)于的方程的兩個不等實根，求證：.【答案】（1）解：因為，因為，所以，即．當(dāng)時，，所以，所以滿足在處取得極值．（2）證明：因為，所以，所以當(dāng)時，恒成立.要證任意，即證：．設(shè)，因為，令，則時，，所以在上單調(diào)遞增，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，即證．（3）證明：法1：由題意，設(shè)，所以，當(dāng)時，恒成立，此時單調(diào)遞增，不會存在兩個零點，故，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即．不妨設(shè)，則由（2）得，令，所以，所以，化簡得，①：同理，②；①②得，因為，所以，所以，即證．法2：同法1得到，令，則（），設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．不妨設(shè)．（）式可以化為，取對數(shù)得，，所以．由（2）得，則，所以，即，所以，即，所以．要證：，即證：．因為，所以只要證