第三章圓（A卷·提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）A卷（共100分）第Ⅰ卷（選擇題，共32分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖以CD為直徑的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．則MD的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】連接OA，如圖，設⊙O的半徑為r，則OA=r，OM=16-r，根據垂徑定理得到AM=BM=8，再根據勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后計算CD-CM即可．【詳解】解：連接OA，如圖，設⊙O的半徑為r，則OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴MD=CD-CM=20-16=4．故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．如圖，在⊙O中，∠BOC=54°，則∠BAC的度數為（）A．27° B．28° C．36° D．54°【答案】A【分析】由同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半，可得，從而可得答案．【詳解】解：故選：【點睛】本題考查的是圓周角定理，掌握“同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．”是解題的關鍵．3．如圖，正五邊形內接于，點P為弧上一點，則的為度數為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正多邊形的性質，求得每個內角的度數，再根據圓內接四邊形的性質，求解即可．【詳解】解：在正五邊形中，每個內角的度數為，即，由題意可得：四邊形為圓的內接四邊形，∴，∴，故選：D【點睛】此題考查了正多邊形的性質以及圓的有關性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．4．如圖，AB是的直徑，過AB的延長線上的點作的切線，切點為，點是上一點，連接BD，，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據切線的性質可知，再根據圓周角的性質及直角三角形的性質即可解答．本題考查了切線的性質，圓周角的性質，直角三角形的性質，掌握切線的性質及圓周角的性質是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴在中，，故選．5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在圓周上，點P是線段OB上任意一點，連結AC、CP．若∠BAC=35°，則∠APC的度數不可能是（）A．90° B．75° C．60° D．50°【答案】D【詳解】試題分析：首先連接BC，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可求得∠ACB=90°，繼而求得∠B的度數，則可得∠APC≥55°．試題解析：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°，∵點P是線段OB上任意一點，∴∠APC≥55°．∴∠APC的度數不可能是50°．故選D．考點：圓周角定理．6．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，其邊長為4，則⊙O的內接正三角形EFG的邊長為（

）.A．4 B． C． D．【答案】D【分析】連接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先根據ABCD是圓內接正方形求出圓的半徑，再在Rt△OEM中利用30度角的性質即可解決問題．【詳解】解；連接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC是直徑，AC＝4，∴OE＝OF＝2，∵OM⊥EF，∴EM＝MF，∵△EFG是等邊三角形，∴∠GEF＝60°，在Rt△OME中，∵OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，∴OM＝，EM＝OM＝，∴EF＝2．故選D．【點睛】本題考查正多邊形與圓、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質和30°角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練應用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．已知，AB是直徑，，弦且過OB的中點，P是劣弧BC上一動點，DF垂直AP于F，則P從C運動到B的過程中，F運動的路徑長度（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】作于，當點在點時，點與點重合；當點在點時，點與點重合，利用圓周角定理的推論判定點在以為直徑的圓上，則點運動路徑為，再計算和的度數，根據弧長公式即可求解．【詳解】解：作于，如圖所示，當點在點時，點與點重合；當點在點時，點與點重合，，點在以為直徑的圓上，點運動路徑為，弦且過的中點，，，，，，

為等邊三角形，和為中位線，，，運動的路徑長度為：，故選B．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、軌跡，點按一定規(guī)律運動所形成的圖形叫這個點的運動軌跡，解題的關鍵是確定點運動的軌跡路徑．8．如圖⊙O分別切AC、AB、BD于C、E、D三點，已知∠CAB=100o，∠ABD=60o，則∠AOB等于（

）A．110o B．100o C．95o D．50o【答案】B【分析】運用切線的相關知識和角平分線的判定，得到AO平分∠CAE，算得∠OAE的度數，再用同樣方法得到∠OBE的度數，最后用三角形內角和等于180度可求得∠AOB的度數．【詳解】如下圖，連接OC，OE∵AC、AB切⊙O于C、E∴OC⊥AC，OE⊥AB又OC=OE∴AO平分∠CAB∴同理可得∠OBA=∴故選：B．【點睛】此題考查切線的性質和角平分線的判定定理，其關鍵是熟悉相關定義和性質進行推理和運算．第Ⅱ卷（非選擇題，共68分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）9．已知扇形的半徑長6，圓心角為120°，則該扇形的弧長等于．（結果保留π）【答案】【詳解】10．正六邊形的邊長是6，則這個正六邊形的周長是．【答案】36【分析】正六邊形的邊長×6，可得正六邊形的周長．【詳解】解：∵正六邊形的邊長是6，∴這個正六邊形的周長=6×6＝36，故答案為：36．【點睛】本題考查正多邊形，解題的關鍵是理解正六邊形的定義，屬于中考基礎題．11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DC⊥AB，垂足為E，如果AB=20cm，CD=16cm，那么線段AE的長為cm．【答案】4.【詳解】試題分析：連接CO，因為DC⊥AB，所以AB平分CD，因為CD=16,所以CE=8,因為AB=20，所以CO=OA=10,由勾股定理算出OE=6,所以AE=10-6=4cm，故答案為4cm.考點：1.垂徑定理；2.勾股定理.12．如圖，在半徑分別為5cm和3cm的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，則弦AB的長為cm．【答案】8【詳解】試題分析：本題應根據垂徑定理和勾股定理求解．大圓的弦AB與小圓相切于點C，∴，由垂徑定理知，AC=BC，由勾股定理得，AC=4，∴AB=2AC=8故答案為8考點：切線的性質．13．如圖，在中，，，將繞點B逆時針旋轉得到，則，，，圍成的面積（圖中陰影部分面積）為．【答案】/【分析】本題主要考查了圖形的旋轉，不規(guī)則圖形的面積計算，勾股定理，發(fā)現陰影部分面積的計算方法是解題的關鍵．根據旋轉的性質得到，，進而得到，再結合扇形面積公式和勾股定理求解，即可解題．【詳解】解：將繞點B逆時針旋轉得到，，，，在中，，，，上式．故答案為：．三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）14．如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬，為16米，拱高為4米．(1)求橋拱的半徑；(2)若大雨過后，洪水泛濫到河面寬度為12米時，求水面漲高了多少？【答案】(1)橋拱的半徑是10米；(2)水面漲高了2米．【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理，關鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關于圓半徑的方程．（1）設橋拱的半徑是米，由垂徑定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出；（2）由垂徑定理求出的長，由勾股定理求出的長，即可求出的長．【詳解】（1）解：如圖，半徑，，設橋拱的半徑是米，，（米，拱高為4米，米，，，，橋拱的半徑是10米；（2）解：，（米，（米，（米，（米，水面漲高了2米．15．如圖，為的直徑，交于點C，D為上一點，延長交于點E，延長至F，使，連接．(1)求證：為的切線；(2)若且，求的半徑．【答案】(1)見解析；(2)的半徑為3【分析】本題考查了切線的判定定理、等邊對等角、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）連接，根據等邊對等角結合對等角相等即可推出結論；（2）設的半徑，則，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，即，∴，∵是半徑，∴為的切線；（2）解：設的半徑，則，∴，在中，由勾股定理得，，∴，解得，或（舍去），∴的半徑為3．16．如圖，為的直徑，是上一點，是的中點，弦，垂足為．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)AE的長為．【分析】此題主要考查的是垂徑定理以及相似在圓中的綜合運用，解決此題的關鍵是正確作出輔助線，利用相似求出半徑．（1）由垂徑定理可得弧與弧的數量關系，結合已知可得弧與弧的數量關系，從而得到弧與弧相等，進而得到對應的弦相等；（2）連接，由已知可得，再由是直角可得，進一步得到，進而可以得到，利用相似三角形的性質可得到的長，進而得到半徑的長度，在中利用勾股定理求出的長，進而得到的長，再利用即可求出的長．【詳解】（1）證明：弦，為的直徑，，是的中點，，，．（2）解：連接交于點，，，，是的中點，，是直徑，，，，，又，，，，，，．故答案為：．17．如圖1，投石機是古代威力巨大的武器，是現代大炮的鼻祖，我國在漢朝時期就被大量運用于戰(zhàn)場．它由杠桿、支架、彈袋和重錘等部件組成．其原理是通過彈力使杠桿繞著支點A旋轉把石頭甩出，以達到傷敵的效果．如圖2是投石機的示意圖，杠桿米，杠桿初始位置與地面成角，即．當杠桿甩出石頭停止旋轉時．求：(1)彈袋B轉過的路程．(2)杠桿旋轉停止時彈袋B距離地面多少米．（參考數據：）【答案】(1)彈袋B轉過的路程為米；(2)杠桿旋轉停止時彈袋B距離地面米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，求弧長：（1）根據弧長公式求解即可；（2）過點A作于點F，過點作，交的延長線于點E，先解得到米，再求出，進而解得到米，最后求出的長即可．【詳解】（1）解：∵米，∴彈袋B轉過的路程（米），答：彈袋B轉過的路程為米；（2）解：過點A作于點F，過點作，交的延長線于點E，在中，∵米，∴（米），，在中，∵，米，∴（米），∴（米），即杠桿旋轉停止時彈袋B距離地面米．18．如圖，內接于，交于點，連接．

(1)如圖，求證：平分；(2)如圖，延長交于點，連接，交于點，，求的度數；(3)如圖，在（）的條件下，若，，求弦的長．【答案】(1)證明見解析；(2)30°；(3)．【分析】（）由垂徑定理得，進而可得，即可求證；（）如圖，連接，證明可得，即得，得到，再由圓周角定理即可求解；（）如圖，連接，由是的直徑得，由余弦的定義可得，又由得，即得，由勾股定理得，設，則，利用勾股定理得，解得，得到，，再利用可得，據此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴平分；（2）解：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴CB等于的半徑，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；（3）解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，設，則，∵，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，即，解得，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，余弦的定義，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．B卷（共50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）19．如圖，已知是的切線，是切點是過圓心的一條割線，點、是它與的交點，且，．則的半徑為．【答案】6【分析】根據切割線定理得PA2=PB?PC，從而可求得PC與BC的長，從而不難求得半徑的長．【詳解】解：∵PA2=PB?PC，PA=8，PB=4，∴PC=16，∴BC=12，∴圓的半徑是6．【點睛】本題主要是運用了切割線定理，注意最后要求的是圓的半徑．20．如圖，已知扇形的圓心角為，半徑為1.則弓形的面積為．【答案】【分析】過點A作AD⊥BO的延長線于點D，先根據∠AOB=135°求出∠AOD的度數，由銳角三角函數的定義得出AD的長，再根據S弓形AMB=S扇形AOB-S△AOB即可得出結論．【詳解】過點A作AD⊥BO的延長線于點D，∵∠AOB=135°，∴∠AOD=180°?135°=45°.∵OA=1，∴AD=OA?sin45°=，∴S弓形AMB=S扇形AOB?S△AOB=.答：弓形AMB的面積為.【點睛】本題考查扇形面積的計算，解題關鍵在于過點A作AD⊥BO的延長線于點D.21．如圖，ΔABC內接于，點，分別是，的中點，，，則的度數是．【答案】20°【分析】利用圓周角定理求得∠AOB=，∠AOC=，利用垂徑定理證得△ODN是等邊三角形，推出OD=ON=OM，根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】如圖，連接OA、OB、ON，取OA中點D，連接DN，∵∠CAB=，∠CBA=，∴∠ACB=，∴∠AOB=，∠AOC=，∵點M是OC的中點，點D是OA的中點，∴OD=OM=OA，∵點N是AB的中點，且∠AOB=，∴ON⊥AB，∠AON=∠BON=60°，∵點D是OA的中點，且∠ONA=90°，∴DN=DO，∴△ODN是等邊三角形，∴OD=OA，∴OD=ON=OM，∵∠MON=∠COA+∠AON==，∴∠OMN=∠NOM=，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線的性質以及三角形內角和定理的應用，證得△ODN是等邊三角形是解題的關鍵．22．如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為．

【答案】【分析】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計算，勾股定理的應用，熟記正六邊形的性質是解本題的關鍵．如圖，連接，標注直線與圓的交點，由正六邊形的性質可得：，，三點共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，標注直線與圓的交點，由正六邊形的性質可得：，，三點共線，為等邊三角形，

∴，，∴，∴扇形與扇形重合，∴，∵為等邊三角形，，過作于，∴，，，∴；故答案為：．23．如圖，在等腰直角三角形中，，點Р在以斜邊為直徑的半圓上，M為的中點，則點Р沿半圓由點A運動至點B的過程中，線段的最小值為．

【答案】【分析】本題考查軌跡，等腰直角三角形的性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是正確判斷出點M的運動軌跡，屬于中考?？碱}型．如圖，設的中點為O，連接，判斷出點M的運動軌跡，利用勾股定理求出進而求解．【詳解】解：如圖，設的中點為O，連接，作于H，

，是的中點，，，，∴點M的運動軌跡是以為直徑的⊙T，設⊙T交于點E，交于點F，連接，則是直徑，∴點M的運動軌跡在以為直徑的上（即上），，，，連接，與交于點M，

在中，，，當時，此時BM最小，，故答案為：．二、解答題（本大題共3個小題，共30分，解答過程寫在答題卡上）24．圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據它的原理設計了如圖2所示的機械設備，磨盤半徑，用長為的連桿將點與動力裝置相連（大小可變），點在軌道上滑動，帶動點使磨盤繞點轉動，，．(1)當點、、三點共線的時候，的長為______；(2)點由軌道最遠處向滑動，使磨盤轉動不超過的過程中：①與相切于點，如圖3，求的長；②從①中相切的位置開始，點繼續(xù)向點方向滑動至點，點隨之逆時針運動至點，此時，求點運動的路徑長（結果保留）．（參考數據：，，）【答案】(1)或(2)①②【分析】（1）分點Q在線段上和點Q在的延長線上兩種情況，分別利用勾股定理求解即可；（2）①連接，根據切線的性質可得，然后根據勾股定理可進行求解；②連接、，過點作交于點．證明四邊形是平行四邊形，得到，解直角三角形得到，利用弧長公式計算即可．【詳解】（1）解：如圖：當點Q在線段上時，

在中，，，；如圖：當點Q在的延長線上時，

，；綜上，的長為或，故答案為：或；（2）解：①如圖1，連接，與相切于點，，

在中，，在中，；②如圖2，連接、，過點作交于點．

，，四邊形是平行四邊形，交于點，，，．【點睛】本題主要考查切線的性質及勾股定理，弧長的計算，解直角三角形，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．25．如圖在等邊中，的平分線交y軸于點D，C的坐標為(1)如圖1，求D的坐標．(2)如圖2，E為x軸上任意一點，以為邊，在第一象限內作等邊，延長交y軸于點G，求的長．(3)如圖3，在（1）條件下，M為y軸正半軸上D點上方的任意一點，在右上方作交延長線于N點，求的值．【答案】(1)(2)9(3)6【分析】（1）根據等邊三角形的性質得，在中，根據勾股定理可得，再由C的坐標為，可得，然后根據直角三角形的性質可得，即可求出；（2）過點F作軸，垂足分別為K，H，，再證明，可得，即可求解；（3）在上截取，連接，根據線段垂直平分線的性質可得，再證明是等邊三角形，可得，從而得到，可得到點M，D，B，N四點共圓，從而得到，再證明，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，，∴，在中，，∵C的坐標為，∴，∴，∵的平分線交y軸于點D，∴，∴，∴，∴，∴點D的坐標為0,3；（2）解：如圖，過點F作軸，垂足分別為K，H，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵∴，在和中，∵，∴，∴，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴∴；（3）解：如圖，在上截取，連接，∵垂直平分，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴點M，D，B，N四點共圓，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，添加適當輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．26．如圖，AB為的直徑，弦CD交AB于點，連接BD，且，連接．(1)如圖1，求證：