絕密★考試結(jié)束前

2025學(xué)年第一學(xué)期浙江省9+1高中聯(lián)盟高三年級期中考試

數(shù)學(xué)

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考證號并核對條形碼信息；

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；

4.參加聯(lián)批學(xué)校的學(xué)生可關(guān)注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|0<x≤3},則A∩B=(▲)

A.{x|-2≤x≤2}B.{x|0<x≤2}C.{x|0<x≤3}D.{x|-2≤x≤3}

2.已知復(fù)數(shù)：(i為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)為(▲)

B.C.√3-iD.√3+i

3.橢圓3x2+y2=1的離心率是(▲)

B.

4.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則(▲)

A.B.

C.D.

5.記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則“1<x<2”是“0<[x]<2”的(▲)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知等差數(shù)列{a,3滿足a?=2,a?+a?=10,數(shù)列的前n項和S,滿足Sn=2bn-3(nen*),則數(shù)列b}

的前10項和為(▲)

A.2046B.3069C.6138D.6144

高三數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

7.已知：,則sin?θ+cos?θ=(▲)

A.B.D.

8.已知a∈R,對任意z∈(0,+∞),方程組存在實數(shù)解(x,y),則a2的最小值為(▲)

B.C.1D.2

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列關(guān)于統(tǒng)計的知識，說法正確的是(▲)

A.若數(shù)據(jù)x?,x?,x?,…,x的方差為0,則所有的x;(i=1,2,3,…,n)都相等

B.已知樣本數(shù)據(jù)x?,x?,x?,…,xn(n≥5),去掉一個最小數(shù)和一個最大數(shù)后，剩余數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于原樣

本的中位數(shù)

C.數(shù)據(jù)-2,-1,3,7,8,9,10,11的第70百分位數(shù)是8.5

D.若一組樣本數(shù)據(jù)(x?,y;)(i=1,2,3,…,n)的對應(yīng)樣本點都在直線y=-0.5x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相

關(guān)系數(shù)為-1

10.已知點A為直線1:4x+3y+t=0(t∈R)上的動點，向量AB=(2,1),過點B向圓C:x2+y2=1作兩條切

線，切點分別為點D,E,則(▲)

A.若直線1與圓C相切，則t=±5

B.當(dāng)t=1時，直線1截圓C所得的弦長為

C.點B到直線1的距離恒為√5

D.若t<0,則當(dāng)|BC||DE|取到最小值時，1⊥BC

11.已知四棱錐P-ABCD滿足底面ABCD為平行四邊形，取PC中點M,過直線AM作平面α分別交棱

PB,PD于點S,T.設(shè),則(▲)

A.三棱錐P-AMB的體積是四棱錐P-ABCD的體積的·

B.x的取值范圍為(0,1)

C.當(dāng)時，

D.四棱錐P-ASMT的體積與四棱錐P-ABCD的體積之比的最小值為

高三數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在的展開式中，含x3y2的項的系數(shù)是_▲

13.已知函數(shù).的最小值為0,則實數(shù)k的取值范圍是▲_·

14.已知正n邊形A?4…4,(n≤15)內(nèi)接于單位圓0,任取兩個不同頂點4,A;,滿足|OA+OA|≥√3的概

率為,則n的值為▲·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題13分)已知函數(shù)

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x>1時，判斷并證明f(x)與g(x)的大小關(guān)系.

16.(本小題15分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,√2asinC-acosC+b-c=0.

(1)求cosA;

(2)若△ABC的最長邊長度為4,求最短邊的長度.

17.(本小題15分)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=2,C在以AB為直徑的圓周

上運動，作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,連接EF,FB.

(1)求證：AF⊥PB;

(2)求證：平面AEF與平面ABC所成夾角的大小與∠APB相等；

(3)若AC=√2,求直線PC與平面AFB所成角的大小.

高三數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

18.(本小題17分)已知雙曲線的焦距為4,焦點到漸近線的距離為√3,A,B是

雙曲線C上關(guān)于原點O對稱的兩點，且點A在第一象限，點T的坐標為(3,0).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若∠ATB=90°,求△ATB的面積；

(3)記直線AT,BT與雙曲線C的另一個交點分別為P,Q,直線AB,PQ的斜率分別為k,k?,是否存

在實數(shù)λ,使得k?=λk?恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

19.(本小題17分)若整數(shù)數(shù)列ao,a,,…,a(k∈N+)滿足對任意的i∈{0,1,…,k},a,的值恰好為ao,a,…,ak中

數(shù)字i出現(xiàn)的次數(shù)(數(shù)字不拆分統(tǒng)計，如10不計入0,1的出現(xiàn)次數(shù)),則我們稱該數(shù)列是“自洽”的.例

如，當(dāng)k=4時，有如下數(shù)列是“自洽”的：

ao=2,a?=1,a?=2,a?=0,a?=0

這表示，在ao,a?,…,a?中，0和2出現(xiàn)了2次，1出現(xiàn)了1次，3和4出現(xiàn)了0次.現(xiàn)已知一個n+1項數(shù)

列ao,a?,…,a,是“自洽”的.

(1)求證：ao+a?+…+an=n+1;

(2)當(dāng)n=3時，直接寫出所有滿足條件的數(shù)列(無需證明);

(3)當(dāng)n>5時，求該數(shù)列的通項公式.

高三數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

2025學(xué)年第一學(xué)期浙江省9+1高中聯(lián)盟高三年級期中考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.)

12345678

BADDACCB

1.B

由交集的定義可知：A∩B={x|0<x≤2}

2.A

化簡可知：,則其共軛復(fù)數(shù)為

3.D

由題意：a2=1,,則,故，

4.D

由題意：

5.A

充分性：當(dāng)1<x<2時，[x]=1∈(0,2),成立

必要性：當(dāng)0<[x]<2時，[x]=1,則x∈(1,2),不能得到1<x<2

綜上，應(yīng)為充分不必要條件

6.C

由題意：a?=2,,則公差得an=n+1

又Sn=2bn-3,Sn-1=2bn-1-3(n≥2),兩式相減得b=2bn-1(n≥2)

易知b?=3,所以bn=3×2”?1,所以b=bn+1=3×2”,故前10項和

7.C

由兩角和差公式：

則可得方程組,解得

故

高三數(shù)學(xué)參考答案第1頁共8頁

8.B

由方程組可知y=az-x,代入化簡得：x2-azx+Inz=0

由題意，該方程有解，故△=(az)2-41nz≥0

該不等式對任意的z∈(0,+∞)恒成立，即

設(shè)則,f(2)在(0,√Je)上單調(diào)遞增，在(√e,+o)上單調(diào)遞減

則,即a2的最小值為

二、多項選擇題：(本題共3小題，每小題6分，共18分.)

91011

ADABDACD

9.AD

A項：由方差知識得x?=x,A項正確；

B項：去掉其中的一個最小數(shù)和一個最大數(shù)后，中位數(shù)不變，B項錯誤；

C項：8×70%=5.6,則70百分位數(shù)為第6個數(shù)9,C項錯誤；

D項：樣本點都在直線y=-0.5x+1,則x,y完全負相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)為-1,D項正確.

10.ABD

A項：當(dāng)1與圓C相切時，圓心C到直線l的距離為,所以t=±5,A項正確；

B項：t=1時，圓心C到直線1的距離為·,所以弦長為：,B項正確；

C項：易知，直線1的一個法向量為n=(4,3),AB=(2,1),可知,C項錯誤；

D項：由C知：B點的軌跡為一條與1平行的直線，不妨設(shè)為I',當(dāng)t<0時，由于,易知I'與

圓C無交點

由切線可知BC⊥DE,,則|BC||DE|=2SBDCE=4S△BCD

因為,所以當(dāng)|BC|取最小值時，|BC||DE|有最小值

此時I'⊥BC,即1⊥BC,D項正確.

高三數(shù)學(xué)參考答案第2頁共8頁

11.ACD

A項：Vp-ABM=VA-PBM

由于M是PC中點，故則

,A項正確

B項：當(dāng)時，延長SM交BC延長線于N,連接ANA

此時由圖可知，P,D兩點在平面ASM的同側(cè)，故線段PD與平面ASM無交點，即T不在棱PD上，

矛盾。B項錯誤

C項：由可知：AS=xAB+(1-x)AP,同理AT=yAD+(1-y)AP

因為四邊形ABCD為平行四邊形，所!

由A,S,M,T四點共面，可知存在實數(shù)λ,μ,滿足AM=λAS+μAT

代入得：

(P+AB+AD)=2[xAB+(1-x)AP]+μ[yAD+(1-y)AP]

故則,化簡得：

故：時，代入解得：,C項正確

D項：因為所以

同理有：

由于,可知x+y=3xy,由基本不等式：

即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等

故四棱錐P-ASMT的體積與四棱錐P-ABCD的體積之比的最小值為,D項正確

三、填空題：(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.1013.k≤-1114.8或15

高三數(shù)學(xué)參考答案第3頁共8頁

12.(x+y)?中x3y2的系數(shù)為2C3-C2=10

13.當(dāng)時，f(x)在上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)≥f(1)=0

當(dāng)時，f(x)在(-∞0,-1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則f(x)≥f(-1)=-1-k

由題意，f(x)min=0,則-k-1≥0,解得：k≤-1

14.不妨設(shè)取出的頂點為A?,Ak,其中k=2,3,…,n,設(shè)A?與OA的夾角為θ

由O|A+OAk|≥√3,平方可得：loA2+oAL2+2oA|oA|cosθ≥3

解得：,即

法一：先考慮的情況，易知此時,根據(jù)θ的范圍，解得：

設(shè)n=6m+t(m,t∈N,t≤5),由于k是整數(shù)，則k≤m+1

因此滿足條件的k的值為1,2,…,m+1,共m個；結(jié)合對稱性，在整個單位圓上，滿足條件的k有2m個。

因此滿足|OA?+OA|≥√3的概率P有：,化簡得：m=t-1

則n=7m+1,顯然n≥3,又要求n≤15,解得：m=1或2

故n的值為8或15

法二：

要存在的情況，,即n≥6,以下分類討論：

當(dāng)只有A?,An兩個頂點能滿足條件時，2,即n<12

此時,解得n=8

當(dāng)只有A?,A?,A,An-1四個頂點能滿足條件時，2且,即12≤n<18

此時,解得n=15

當(dāng)有超過四個頂點能滿足條件時，,即n≥18,不合題意

綜上：n的值為8或15

法三：共有n-1個頂點可取，假設(shè)滿足條件的有m個，則,即

則必有n-1被7整除，結(jié)合n≤15,只需考慮n=8和15的情況

n=8時，只有A?,An兩個頂點能滿足條件，,成立

n=15時，只有A?,A?,An,An-1四個頂點能滿足條件，,成立

故n的值為8或15

高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁共8頁

四、解答題：(本題共5小題，共77分.)

15.(本小題13分)

(1)由題意：f(x)=(2-x)e?(3分)

當(dāng)x∈(-∞,2)時，f(x)>0;當(dāng)x∈(2,+∞)時，f'(x)<0

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞)(5分)

(2)由題意，(7分)

令h(x)=x-e,則h'(x)=1-e

因為x>1,所以h'(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減

故h(x)<h(1)=1-e<0(10分)

則x-e?<0,x-1>0,xe?>0

所以f(x)-g(x)<0,即f(x)<g(x)(13分)

16.(本小題15分)

(1)由正弦定理可得√2sinAsinC-sinAcosC+sinB-sinC=0(2分)

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

代入整理得√2sinA+cosA=1(4分)

結(jié)合sin2A+cos2A=1,計算可知或1(舍去)

故(7分)

(2)由(1)知：即A是鈍角

故最長邊為a,由題意：a=4(9分)

所以(11分)

所以最小角為C,最短邊為c(13分)

由正弦定理：,解得(15分)

高三數(shù)學(xué)參考答案第5頁共8頁

17.(本小題15分)

(1)證明：∵C在以AB為直徑的圓上∴AC⊥BC

∵PA⊥平面ABC∴PA⊥BC

∵AC∩PA=A∴BC⊥平面PAC(2分)

∵AFc平面PAC∴BC⊥AF

∵AF⊥PC,PC∩BC=C∴AF⊥平面PBC

∴AF⊥PB(4分)

(2)∵AE⊥PB,AF⊥PB,AE∩AF=A

∴PB⊥平面AEF

∴BP是平面AEF的一個法向量(6分)

∵PA⊥平面ABC

∴AP是平面ABC的一個法向量(7分)

故平面AEF與平面ABC所成的夾角即為BP與AP間的夾角

所以平面AEF與平面ABC所成角的大小與∠APB相等(8分)

(3)∵AC=√2,AB=2,∠ACB=90°∴BC=√2

∵PA=2,∠PAC=90°∴PC=√6,

,即(10分)

如圖，以C為坐標原點建系

則C(0,0,0),A(0,√2,0),B(√2,0,0),P(0,√2,2)

(11分)

,AB=(√2,-√2,0)

設(shè)n=(x,y,z)是平面AFB的一個法向量，直線PC與平面AFB所成角為θ

則取x=1,解得n=(1,1,√2)(13分)

∵CP=(0,√2,2)

即直線PC與平面AFB所成的角為60°(15分)

高三數(shù)學(xué)參考答案第6頁共8頁

18.(本小題17分)

(1)由題意：c=2,b=√3(2分)

則a=1,所以雙曲線方程為(4分)

(2)當(dāng)∠ATB=90°時，由于0是AB中點，可知|OA|=|0T|=3(6分)

設(shè)A(x?,y%)(x?,yo>0),則有x2+y2=9

因為A在雙曲線上，所以聯(lián)立解得yo=√6(8分)

則△ATB的面積(9分)

(3)由題意：直線

聯(lián)立方程組：可得：[3(x?-3)2-y3]y2+18(x?-3)yoy+24y2=0

由韋達定理：(11分)

由于.即3x2-y2=3,代入化簡得：

可知P的坐標為：(13分)

同理可得，的坐標為：(14分)

即存在實數(shù)滿足題意(17分)

19.(本小題17分)

(1)證明：由題意，a;(i=0,1,2,…,n)的值等于ao,a,…,an中i所出現(xiàn)的次數(shù)，由于ao,a?,…,an共n+1項，

因此所有數(shù)字的出現(xiàn)次數(shù)之和為n+1

即ao+a?+…+an=n+1(3分)

高三數(shù)學(xué)參考答案第7頁共8頁

(2)滿足條件的數(shù)列有兩個：

①a?=1,a?=2,a?=1,a?=0(6分)

②a?=2,a?=0,a?=2,a?=0(9分)

推導(dǎo)過程：

由(1)知：ao+a?+a?+a?=4,先考慮a?,很明顯3最多出現(xiàn)1次，即a?只能為0或1

若a?