2025年上海市南匯第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為2．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點(diǎn)E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）A.當(dāng)x增大時(shí)，θ先增大后減小 B.當(dāng)x增大時(shí)，θ先減小后增大C.當(dāng)d增大時(shí)，θ先增大后減小 D.當(dāng)d增大時(shí)，θ先減小后增大3．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）A.2 B.C.1 D.4．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面5．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.6．已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．當(dāng)我們停放自行車時(shí)，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了（）A.三點(diǎn)確定一平面 B.不共線三點(diǎn)確定一平面C.兩條相交直線確定一平面 D.兩條平行直線確定一平面9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，交雙曲線的右支于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.12．為了了解某地區(qū)的名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，打算從中抽取一個(gè)容量為的樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需從總體中剔除個(gè)個(gè)體，在整個(gè)過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率和每個(gè)個(gè)體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，且滿足，則______；若OM垂直AB于點(diǎn)M，且為定值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為__________.14．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______15．復(fù)數(shù)的實(shí)部為_________16．將某校全體高一年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)成績(jī)分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)需要隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，采用按成績(jī)分層隨機(jī)抽樣，則應(yīng)抽取成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）在①，②，③，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.已知，，，_____________.（1）請(qǐng)寫出你選擇條件的序號(hào)____________；并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求和.19．（12分）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）（1）已知點(diǎn)，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時(shí)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍20．（12分）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范圍21．（12分）如圖，已知正四棱錐中，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.22．（10分）已知命題：“曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，命題：“曲線表示雙曲線”.（1）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)基本不等式知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，時(shí)為負(fù)值，故A錯(cuò)誤對(duì)于B，，而無解，無法取等，故B錯(cuò)誤對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，D正確，C錯(cuò)誤故選：D2、C【解析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對(duì)于C，D，當(dāng)x=0時(shí)，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，對(duì)于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當(dāng)在下方時(shí)，，設(shè)，則對(duì)于給定的，為定值，此時(shí)設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí)，，則對(duì)于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對(duì)于給定的，隨的增大而減少，故選：C.3、B【解析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得，解之得故選：B4、D【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D5、C【解析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得故選：C.6、C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，即可滿足橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，故只需即可滿足題意，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需,即有，所以，解得，故選：C7、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.8、B【解析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車穩(wěn)定,此時(shí)自行車與地面的三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上.【詳解】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上,所以可以確定一個(gè)平面，即地面，從而使得自行車穩(wěn)定.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，屬于簡(jiǎn)單題.9、B【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出其執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】由程序框圖的邏輯，執(zhí)行步驟如下：1、：執(zhí)行循環(huán)，，；2、：執(zhí)行循環(huán)，，；3、：執(zhí)行循環(huán)，，；4、：執(zhí)行循環(huán)，，；5、：執(zhí)行循環(huán)，，；6、：不成立，跳出循環(huán).∴輸出的值為.故選：B.10、D【解析】焦點(diǎn)三角形問題，可結(jié)合為三角形的中位線，判斷：焦點(diǎn)三角形為直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出關(guān)系，從而得到關(guān)系，從而求得漸近線方程.【詳解】由題意知，，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為三角形的中位線故，故，由雙曲線定義有由勾股定理有故則則，故故漸近線方程為：故選：D【點(diǎn)睛】雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的關(guān)系11、C【解析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長(zhǎng)與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.12、D【解析】根據(jù)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個(gè)數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知：每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是相等的，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率也都是相等的，所以每個(gè)個(gè)體被剔除的概率為，每個(gè)個(gè)體被抽取的概率為，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設(shè)直線AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線AB恒過定點(diǎn)N(6,0),OM垂直AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.|MQ|為定值，點(diǎn)Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；14、【解析】根據(jù)給定條件求出正項(xiàng)等比數(shù)列的公比即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：15、【解析】復(fù)數(shù)，其實(shí)部為.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.16、48【解析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出成績(jī)不少于分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù)頻率總數(shù)，即可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不低于（分）的頻率為，由于需要隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，利用樣本估計(jì)總體的思想，則應(yīng)抽取成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為人故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據(jù)等比數(shù)列列出方程求出公比得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列列出方程求出首項(xiàng)與公差可得通項(xiàng)公式，選②③與①相同的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式解計(jì)算即可.【小問1詳解】選條件①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，，選條件③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，【小問2詳解】由（1）知，，19、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，故可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，故可得，，因?yàn)?，故可得，整理得：，，因?yàn)槿c(diǎn)不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)?，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察直線與拋物線相交時(shí)范圍問題，定值問題，解決問題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達(dá)定理，本題計(jì)算量較大，屬綜合困難題.20、（1），（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式；（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為令，恒成立，討論二次函數(shù)系數(shù)，結(jié)合根的分布.【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則所以當(dāng)時(shí)所以（2）因?yàn)闀r(shí)，在上恒成立等價(jià)于即在上恒成立令，則①當(dāng)時(shí)，不恒成立，故舍去②當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)對(duì)稱軸若即或時(shí)，恒成立因?yàn)?，所以若即時(shí)，要使恒成立則有與矛盾，故舍去綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題