2025年青海省海北市數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線是圓的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.82．是等差數(shù)列，且，，則的值（）A. B.C. D.3．若，，則有（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或65．函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.6．直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，7．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.38．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.9．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫瑒t共面D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面10．以下四個(gè)命題中，正確的是（）A.若，則三點(diǎn)共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底11．已知為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體，是底面圓上的弦，為等邊三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．若，，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據(jù)的方差為________.14．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么它的前項(xiàng)和___________.15．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個(gè)數(shù)為__________.16．等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為30，前6項(xiàng)的和為100，則它的前9項(xiàng)的和為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).18．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年級(jí)全面實(shí)施新課程改革，為了迎接新高考，某校舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組．已知圖中前三個(gè)組的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人數(shù)；（3）估計(jì)這600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.1）19．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．（12分）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為16（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求21．（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).22．（10分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點(diǎn)M，使得三角形MAB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】首先將圓心坐標(biāo)代入直線方程求出參數(shù)a，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由切線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點(diǎn)A坐標(biāo)為，，切點(diǎn)為B則，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，所以故選：B3、D【解析】對(duì)待比較的代數(shù)式進(jìn)行作差，利用不等式基本性質(zhì)，即可判斷大小.【詳解】因?yàn)?，又，，故，則，即；因?yàn)?，又，，故，則；綜上所述：.故選：D.4、A【解析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.5、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn)【詳解】，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴函數(shù)在的極大值點(diǎn)為故選：C6、B【解析】將直線方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線方程化成截距式為，所以，故選：B.7、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】.故選：D.8、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為22.故選：C.9、D【解析】對(duì)于A，利用空間向量基本定理判斷，對(duì)于B，利用向量的定義判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，共面向量定理判斷【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí)，有可能共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛晒裁鏁r(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量?jī)蓛晒裁?，但這3個(gè)向量不共面，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，且，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以D正確，故選：D10、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確.故選：D.11、B【解析】設(shè)，過點(diǎn)作的平行線，與平行的半徑交于點(diǎn)，找出異面直線與所成角，然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作的平行線，與平行的半徑交于點(diǎn)，則，，所以為異面直線與所成的角，在三角形中，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計(jì)算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、A【解析】由于對(duì)數(shù)函數(shù)的存在，故需要對(duì)進(jìn)行放縮，結(jié)合（需證明），可放縮為，利用等號(hào)成立可求出，進(jìn)而得解.【詳解】令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由已知得，，然后計(jì)算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.14、【解析】由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，..故答案為：.15、38【解析】根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數(shù)陣第行有個(gè)數(shù)，第行有個(gè)數(shù)，并且數(shù)字從開始，每次遞增.前行共有個(gè)數(shù)，第行從左向右的最后一個(gè)數(shù)是，所以第行從左向右的第個(gè)數(shù)為.故答案為：16、210【解析】依題意，、、成等差數(shù)列，從而可求得答案【詳解】∵等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為30，前6項(xiàng)和為100，即S3＝30，S6＝100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差數(shù)列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，解得S9＝210.故答案：210【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練利用、、成等差數(shù)列是關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，并求出函數(shù)的最大值小于零，即，即可得證；（2）將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與交點(diǎn)的問題，大致畫出函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，其中，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，又∵，即時(shí)，，∴，∴在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方.【小問2詳解】由得，即，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴在處取得最小值，∴，又∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，∴的大致圖象如圖所示，∴當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)或時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為2.18、（1）（2）90（3）平均值69.5；中位數(shù)69.4【解析】（1）由各矩形面積和為1列式即可；（2）由高分頻率乘以600即可；（3）由平均數(shù)與中位數(shù)的估算方法列式即可.【小問1詳解】由題意可知：解得小問2詳解】高分的頻率約為：故高分人數(shù)為：【小問3詳解】平均值為，設(shè)中位數(shù)為x，則故中位數(shù)為69.419、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，聯(lián)立得，由題意可得，解得且，由韋達(dá)定理可知，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，，整理可得，該方程無實(shí)解，故不存在.20、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)得出，再由性質(zhì)求出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）由通項(xiàng)得出，利用賦值法得出，再求解【小問1詳解】由題意可得，解得．，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；【小問2詳解】，其展開式的通項(xiàng)為，令，得∴常數(shù)項(xiàng)令，可得展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為，∴21、（1）（2）【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面積，求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所?由正弦定理得，可得，所以，因?yàn)椋?【小問2詳解】解：由的面積，所以.由余弦定理得，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為.22、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點(diǎn)式求AB所在直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)求AB的垂直平分線，根據(jù)已知確定圓心、半徑即可得