青海西寧市普通高中2025年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為A5 B.10C.20 D.402．為迎接第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目，則所有排法的總數(shù)為（）A.60 B.120C.150 D.2403．如圖是一個(gè)程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.54．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，5．的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第（）項(xiàng).A.6 B.5C.4和6 D.5和76．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.17．設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.8．阿基米德曾說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)地球”.他在做數(shù)學(xué)研究時(shí)，有一個(gè)有趣的問(wèn)題：一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部挖了一個(gè)內(nèi)切圓，現(xiàn)在以該內(nèi)切圓的圓心且平行于正方形的一邊的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.10．函數(shù)區(qū)間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無(wú)極大值，極小值為-5C.極大值為27，無(wú)極小值 D.無(wú)極大值，無(wú)極小值11．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.312．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，則___________.14．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個(gè)正方形分成9個(gè)全等的小正方形，對(duì)中間的一個(gè)小正方形進(jìn)行著色得到第1個(gè)圖案（圖1）；在第1個(gè)圖案中對(duì)沒(méi)有著色的小正方形再重復(fù)以上做法得到第2個(gè)圖案（圖2）；以此類推，每進(jìn)行一次操作，就得到一個(gè)新的正方形圖案，設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為1，記第n個(gè)圖案中所有著色的正方形的面積之和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______15．已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，則______16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與的左、右支分別交于點(diǎn)、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)O，點(diǎn)P在棱SD上，且△SAC的面積為1（1）若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，求證：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一點(diǎn)P使得二面角P?AC?D的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由18．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)W到直線的距離為d，且，.（1）記動(dòng)點(diǎn)W的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線與曲線C交于，兩點(diǎn)，直線l與的交點(diǎn)為P（P不在曲線C上），且，設(shè)直線l，的斜率分別為k，.求證：為定值.19．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】首先根據(jù)二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，求得，再求二項(xiàng)展開式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，所以，又二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為=，，所以二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為．答案選擇B【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開系數(shù)、通項(xiàng)等公式，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】結(jié)合排列組合的知識(shí)，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時(shí)，有種，當(dāng)分組為1人，2人，2人時(shí)有種，所以共有種排法.故選：C3、B【解析】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般需重復(fù)計(jì)算，根據(jù)判斷框中的條件，確定何時(shí)終止循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】初始值：，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)入循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，進(jìn)入循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，終止循環(huán)，輸出的值為3.故選：B4、D【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.5、A【解析】由二項(xiàng)展開的中間項(xiàng)或中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大可得解.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式一共11項(xiàng)，其中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，易知當(dāng)r＝5時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第6項(xiàng).故選：A6、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計(jì)算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A7、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因?yàn)?，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.8、B【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱和球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：該旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面半徑為，高為的圓柱的體積減去半徑為的球的體積，即，故選：B9、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D10、B【解析】求出得出的單調(diào)區(qū)間，從而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.故選：B11、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A12、D【解析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)三點(diǎn)共線，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意，歸納總結(jié)，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的通項(xiàng)公式.【詳解】結(jié)合已知條件，歸納總結(jié)如下：第一個(gè)圖案中，著色正方形的面積即；第二個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第三個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即.故.故答案為：.15、3【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：16、【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點(diǎn)、，因?yàn)樵c(diǎn)為、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達(dá)定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）存在，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)【解析】（1）由的面積為1，得到，，由，點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面PAC，再由面面垂直的判斷定理可得答案；（2）存在，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P，設(shè)，求出平面PAC、平面ACD的一個(gè)法向量，由二面角的向量法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)S在底面ABCD上的射影為O，所以平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，又因?yàn)榈拿娣e為1，所以，，所以，因?yàn)椋c(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，因?yàn)?，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小問(wèn)2詳解】存在，連接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得兩兩垂直，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P使二面角的余弦值為，設(shè)，，，所以，，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)?，，所以，令，得，，因?yàn)槠矫鍭CD的一個(gè)法向量為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以存在P點(diǎn)符合題意，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由即所以化簡(jiǎn)即可得到答案.（2）設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：與（1）中W的軌跡方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，求出，同理設(shè)直線的方程為：，得出，再根據(jù)從而可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋运运运运訡的方程為：【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：，則由得：所以，，所以所以設(shè)直線的方程為：，則同理可得因所以即，即，即解得，即所以為定值.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.20、（1）；（2）【解析】（1）將代入可求得.根據(jù)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系,可得數(shù)列為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入中,結(jié)合裂項(xiàng)法求和即可得前n項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),由得；當(dāng)時(shí),由得是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列當(dāng),滿足此式所以（2）由（1）可知,【點(diǎn)睛】本題考查了通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系,裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，聯(lián)立得，由題意可得，解得且，由韋達(dá)定理可知，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，，整理可得，該方程無(wú)實(shí)解，故不存在.22、（1）；（2）見解析，定點(diǎn)