高一上學(xué)期數(shù)學(xué)與藝術(shù)科學(xué)試題一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）《九章算術(shù)》中的扇形田面積計(jì)算我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步。問(wèn)為田幾何？”（意為：現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑16步，求面積）。若將該扇形田抽象為數(shù)學(xué)模型，其圓心角的弧度數(shù)為（）A.$\frac{15}{4}$B.$\frac{15}{8}$C.$\frac{30}{\pi}$D.120本題以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為背景，考查扇形圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系。由直徑16步可得半徑8步，根據(jù)公式$l=\alphar$（其中$l$為弧長(zhǎng)，$\alpha$為圓心角弧度數(shù)，$r$為半徑），代入$l=30$、$r=8$，解得$\alpha=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}$，故選A。扇形面積的計(jì)算在古代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。敦煌藻井圖案中的對(duì)稱(chēng)性敦煌莫高窟的藻井圖案以幾何對(duì)稱(chēng)著稱(chēng)，其中某圖案由相同的菱形構(gòu)成，如圖所示。若該圖案是中心對(duì)稱(chēng)圖形而非軸對(duì)稱(chēng)圖形，則其最小旋轉(zhuǎn)角為（）A.60°B.90°C.120°D.180°中心對(duì)稱(chēng)圖形的特點(diǎn)是繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，而軸對(duì)稱(chēng)圖形需沿某條直線(xiàn)折疊后重合。菱形本身是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但當(dāng)多個(gè)菱形按特定方式組合（如錯(cuò)開(kāi)排列）時(shí)，可能僅保留中心對(duì)稱(chēng)性。本題結(jié)合敦煌藝術(shù)中的幾何美學(xué)，考查對(duì)對(duì)稱(chēng)概念的理解，答案為D。分形藝術(shù)中的自相似性分形藝術(shù)通過(guò)數(shù)學(xué)迭代生成無(wú)限細(xì)節(jié)的圖案，其核心特征是“自相似性”（局部與整體形狀相似）。雪花的分形結(jié)構(gòu)可通過(guò)以下步驟生成：①畫(huà)一個(gè)等邊三角形；②在每條邊三等分點(diǎn)處向外作小等邊三角形；③重復(fù)步驟②至無(wú)窮。若原始三角形邊長(zhǎng)為1，經(jīng)過(guò)3次迭代后，圖形的總邊長(zhǎng)為（）A.$\frac{4}{3}$B.$\left(\frac{4}{3}\right)^2$C.$\left(\frac{4}{3}\right)^3$D.$4^3$分形的迭代過(guò)程體現(xiàn)了等比數(shù)列的應(yīng)用。每次迭代后，每條邊變?yōu)樵L(zhǎng)的$\frac{4}{3}$（原邊長(zhǎng)分為3段，每段向外新增1段，總長(zhǎng)度變?yōu)?3+3=6$段，即原長(zhǎng)的2倍？此處需修正：原始邊長(zhǎng)1，第一次迭代后每條邊變?yōu)?段小邊，每段長(zhǎng)$\frac{1}{3}$，總邊長(zhǎng)為$3\times4\times\frac{1}{3}=4$，即原長(zhǎng)的$\frac{4}{3}$倍。因此經(jīng)過(guò)$n$次迭代后總邊長(zhǎng)為$3\times\left(\frac{4}{3}\right)^n$，但題目問(wèn)的是“經(jīng)過(guò)3次迭代后”，選項(xiàng)C為$\left(\frac{4}{3}\right)^3$，故答案為C。分形藝術(shù)在現(xiàn)代設(shè)計(jì)、影視特效中廣泛應(yīng)用，如《奇異博士》中的多維空間場(chǎng)景即基于分形原理構(gòu)建。函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性與藝術(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)$f(x)=x^2+\cosx$的圖像特征為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在$(0,+\infty)$先增后減D.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在$(0,+\infty)$先增后減本題結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與藝術(shù)中的對(duì)稱(chēng)美。首先判斷奇偶性：$f(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cosx=f(x)$，故為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。求導(dǎo)得$f'(x)=2x-\sinx$，當(dāng)$x>0$時(shí)，$2x>0$且$\sinx\leq1$，故$f'(x)>0$，函數(shù)在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增。答案為B。對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖像常用于logo設(shè)計(jì)，如耐克的“對(duì)勾”標(biāo)志即蘊(yùn)含一次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。建筑中的黃金分割比例黃金分割比例$\phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$被認(rèn)為是最具美感的比例。某古希臘神廟的正面高度與寬度之比為$\phi$，若其寬度為20米，則高度約為（）A.12.36米B.13.82米C.15.64米D.16.18米黃金分割在建筑、藝術(shù)中應(yīng)用廣泛，如巴黎圣母院、《蒙娜麗莎》的構(gòu)圖均遵循此比例。根據(jù)題意，高度=寬度×$\phi$=$20\times0.618\approx12.36$米，答案為A。音樂(lè)中的等比數(shù)列鋼琴的音階頻率遵循等比數(shù)列規(guī)律，若中央C（do）的頻率為261.63Hz，下一個(gè)八度的C音頻率為523.25Hz（即頻率翻倍），則相鄰音階（如do到re）的頻率之比為（）A.$\sqrt[7]{2}$B.$\sqrt[12]{2}$C.$\sqrt{2}$D.$2^{\frac{1}{7}}$音樂(lè)中的十二平均律將一個(gè)八度分為12個(gè)半音，每個(gè)半音的頻率比為$2^{\frac{1}{12}}$。本題中“相鄰音階”若指半音則選B，若指全音則為$2^{\frac{2}{12}}=\sqrt[6]{2}$，但選項(xiàng)中只有B符合十二平均律定義，故答案為B。巴赫的《平均律鋼琴曲集》即基于此數(shù)學(xué)原理創(chuàng)作。舞蹈編排中的矩陣變換某舞蹈隊(duì)8名隊(duì)員的初始站位可表示為4×2矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\5&6\7&8\end{pmatrix}$，若將隊(duì)員按列互換后再沿垂直方向翻轉(zhuǎn)（即第一行與第四行互換，第二行與第三行互換），得到的新矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}8&7\6&5\4&3\2&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}2&1\4&3\6&5\8&7\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}7&8\5&6\3&4\1&2\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}8&7\6&5\4&3\2&1\end{pmatrix}$矩陣變換是現(xiàn)代舞蹈編排的數(shù)字化工具。列互換后矩陣變?yōu)?\begin{pmatrix}2&1\4&3\6&5\8&7\end{pmatrix}$，再垂直翻轉(zhuǎn)（行互換）后得到$\begin{pmatrix}8&7\6&5\4&3\2&1\end{pmatrix}$，答案為A。傳統(tǒng)窗格的幾何計(jì)數(shù)中國(guó)傳統(tǒng)窗格“冰裂紋”圖案由多個(gè)全等菱形交叉組成，如圖所示，其中每個(gè)菱形的內(nèi)角為60°和120°，若圖案中共有10個(gè)菱形，則其包含的三角形個(gè)數(shù)為（）A.20B.30C.40D.50傳統(tǒng)窗格是幾何與文化的結(jié)合體。每個(gè)菱形可分解為2個(gè)等邊三角形，10個(gè)菱形共20個(gè)小三角形，而交叉部分會(huì)形成新的三角形，總數(shù)約為40個(gè)，答案為C。蘇州園林的窗格設(shè)計(jì)常通過(guò)此類(lèi)幾何組合營(yíng)造“移步換景”的視覺(jué)效果。二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）分形樹(shù)的迭代生長(zhǎng)一棵分形樹(shù)的生長(zhǎng)規(guī)則為：第1年只有1根主干（長(zhǎng)度為1）；第2年在主干頂端長(zhǎng)出2根側(cè)枝，每根長(zhǎng)度為原主干的$\frac{1}{2}$；第3年在每根側(cè)枝頂端長(zhǎng)出2根新側(cè)枝，長(zhǎng)度為上一年側(cè)枝的$\frac{1}{2}$……按此規(guī)律，第5年樹(shù)的總長(zhǎng)度為_(kāi)_______。每年的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列求和：第1年1，第2年新增$2\times\frac{1}{2}=1$，第3年新增$4\times\frac{1}{4}=1$，以此類(lèi)推，每年新增長(zhǎng)度均為1，故第5年總長(zhǎng)度為$1+1+1+1+1=5$。梵高《星月夜》的螺旋線(xiàn)方程梵高的《星月夜》中漩渦圖案近似滿(mǎn)足極坐標(biāo)方程$r=a\theta$（阿基米德螺線(xiàn)），若當(dāng)$\theta=2\pi$時(shí)，螺線(xiàn)半徑$r=10$，則當(dāng)$\theta=\pi$時(shí)，半徑$r=$________。由$10=a\times2\pi$得$a=\frac{5}{\pi}$，故$\theta=\pi$時(shí)，$r=\frac{5}{\pi}\times\pi=5$。剪紙藝術(shù)中的對(duì)稱(chēng)群一張正方形剪紙沿對(duì)角線(xiàn)對(duì)折2次后，得到的圖形可重合的旋轉(zhuǎn)角度最小為_(kāi)_______度。對(duì)折2次后形成等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)角為180°（即繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后重合）。電影特效中的矩陣縮放某3D動(dòng)畫(huà)角色的坐標(biāo)為$(x,y,z)$，若將其在x軸方向放大2倍，y軸方向縮小為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，z軸方向不變，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為_(kāi)_______?？s放矩陣為$\begin{pmatrix}2&0&0\0&\frac{1}{2}&0\0&0&1\end{pmatrix}$。三、解答題（共3小題，共40分）建筑設(shè)計(jì)中的函數(shù)優(yōu)化（12分）某藝術(shù)館要設(shè)計(jì)一個(gè)半橢圓形拱頂，其橫截面為半個(gè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$y\geq0$），要求拱頂跨度（2a）為10米，最高點(diǎn)離地面4米。（1）求橢圓方程；（2）若在拱頂下修建一個(gè)矩形展廳，矩形的一邊在地面上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，求展廳面積的最大值。解答：（1）由題意知$2a=10\Rightarrowa=5$，$b=4$，橢圓方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$（$y\geq0$）。（2）設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)為$(x,y)$，則面積$S=2x\cdoty$。由橢圓方程得$y=\frac{4}{5}\sqrt{25-x^2}$，故$S=\frac{8}{5}x\sqrt{25-x^2}$。令$t=x^2$，則$S=\frac{8}{5}\sqrt{t(25-t)}$，當(dāng)$t=\frac{25}{2}$時(shí)，$S_{\text{max}}=\frac{8}{5}\times\frac{25}{2}=20$平方米。音樂(lè)作曲中的數(shù)列應(yīng)用（14分）作曲家創(chuàng)作一段旋律時(shí)，將音符的時(shí)值（節(jié)拍）按以下規(guī)則排列：第1個(gè)音符為$\frac{1}{4}$拍，第2個(gè)為$\frac{1}{4}$拍，第3個(gè)為$\frac{1}{2}$拍，第4個(gè)為$\frac{1}{4}$拍，第5個(gè)為$\frac{1}{4}$拍，第6個(gè)為$\frac{1}{2}$拍……形成“短-短-長(zhǎng)”的循環(huán)。（1）寫(xiě)出該數(shù)列的前6項(xiàng)，并判斷是否為周期數(shù)列；（2）若一段音樂(lè)共48個(gè)音符，求總時(shí)值（以“拍”為單位）。解答：（1）前6項(xiàng)為$\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}$，周期為3。（2）每個(gè)周期（3個(gè)音符）時(shí)值為$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1$拍，48個(gè)音符共16個(gè)周期，總時(shí)值16拍。傳統(tǒng)紋樣的幾何變換（14分）如圖，中國(guó)傳統(tǒng)“回”字紋可視為由正方形ABCD（邊長(zhǎng)為4）通過(guò)以下步驟生成：①以各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作正方形A?B?C?D?；②連接A?B?C?D?各邊中點(diǎn)得正方形A?B?C?D?；③重復(fù)步驟②至無(wú)窮，形成嵌套正方形序列。（1）求第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；（2）求所有正方形的面積之和。解答：（1）原正方形邊長(zhǎng)$a_1=4$，第2個(gè)正方形邊長(zhǎng)$a_2=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，第3個(gè)$a_3=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$，公比$q=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$a_n=4\times\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}$。（2）面積構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)$S_1=16$，公比$q'=\frac{1}{2}$，總面積$S=\frac{16}{1-\frac{1}{2}}=32$。三、實(shí)踐應(yīng)用題（共20分）校園藝術(shù)節(jié)的舞臺(tái)設(shè)計(jì)學(xué)校藝術(shù)節(jié)需設(shè)計(jì)一個(gè)扇形舞臺(tái)，要求：①弧長(zhǎng)不超過(guò)20米；②舞臺(tái)面積盡可能大；③舞臺(tái)后方需懸掛一塊矩形背景幕布，幕布上下邊緣與舞臺(tái)弧相切。（1）設(shè)舞臺(tái)半徑為r，圓心角為$\alpha$（弧度），寫(xiě)出面積S關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求面積S的最大值及對(duì)應(yīng)的r、$\alpha$；（3）若背景幕布的高度為h，寬度為w，用r、$\alpha$表示h和w，并計(jì)算當(dāng)S最大時(shí)幕布的面積。解答：（1）由弧長(zhǎng)$l=\alphar\leq20$，得$\alpha=\frac{l}{r}\leq\frac{20}{r}$，面積$S=\frac{1}{2}\alphar^2=\frac{1}{2}lr\leq10r$（當(dāng)$l=20$時(shí)取等號(hào)）。（2）$S(r)=10r-\frac{1}{2}r^