1.4.1空間中直線、平面的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.(邏輯推理)3.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.(邏輯推理)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(1)點(diǎn)→點(diǎn)+位置向量(2)線→點(diǎn)+方向向量(3)平面→點(diǎn)+法向量2.空間中直線、平面的平行復(fù)習(xí)類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直．引入l2思考1：如何用直線的方向向量表示兩條直線的垂直？

l1

思考2：如何由直線的方向向量與平面的法向量表示直線與平面垂直關(guān)系？l

n1思考3：由平面與平面的垂直的關(guān)系，可以得到平面的法向量有什么關(guān)系？

n2

鞏固在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.

利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線的向量,證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量垂直,從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo),證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量垂直,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說(shuō)明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.

證明“平面與平面垂直的判斷定理”：若一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.

利用空間向量證明面面垂直的方法1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑:一是將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過(guò)向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.

分析:因?yàn)镕A⊥平面ABCD,所以可以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.跟蹤訓(xùn)練如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證:無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.

利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線