16.3.1平方差公式第十六章

整式的乘法

人教版2024·八年級(jí)上冊(cè)素養(yǎng)目標(biāo)，三維聚焦數(shù)學(xué)抽象：從多項(xiàng)式乘法特例中抽象出平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能用符號(hào)語(yǔ)言精準(zhǔn)表達(dá)公式，建立“具體實(shí)例→一般規(guī)律”的抽象思維；邏輯推理：通過代數(shù)推導(dǎo)與幾何驗(yàn)證（割補(bǔ)法）雙向論證公式合理性，培養(yǎng)演繹推理與數(shù)形結(jié)合的推理能力；數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用平方差公式解決實(shí)際問題（如面積計(jì)算、簡(jiǎn)便運(yùn)算），體會(huì)數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值.數(shù)學(xué)運(yùn)算：熟練掌握公式直接應(yīng)用、符號(hào)變形、整體代換等運(yùn)算技巧，提升運(yùn)算準(zhǔn)確性與簡(jiǎn)便運(yùn)算意識(shí);情境激趣溫故導(dǎo)入我去商店買了單價(jià)是9.8元/千克的蘋果10.2千克，售貨員剛拿起計(jì)算器說道：9.8×10.2，我就說出應(yīng)付99.96元，結(jié)果與售貨員計(jì)算出的結(jié)果相吻合！你知道這里的計(jì)算有什么技巧嗎？復(fù)習(xí)鞏固引出新知計(jì)算：（1）(x+1)(x-1)（2）(m+2)(m-2)（3）(2x+1)(2x-1)思考：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算是怎樣進(jìn)行的？多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（a+b）（p+q）=

ap+aq+bq+bp=x2–1=m2–4=4m2–1探究本質(zhì)推導(dǎo)公式計(jì)算：（1）(x+1)(x-1)（2）(m+2)(m-2)（3）(2x+1)(2x-1)=x2–1=m2–4=4m2–1都是形如

a+b

的多項(xiàng)式與

a–b

的多項(xiàng)式相乘x2–1m2–22(2m)2–1運(yùn)算結(jié)果都是這兩個(gè)數(shù)的平方的差猜想：(a+b)(a–b)=a2–b2探究本質(zhì)推導(dǎo)公式(a+b)(a–b)+=a2(–ab)ab(–b2)++證明一：利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則.=a2–b2探究本質(zhì)推導(dǎo)公式aba(a–b)紙片剩余面積：a2–b2拼成的長(zhǎng)方形面積：(a–b)(a+b)(a–b)(a–b)(a+b)=a2–b2證明二：利用幾何圖形.b探究本質(zhì)推導(dǎo)公式（乘法的）平方差公式文字語(yǔ)言

兩個(gè)數(shù)(式子)的和與這兩個(gè)數(shù)(式子)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)(式子)的平方差．(a+b)(a?b)=a2?b2.注意用誰(shuí)減誰(shuí)平方差公式是多項(xiàng)式乘法(a+b)(p+q)中

p=a，q=–b

的特殊情形.理解感悟辨析概念思考1：下列各式能否用平方差公式進(jìn)行計(jì)算？思考2：若能，請(qǐng)說出公式中的a和b,以及a2-b2.（1）(1+x)(1-x)（2）(-3+a)(-3-a)（3）(1+a)(-1+a)（4）(-x+1)(-x+1)（5）(0.3m-1)(-1-0.3m)能a=1b=xa2-b2=12-x2能a=-3b=aa2-b2=(-3)2-a2能a=ab=1a2-b2=a2-12不能能a=-1b=0.3ma2-b2=(-1)2-(0.3m)2結(jié)構(gòu)特征：(相同項(xiàng))2–(相反項(xiàng))2典例精析規(guī)范過程

例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(3x+2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).解：(1)原式=(3x)2–22=9x2–4(2)原式=(–x)2–(2y)2=x2–4y2分析：(1)a=___，b=____(2)a=___，b=____3x2–x2y變式訓(xùn)練理解公式（1）(a+3)(a-3)=a2-9變系數(shù)（2）(2a+3)(2a-3)=4a2-9變符號(hào)（3）(-2a+3)(-2a-3)=4a2-9變位置（4）(3-2a)(-2a-3)=4a2-9變指數(shù)（5）(3-2a2)(-2a2-3)=4a4-9變項(xiàng)數(shù)（6）(a+b+3)(a+b-3)=(a+b)2-9以不變應(yīng)萬(wàn)變！典例精析規(guī)范過程例2

計(jì)算：(1)(x?1)(x+1)(x2+1)；(2)(y+2)(y?2)?(y?1)(y+5)；(3)102×98.

解：(1)原式=(x2?1)(x2+1)=x4?1；(3)原式=(100+2)(100?2)=1002?22=10000?4=9996.(2)原式=y2?22?(y2+4y?5)=y2?4?y2?4y+5=?4y+1能用平方差公式計(jì)算嗎？通過合理變形，利用平方差公式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.學(xué)以致用解決問題我去商店買了單價(jià)是9.8元/千克的蘋果10.2千克，售貨員剛拿起計(jì)算器說道：9.8×10.2，我就說出應(yīng)付99.96元，結(jié)果與售貨員計(jì)算出的結(jié)果相吻合！你知道這里的計(jì)算有什么技巧嗎？9.8×10.2=（10-0.2）×（10+0.2）=102-0.22=99.96綜合實(shí)踐簡(jiǎn)便運(yùn)算利用平方差公式計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)

=(28-1)(28+1)

=216+1

歸納梳理深化認(rèn)知整式的乘法平方差公式特殊情形(a–b)(a+b)=a2–b2

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩數(shù)的平方差平方差公式：達(dá)標(biāo)檢測(cè)教學(xué)互評(píng)1.下列算式不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的是（

）A.(x+a)(x–a)B.(x+a)(–a+x)C.(a+b)(–a–b)D.(–x–b)(x–b)C2.

下面的計(jì)算是否正確?如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正?(1)(x+2)(x?2)=x2?2；(2)(?a?2)(a?2)=a2?4；(3)(x+2y)(?x?2y)=x2?4y2；(4)(3a+4b)(3a?4b)=9a2?4b2.不正確不正確不正確原式=x2?4原式=4?a2原式=?x2?4xy?4y2不正確原式=9a2?16b2（1）(a+3b)(a–3b)；（2）(3+2a)(–3+2a)；（3）(xy+1)(x2y2+1)(xy–1)；(1)原式=解：(2)原式=達(dá)標(biāo)檢測(cè)教學(xué)互評(píng)

a2–(3b)2=a2–9b2(2a)2–32=4a2–9(3)原式=(xy+1)(xy–1)(x2y2+1)=[(xy)2–12](x2y2+1)=(x2y2–1)(x2y2+1)=(x2y2)2–12=x4y4–1（4）(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2)；(4)原式=達(dá)標(biāo)檢測(cè)教學(xué)互評(píng)(3x)2–42–(6x2–4x+9x–6)=9x2–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10=3x2–5x–10達(dá)標(biāo)檢測(cè)教學(xué)互評(píng)4.運(yùn)用平方差公式計(jì)算：