§1.2-1.3集合的基本關系與基本運算知識點1子集、真子集的概念1．子集的概念定義一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結論(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A．(2)對于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?C．2.真子集的概念定義如果集合A?B，但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集記法記作AB(或BA)圖示結論(1)AB，BC，則AC．(2)A?B且A≠B，則AB．名師點撥?(1)任意兩個集合之間是否有包含關系？(2)符合“∈”與“?”有什么區(qū)別？提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，這兩個集合就沒有包含關系．(2)①“∈”是表示元素與集合之間的關系，比如1∈N，－1?N.②“?”是表示集合與集合之間的關系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}．③“∈”的左邊是元素，右邊是集合，則“?”的兩邊均為集合．知識點2集合相等自然語言如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素，都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B．符號語言A?B且B?A?A＝B圖形語言名師點撥?：怎樣證明或判斷兩個集合相等？提示：(1)若A?B且B?A，則A＝B，這就給出了證明兩個集合相等的方法，即欲證A＝B，只需證A?B與B?A均成立．(2)判斷兩個集合相等，可把握兩個原則：①設兩集合A，B均為有限集，若兩集合的元素個數(shù)相同，對應元素分別相同，則兩集合相等，即A＝B；②設兩集合A，B均是無限集，只需看兩集合的代表元素滿足的條件是否一致，若一致，則兩集合相等，即A＝B．知識點3空集定義不含任何元素的集合叫做空集記法?規(guī)定空集是任何集合的子集，即??A特性(1)空集只有一個子集，即它的本身，???(2)A≠?，則?A名師點撥?：?，0，{0}與{?}之間有怎樣的關系？?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數(shù)?不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關系0???{0}?{?}或?∈{?}知識點4Venn圖在數(shù)學中，經(jīng)常用平面上__封閉曲線__的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖，這種表示集合的方法叫做圖示法．注意：1.用Venn圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關系．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A?B,A≠B))?ABeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(B?A,B≠A))?BA知識點5相關結論若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個奇數(shù)集：偶數(shù)集：x知識點6集合的基本運算表示運算文字語言集合語言圖形語言記法說明交集屬于A且屬于B的所有元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B圖中陰影部分表示交集并集屬于A或屬于B的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B圖中陰影部分表示并集補集全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對于集合U的補集{x|x∈U，x?A}?UA全集是一個相對性的概念，只包含研究問題中涉及的所有的元素，所以全集因問題的不同而異。圖中陰影部分表示A的補集。名師點撥?1、并集概念中的“或”與生活用語中的“或”的含義是不同的．生活用語中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三種情形：①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A且x∈B．2、集合運算中的“且”與生活用語中的“且”的含義相同，均表示“同時”的含義，即“x∈A，且x∈B”表示元素x屬于集合A，同時屬于集合B．3、①補集是相對于全集而言的，一方面，若沒有定義全集，則不存在補集的說法；另一方面，補集的元素逃不出全集的范圍．②補集既是集合之間的一種關系，也是集合之間的一種運算．在給定全集U的情況下，求集合A的補集的前提是A為全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的題型一、集合相等1．（多選題）下列與集合表示同一個集合的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】由解得,所以，所以根據(jù)集合的表示方法知A，C與集合M表示的是同一個集合，集合的元素是和兩個數(shù)，的元素是和這兩個等式，與集合M的元素是有序數(shù)對(可以看做點的坐標或者對應坐標平面內的點)不同,故BD錯誤.故選：．2．設，若，則_____________.【答案】-2【詳解】因為，所以.【點睛】本題考查了集合相等的概念，考查了數(shù)學運算能力.3.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】①集合之間只有包含、被包含關系，故錯誤；②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患希瑒t，正確；③空集是任意集合的子集，故，正確；④空集沒有任何元素，故，錯誤；⑤兩個集合所研究的對象不同，故為不同集合，錯誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關系，故錯誤；∴②③正確.故選：B.題型二、判斷兩個集合的包含關系1．已知集合，,則下列結論中正確的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，故本題選B.【點睛】本題考查了集合表示方法中的列舉法，考查了集合之間的子集關系.2.集合,集合,若,則實數(shù)_________.【答案】【詳解】.因為,所以.當時,這時說明方程無實根,所以；當時,這時說明是方程的實根,故；當時,這時說明是方程的實根,故；因為方程最多有一個實數(shù)根,故不可能成立.故答案為題型三、根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)1.若，，且，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】因為，，且所以集合的范圍要比集合的小或者與集合一樣，故的取值范圍是2.已知集合，集合.若，則實數(shù)______.【答案】2【詳解】由知，，即，所以.【點睛】本題主要考查子集的定義應用．3．已知集合，且，則實數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：分兩種情況考慮：①若B不為空集，可得：，解得：，，且，解得：，所以,②若B為空集，符合題意，可得：，解得：.綜上，實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.題型四、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)1．，，則集合M的真子集個數(shù)A．32B．31C．16 D．15【答案】D【詳解】因為，，所以，即集合中有4個元素，所以集合的真子集個數(shù)為.故選.【點睛】本題考查元素與集合的關系，根據(jù)集合元素個數(shù)求真子集的個數(shù)，屬于簡單題.2．設集合，，則集合的真子集個數(shù)為A．2 B．3 C．7 D．8【答案】C【詳解】因為集合，∴集合＝{1，，}，∴真子集個數(shù)為23﹣1＝7個，故選C．【點睛】本題考查了真子集的概念及性質，考查集合的表示方法：列舉法，是一道基礎題．3．已知集合則的子集的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為所以所以的子集共有（個）.故選：題型五、空集1、（多選題）給出的下列選項，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】對于A，不是的元素，故不正確；對于B，是任何集合的子集，所以是的子集，故正確；對于C，是的元素，故正確；對于D，是的元素，故不正確；.故選：BC2．已知集合，或，若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【詳解】當時，，解得：，當時，，解得：，綜上：實數(shù)的取值范圍為題型六、Venn圖1．設全集，，，則如圖陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解出集合、，然后利用圖中陰影部分所表示的集合的含義得出結果.【詳解】，.圖中陰影部分所表示的集合為且.故選：D.2．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．（1）求圖中陰影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D?（A∪B），求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）{x|1≤x≤2}（2）{a|2＜a≤3}【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得C=A∩（?UB），進而由補集的定義求出?UB，再由交集的定義可得A∩（?UB），即可得出答案；（2）根據(jù)題意，先求出集合A∪B，結合集合子集的定義可得，解出的范圍，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，分析可得：C=A∩（?UB），B={x|2＜x＜4}，則?UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}，則C=A∩（?UB）={x|1≤x≤2}；（2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．則A∪B={x|1≤x＜4}，若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D?（A∪B），則有，解可得2＜a≤3，即實數(shù)a的取值范圍是{a|2＜a≤3}．題型七、集合的基本運算1．已知集合，集合，則是（

）A．，B．C． D．【答案】D【詳解】由題意，集合，集合，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及運算，屬于容易題.2．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由集合，化簡可得，由，.故選：B.【點睛】本題考查了集合的不同表示方法，考查了并集的定義及其運算，考查了轉化能力，屬于基礎題.3．若集合，且，則集合可能是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：由知，故選考點：集合的交集．4．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用并集運算法則進行計算.【詳解】故選：D5．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，，而，所以.故選：A6．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，，又因為，所以.7．若全集，，，則集合等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，再由可得故選：D【點睛】本題考查了集合的交集、補集運算，考查了學生概念理解，綜合分析能力，屬于基礎題8．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】=(3,+∞),∴,，解得或,∴,∴,故選：A.9．已知全集，集合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由集合的交集定義得，再由補集的運算可知.故選:D.10．已知集合，，若，則實數(shù)a的值為___________.【答案】或【分析】討論與時兩種情況求解即可.【詳解】，當時，為，滿足；當時，，若則，即，解得.綜上所述，或故答案為：或11．設集合，．（1）若，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）a的值為-1或-3（2）【詳解】由，得或，故,（1）因為，所以，代入B中的方程,得，所以或,當時，，滿足條件；當時，，滿足條件．綜上，a的值為-1或-3;（2）對于集合B，,因為，所以,①當，即時，，滿足條件；②當，即時，滿足條件；③當，即時，，才能滿足條件，則由根與系數(shù)的關系得即矛盾．綜上，a的取值范圍是．題型八、集合的應用1．國慶期間，高一某班名學生去電影院觀看了《長津湖》、《我和我的父輩》這兩部電影中的一部或兩部.其中有人觀看了《長津湖》，有人觀看了《我和我的父輩》則同時觀看了這兩部電影的人數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由已知得同時觀看了這兩部電影的人數(shù)為.故選：A.2．已知集合，，則集合中元素個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】解：因為，，所以或或或，故，即集合中含有個元素；故選：C3．高一某班共有15人參加數(shù)學課外活動，其中7人參加了數(shù)學建模，9人參加了計算機編程，兩種活動都參加了的有3人，問這兩種活動都沒參加的有______人.【答案】2【詳解】因為7人參加了數(shù)學建模且兩種活動都參加了的有3人,故只參加了數(shù)學建模的人數(shù)為人,又9人參加了計算機編程,故只參加了計算機編程的人數(shù)為人.故參加了活動的人數(shù)有人.故兩種活動都沒參加的有人.故答案為：24．在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合，．(1)當時，求；(2)若______，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）根據(jù)并集得定義求解即可；（2）選①，由，得，列出不等式組，從而可得出答案.選②，由“”是“”的充分不必要條件，得集合為集合的真子集，列出不等式組，從而可得出答案.選③，根據(jù)列出不等式，解之即可得解.（1）解：當時，，，所以；（2）解：若選擇①，，則，因為，所以，又，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.若選擇②，“”是“”的充分不必要條件，則集合為集合的真子集，因為，所以，又，所以，且，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.若選擇③，，又因為，，所以或，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍是．題型九、集合的新定義1．若且，則稱集合A為“和諧集”已知集合，則集合M的子集中“和諧集”的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】若，則；若，則；若，則；若，則無意義；若，則；若，則.則“和諧集”只有.故選：B.2．（多選題）非空集合關于運算滿足：對于任意的、，都有，則稱集合關于運算為“回歸集”．下列集合關于運算為“回歸集”的是（

）A．為，為自然數(shù)的減法B．為，為有理數(shù)的乘法C．為，為實數(shù)的加法D．已知全集，集合，為，為實數(shù)的乘法【答案】BC【詳解】對于A選項，若，為自然數(shù)的減法，則，A不滿足條件；對于B選項，若，對任意的、，則，B滿足條件；對于C選項，若，對任意的、，則，C滿足條件；對于D選項，已知全集，集合，，取，，則，D不滿足條件.故選：BC.3．（多選題）用表示非空集合中元素的個數(shù)，定義，已知集合，若，則實數(shù)的取值可能為（

）A． B． C． D．2021【答案】BCD【分析】先求出，從而得到或，利用即方程有一個根得到，那么排除掉A選項，其他三個選項為正確結果.【詳解】由，可得，若，有或.當時，方程組中消去有：，則，解得：，可得若，則實數(shù)的取值范圍為，可知選項為:.故選：BCD題型十、綜合類大題1．設集合A={x∣?3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+?5=0}（1）若A∩B={2}，求實數(shù)a的值；（2）若U=R，A∩(B)=A.求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）且且【解析】（1）由條件可知集合中包含元素2，所以代入求，并驗證是否滿足條件；（2）由條件得，分和三種情況討論，得到的取值范圍.【詳解】（1），由可知，，即，解得：或，當時，，此時，滿足，當時，，此時，滿足.所以實數(shù)的值是或；（2）U=R，A∩(B)=A，，則①當