.4：函數(shù)的應(yīng)用（一） 【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一一次函數(shù)模型：形如y＝kx＋b的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中k≠0.知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．3．兩點(diǎn)式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知識(shí)點(diǎn)三冪函數(shù)模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．2．單調(diào)性：其增長(zhǎng)情況由xα中的α的取值而定．【例題詳解】題型一、二次函數(shù)模型【例1】．（25-26高一上·吉林白城）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件．試銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件；銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售數(shù)量就減少10件．(1)寫(xiě)出商場(chǎng)銷(xiāo)售這種文具，每天所得的銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入160萬(wàn)元買(mǎi)一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬(wàn)元，每年的銷(xiāo)售收入98萬(wàn)元.使用若干年后對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以20萬(wàn)元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額（注：年平均盈利額）達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以30萬(wàn)元的價(jià)格處理.(1)設(shè)前年的總盈利額為（不含設(shè)備處理收益），寫(xiě)出方案一中與的函數(shù)關(guān)系式(2)哪種方案較為合理？并說(shuō)明理由.【跟蹤訓(xùn)練2】．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）某公司投資5萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金15萬(wàn)元進(jìn)行批量生產(chǎn)．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為4元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為10元時(shí)，年銷(xiāo)售量為2萬(wàn)件；銷(xiāo)售單價(jià)每增加1元，年銷(xiāo)售量將減少萬(wàn)件．設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元．第一年獲利y萬(wàn)元．（年獲利=年銷(xiāo)售額-生產(chǎn)成本-投資）(1)試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司計(jì)劃：在第一年按年獲利最大確定的銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售，第二年獲利不低于萬(wàn)元．請(qǐng)問(wèn)第二年的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？題型二、分段函數(shù)模型【例2】．（25-26高一上·全國(guó)·期中）2025年成都世界運(yùn)動(dòng)會(huì)是由國(guó)際世界運(yùn)動(dòng)會(huì)協(xié)會(huì)主辦的一項(xiàng)國(guó)際性體育盛會(huì)，競(jìng)賽項(xiàng)目以非奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目為主.2025年世界運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年8月7日至8月17日在中國(guó)四川成都舉行，是中國(guó)大陸第一次舉辦世界運(yùn)動(dòng)會(huì).據(jù)調(diào)查，國(guó)內(nèi)某公司出售一款2025年成都世界運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物，需要固定投入300萬(wàn)元費(fèi)用.假設(shè)購(gòu)進(jìn)該款產(chǎn)品全部售出，若以80元的單價(jià)出售，可售出15萬(wàn)件，且每降價(jià)1元，銷(xiāo)量增加五千件.若購(gòu)進(jìn)該產(chǎn)品數(shù)量不超過(guò)30萬(wàn)件，則經(jīng)銷(xiāo)商按照每件30元成本收費(fèi)；若購(gòu)進(jìn)30萬(wàn)件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進(jìn)行銷(xiāo)售，此時(shí)利潤(rùn)（萬(wàn)元）與銷(xiāo)量（萬(wàn)件）的關(guān)系為.(1)當(dāng)購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本）(2)寫(xiě)出利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；(3)購(gòu)進(jìn)并銷(xiāo)售產(chǎn)品多少萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)最大？此時(shí)利潤(rùn)是多少？【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25高一下·湖北·階段練習(xí)）“綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r(shí)尚，近幾年，國(guó)家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車(chē)行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車(chē)的政策，為新能源汽車(chē)行業(yè)的發(fā)展開(kāi)辟了廣闊的前景．某新能源沉車(chē)配件公司為擴(kuò)大生產(chǎn)，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某種組件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入成本萬(wàn)元，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每件的售價(jià)為2000元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．(1)年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的關(guān)系式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25高三上·安徽安慶·階段練習(xí)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)．某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)，每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？題型三、冪函數(shù)模型【例3】．（23-24高一上·重慶·期中）黨的二十大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，現(xiàn)在準(zhǔn)備從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元）．(1)分別求出生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到12萬(wàn)元資金，并全部投入、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這12萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【跟蹤訓(xùn)練1】．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A，B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2億元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1億元，公司獲得毛收入0.25億元；生產(chǎn)芯片的毛收入（億元）與投入的資金（億元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示.

(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（億元）與投入資金（億元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？(3)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，設(shè)投入億元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲凈利潤(rùn)，當(dāng)為多少時(shí)，可以獲得最大凈利潤(rùn)？并求出最大凈利潤(rùn).（凈利潤(rùn)芯片毛收入芯片毛收入一研發(fā)耗費(fèi)資金）【跟蹤訓(xùn)練2】．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元（精確到1萬(wàn)元）？題型四、分式型函數(shù)模型【例4】．（22-23高一上·全國(guó)）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類(lèi)的號(hào)召，從百貨商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個(gè)貴50元，用4000元購(gòu)買(mǎi)A品牌垃圾桶的數(shù)量是用3000元購(gòu)買(mǎi)B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．(1)求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該中學(xué)決定再次準(zhǔn)備用不超過(guò)6000元購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌垃圾桶共50個(gè)，恰逢百貨商場(chǎng)對(duì)兩種品牌垃圾桶的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整：A品牌按第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)售價(jià)的九折出售，B品牌比第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)售價(jià)提高了20%，那么該學(xué)校此次最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)B品牌垃圾桶？【跟蹤訓(xùn)練1】．（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某地區(qū)去年用電量為，電價(jià)為0.8元/，今年計(jì)劃將電價(jià)降到0.55～0.75元/．用戶心理承受價(jià)位是0.40元/．下調(diào)電價(jià)后，實(shí)際價(jià)位和用戶心理價(jià)位仍存在差距，假設(shè)新增的用電量與這個(gè)差值成反比（比例系數(shù)為0.2a），該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元/，那么電價(jià)定為多少時(shí)仍可保證電力部門(mén)的收益增長(zhǎng)率不低于20%？【跟蹤訓(xùn)練2】．（22-23高一上·浙江寧波·期中）天氣轉(zhuǎn)冷，寧波某暖手寶廠商為擴(kuò)大銷(xiāo)量，擬進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng).根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量萬(wàn)件與投入的促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元滿足關(guān)系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為4萬(wàn)件.已知該產(chǎn)品每一萬(wàn)件需要投入成本20萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元.（注：利潤(rùn)銷(xiāo)售收入投入成本促銷(xiāo)費(fèi)用）(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；(2)促銷(xiāo)費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？此時(shí)最大利潤(rùn)為多少？題型五：給定函數(shù)模型【例5】．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）下表為某市居民用水階梯水價(jià)表（單位：元／米）：階梯每戶年用水量米水價(jià)其中自來(lái)水費(fèi)水資源費(fèi)污水處理費(fèi)第一階梯（含）5.002.11.51.4第二階梯（含）7.004.1第三階梯260以上9.006.1(1)試寫(xiě)出用戶所交水費(fèi)（元）與用水量（米）的函數(shù)關(guān)系式；(2)若某戶居民一年交水費(fèi)為1110元，求其中水資源費(fèi)和污水處理費(fèi)各為多少？【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25高一上·山西·期末）2024年新能源汽車(chē)的滲透率已超過(guò)，為解決新能源汽車(chē)的充電問(wèn)題，某新能源公司投資300萬(wàn)元用于充電樁項(xiàng)目，調(diào)研發(fā)現(xiàn)且年內(nèi)該項(xiàng)目的總維護(hù)費(fèi)用為萬(wàn)元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來(lái)200萬(wàn)元的收入.設(shè)第且年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)（純利潤(rùn)＝累計(jì)收入－累計(jì)維護(hù)費(fèi)用－投資成本）為萬(wàn)元．已知到第3年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)為99萬(wàn)元．(1)求的解析式；(2)到第幾年年底，該項(xiàng)目的年平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)純利潤(rùn)年數(shù)）最大？并求出最大值．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離（單位：km）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與成正比；若在距離車(chē)站20km處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為1萬(wàn)元和16萬(wàn)元，設(shè)兩項(xiàng)費(fèi)用之和為S（單位：萬(wàn)元）.(1)寫(xiě)出S關(guān)于x的解析式；(2)這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站多少千米處，才能使S最?。坎⑶蟪鲎钚≈?【高分演練】一、單選題1．（2025·浙江嘉興·一模）為了節(jié)約能源，嘉興市對(duì)居民生活用天然氣實(shí)行“階梯定價(jià)”，計(jì)費(fèi)方式如下表：每戶每年天然氣用量天然氣價(jià)格不超過(guò)2.98元超過(guò)但不超過(guò)的部分3.60元超過(guò)的部分4.50元若某戶居民一年的天然氣費(fèi)為2082元，則此戶居民這一年使用的天然氣為（

）A． B． C． D．2．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪元，每工作小時(shí)獲取元．從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為小時(shí)，獲取的稅前月工資為元，則與之間的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）茶葉是中國(guó)文化元素的重要象征之一，飲茶習(xí)俗在中國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，已知某種茶葉的茶水溫度（單位：℃）和泡茶時(shí)間（單位：）滿足關(guān)系式若喝茶的最佳口感水溫大約是，則需要等待的時(shí)間為（

）A．1.5min B．2min C．3min D．4min4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學(xué)校宿舍與辦公室相距.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來(lái)到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個(gè)過(guò)程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③5．（2022·安徽淮南·一模）我國(guó)在2020年9月22日在聯(lián)合國(guó)大會(huì)提出，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，某企業(yè)在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬(wàn)元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，當(dāng)處理量x等于多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．4006．（24-25高一上·北京·期中）長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來(lái)臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門(mén)需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)）來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變.記為調(diào)度前該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④.則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④二、多選題7．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）國(guó)慶節(jié)期間，甲、乙兩商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，甲商場(chǎng)采用購(gòu)買(mǎi)所有商品一律“打八四折”的促銷(xiāo)策略，乙商場(chǎng)采用“購(gòu)物每滿200元送40元”的促銷(xiāo)策略．某顧客計(jì)劃消費(fèi)元，并且要利用商場(chǎng)的優(yōu)惠活動(dòng)，使消費(fèi)更低一些，則（

）A．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)甲商場(chǎng)購(gòu)物 B．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)乙商場(chǎng)購(gòu)物C．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)乙商場(chǎng)購(gòu)物 D．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)甲商場(chǎng)購(gòu)物8．（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時(shí)間是30minC．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為D．當(dāng)30≤x≤60時(shí)，y與x的關(guān)系式為9．（20-21高一上·山西·期末）幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)時(shí)經(jīng)過(guò)調(diào)研選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）有關(guān).已知每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于16萬(wàn)元，且，利潤(rùn)率.現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)9萬(wàn)元，則下列判斷正確的是（

）A．此時(shí)獲得最大利潤(rùn)率 B．再投入6萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)C(jī)．再投入1萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)可獲得最大利潤(rùn)率 D．再投入1萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)10．（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車(chē)從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車(chē)從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車(chē)出發(fā)至甲車(chē)到達(dá)C地的過(guò)程中，甲、乙兩車(chē)各自與C地的距離y（km）與甲車(chē)行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲車(chē)出發(fā)2h時(shí)，兩車(chē)相遇B．乙車(chē)出發(fā)1.5h時(shí)，兩車(chē)相距170kmC．乙車(chē)出發(fā)2h時(shí)，兩車(chē)相遇D．甲車(chē)到達(dá)C地時(shí)，兩車(chē)相距40km三、填空題11．（25-26高一上·重慶潼南·開(kāi)學(xué)考試）端午節(jié)前，小魯購(gòu)進(jìn)了一批粽子進(jìn)行銷(xiāo)售，第一天銷(xiāo)售了256個(gè)，第二、三天的銷(xiāo)售量持續(xù)走高，第三天的銷(xiāo)售量達(dá)到400個(gè)，則第二、三天銷(xiāo)售量的平均增長(zhǎng)率為%.12．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某位同學(xué)要在暑假的八月上旬完成一定量的英語(yǔ)單詞的記憶，計(jì)劃是：第一天記憶個(gè)單詞；第一天后的每一天，在復(fù)習(xí)前面記憶過(guò)的單詞的基礎(chǔ)上增加個(gè)新單詞的記憶量，則該同學(xué)記憶的單詞總量與記憶天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為．13．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某工廠2025年年初用100萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新的設(shè)備，并立即投入使用，使用該設(shè)備后，每年的總收入預(yù)計(jì)為50萬(wàn)元．設(shè)使用年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為萬(wàn)元，盈利總額為萬(wàn)元．（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）從第年開(kāi)始，使用該設(shè)備開(kāi)始盈利．14．（24-25高一上·天津西青·期末）依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)依照《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》向國(guó)家繳納個(gè)人所得稅（簡(jiǎn)稱個(gè)稅）.2019年1月1日起，個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額，稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為：個(gè)稅稅額應(yīng)納稅所得額稅率-速算扣除數(shù).①應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用-專項(xiàng)扣除-專項(xiàng)附加扣除-依法確定的其它扣除.②其中，“基本減除費(fèi)用”（免征頒）為每年60000元，稅率與速算扣除數(shù)見(jiàn)下表：級(jí)數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率（%）速算扣除數(shù)130210252032016920已知小華繳納的專項(xiàng)扣除：基本養(yǎng)老保險(xiǎn)，基本醫(yī)療保險(xiǎn)費(fèi)，失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是，專項(xiàng)附加扣除是52800元，依法確定的其它扣除是4560元.設(shè)小華全年應(yīng)納稅所得額為（不超過(guò)300000元）元，應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為元，則；如果小華全年綜合所得收入額為220000元，那么他全年應(yīng)繳納個(gè)稅元.四、解答題15．（25-26高一上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）大學(xué)生小王響應(yīng)國(guó)家號(hào)召?zèng)Q定自主創(chuàng)業(yè)，計(jì)劃經(jīng)銷(xiāo)兩種商品，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為萬(wàn)元時(shí)，經(jīng)銷(xiāo)商品所獲得的收益分別為萬(wàn)元與萬(wàn)元，其中，，小王計(jì)劃投入10萬(wàn)元全部用于經(jīng)銷(xiāo)這兩種商品．(1)假設(shè)小王只經(jīng)銷(xiāo)其中一種商品，求他能獲得的收益；(2)如果小王經(jīng)銷(xiāo)這兩種商品，請(qǐng)幫他制訂一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出最大收益．16．（25-26高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）實(shí)行垃圾分類(lèi)，關(guān)系生態(tài)環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源．某企業(yè)新建了一座垃圾回收利用工廠，于2019年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)垃圾回收分類(lèi)生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用．該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元．若該設(shè)備使用x年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用x年來(lái)的總和為萬(wàn)元（2019年為第一年），設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤(rùn)）為y萬(wàn)元．(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求該設(shè)備在第幾年的盈利總額為30萬(wàn)元．(2)使用若干年后，對(duì)設(shè)備的處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該設(shè)備；（年平均盈利額=盈利總額÷使用年數(shù)）②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該設(shè)備．試問(wèn)用哪種方案處理較為合理？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．17．（24-25高二下·湖北武漢·期末）設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，其中，現(xiàn)將沿向折疊至的位置，折過(guò)去后交于點(diǎn)．

(1)設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)的解析式及其定義域；(2)求面積的最大值及相應(yīng)的值．18．（22-23高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月的庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比如果在距離車(chē)站公里處建立倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元．(1)分別求出和關(guān)于距離的關(guān)系式；(2)求若要使得這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小時(shí)，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在距離車(chē)站多遠(yuǎn)處？此時(shí)最少費(fèi)用為多少萬(wàn)元？19．（24-25高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一顆梨樹(shù)的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足如下關(guān)系：投入的肥料費(fèi)用不超過(guò)6百元時(shí)，；投入的肥料費(fèi)用超過(guò)6百元且不超過(guò)10百元時(shí)，．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元．已知這種梨的市場(chǎng)售價(jià)為18百元／百千克，且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求．記該棵梨樹(shù)獲得的利潤(rùn)為（單位：百元）．(1)求利潤(rùn)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該梨樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？20．（24-25高一上·山東濟(jì)南·期末）已知某企業(yè)生產(chǎn)某種設(shè)備的最大產(chǎn)能為70臺(tái)，每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為80萬(wàn)元．記該企業(yè)生產(chǎn)臺(tái)設(shè)備需要投入的總成本為（單位：萬(wàn)元），且假設(shè)生產(chǎn)的設(shè)備全部都能售完．(1)求利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的函數(shù)解析式，并求該企業(yè)生產(chǎn)20臺(tái)設(shè)備時(shí)的利潤(rùn)（利潤(rùn)銷(xiāo)售額-成本）；(2)當(dāng)生產(chǎn)多少臺(tái)該設(shè)備時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？21．（20-21高一上·福建漳州·期末）某地為打造“生態(tài)水果莊園”，對(duì)某種果樹(shù)進(jìn)行調(diào)研.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，施用肥料千克時(shí)，這種果樹(shù)的單株產(chǎn)量（單位：千克），單株施用肥料及其它成本的總投入為元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元/千克，且銷(xiāo)路暢通供不應(yīng)求.記該果樹(shù)的單株利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求的解析式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？22．（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商場(chǎng)的購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)如下：一次購(gòu)物總額不滿元的不予優(yōu)惠；一次購(gòu)物總額滿元，但不滿元的，減元；一次購(gòu)物總額滿元，不滿元的，減元；一次購(gòu)物總額滿元的，按購(gòu)物總額給予九折優(yōu)惠.設(shè)某位顧客一次購(gòu)物總額為元（假設(shè)可取上的一切實(shí)數(shù)），所享受到的優(yōu)惠率（即原價(jià)與折扣價(jià)之差占原價(jià)的百分比）記為.(1)試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，并求該函數(shù)的最大值；(2)若該顧客這次購(gòu)物所享受到的優(yōu)惠超過(guò)九折，且不超過(guò)八五折，求的取值范圍.

3.4：函數(shù)的應(yīng)用（一）【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一一次函數(shù)模型形如y＝kx＋b的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中k≠0.知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．3．兩點(diǎn)式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知識(shí)點(diǎn)三冪函數(shù)模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．2．單調(diào)性：其增長(zhǎng)情況由xα中的α的取值而定．【例題詳解】題型一、二次函數(shù)模型【例1】．（25-26高一上·吉林白城）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件．試銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件；銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售數(shù)量就減少10件．(1)寫(xiě)出商場(chǎng)銷(xiāo)售這種文具，每天所得的銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．【答案】(1)(2)35元【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意得，銷(xiāo)售量，則．（2）．∵，∴函數(shù)圖象為開(kāi)口向下的拋物線，w有最大值，又∵對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的利潤(rùn)最大．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入160萬(wàn)元買(mǎi)一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬(wàn)元，每年的銷(xiāo)售收入98萬(wàn)元.使用若干年后對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以20萬(wàn)元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額（注：年平均盈利額）達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以30萬(wàn)元的價(jià)格處理.(1)設(shè)前年的總盈利額為（不含設(shè)備處理收益），寫(xiě)出方案一中與的函數(shù)關(guān)系式(2)哪種方案較為合理？并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)方案二合理，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用已知條件即可寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別寫(xiě)出兩種方案的總利潤(rùn)以及所需要的時(shí)間，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，則方案一中與的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）方案一：，當(dāng)時(shí)，總盈利額取得最大值90萬(wàn)元，此時(shí)處理掉設(shè)備，則總利潤(rùn)為萬(wàn)元；方案二：由（1）可得年平均利潤(rùn)額為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，年平均盈利額最大為20萬(wàn)元，此時(shí)總盈利額萬(wàn)元，此時(shí)處理掉設(shè)備，則總利潤(rùn)為萬(wàn)元；綜上，兩種方案獲利都是110萬(wàn)元，但方案一需要5年，而方案二僅需要4年，故方案二合理.【跟蹤訓(xùn)練2】．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）某公司投資5萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金15萬(wàn)元進(jìn)行批量生產(chǎn)．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為4元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為10元時(shí)，年銷(xiāo)售量為2萬(wàn)件；銷(xiāo)售單價(jià)每增加1元，年銷(xiāo)售量將減少萬(wàn)件．設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元．第一年獲利y萬(wàn)元．（年獲利=年銷(xiāo)售額-生產(chǎn)成本-投資）(1)試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司計(jì)劃：在第一年按年獲利最大確定的銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售，第二年獲利不低于萬(wàn)元．請(qǐng)問(wèn)第二年的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出年銷(xiāo)量，再列式表示出所求函數(shù)關(guān)系.（2）求出第一年獲利最大值，再列出第二年獲利的函數(shù)關(guān)系，列出不等式并求解即得.【詳解】（1）依題意，年銷(xiāo)量為（萬(wàn)件），所以.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為17元時(shí)，年獲利最大，并且第一年年底公司還差萬(wàn)元就可收回全部投資，因此第二年的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定元，年獲利萬(wàn)元，，而，即，整理得，解得，所以第二年的銷(xiāo)售單價(jià)的范圍是.題型二、分段函數(shù)模型【例2】．（25-26高一上·全國(guó)·期中）2025年成都世界運(yùn)動(dòng)會(huì)是由國(guó)際世界運(yùn)動(dòng)會(huì)協(xié)會(huì)主辦的一項(xiàng)國(guó)際性體育盛會(huì)，競(jìng)賽項(xiàng)目以非奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目為主.2025年世界運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年8月7日至8月17日在中國(guó)四川成都舉行，是中國(guó)大陸第一次舉辦世界運(yùn)動(dòng)會(huì).據(jù)調(diào)查，國(guó)內(nèi)某公司出售一款2025年成都世界運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物，需要固定投入300萬(wàn)元費(fèi)用.假設(shè)購(gòu)進(jìn)該款產(chǎn)品全部售出，若以80元的單價(jià)出售，可售出15萬(wàn)件，且每降價(jià)1元，銷(xiāo)量增加五千件.若購(gòu)進(jìn)該產(chǎn)品數(shù)量不超過(guò)30萬(wàn)件，則經(jīng)銷(xiāo)商按照每件30元成本收費(fèi)；若購(gòu)進(jìn)30萬(wàn)件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進(jìn)行銷(xiāo)售，此時(shí)利潤(rùn)（萬(wàn)元）與銷(xiāo)量（萬(wàn)件）的關(guān)系為.(1)當(dāng)購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本）(2)寫(xiě)出利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；(3)購(gòu)進(jìn)并銷(xiāo)售產(chǎn)品多少萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)最大？此時(shí)利潤(rùn)是多少？【答案】(1)200萬(wàn)元(2)(3)當(dāng)購(gòu)進(jìn)并銷(xiāo)售產(chǎn)品40萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是910萬(wàn)元【分析】（1）依題意，當(dāng)購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬(wàn)件時(shí)，是以80元的單價(jià)出售，每件30元成本，且需要固定投入300萬(wàn)元，由此根據(jù)利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本計(jì)算即可；（2）依題意，分三段：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)解析式，其中，當(dāng)時(shí)，需要設(shè)降價(jià)元，并用含的式子表示.（3）計(jì)算出各段函數(shù)的最大值進(jìn)行比較.當(dāng)時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求解最大值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解最大值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式求解最大值.【詳解】（1）依題意，當(dāng)購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)是萬(wàn)元.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)降價(jià)元，則，得到，所以；當(dāng)時(shí)，；所以.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是450萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是500萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是910萬(wàn)元.因?yàn)?，所以?dāng)購(gòu)進(jìn)并銷(xiāo)售產(chǎn)品40萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)利潤(rùn)是910萬(wàn)元.【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25高一下·湖北·階段練習(xí)）“綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r(shí)尚，近幾年，國(guó)家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車(chē)行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車(chē)的政策，為新能源汽車(chē)行業(yè)的發(fā)展開(kāi)辟了廣闊的前景．某新能源沉車(chē)配件公司為擴(kuò)大生產(chǎn)，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某種組件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入成本萬(wàn)元，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每件的售價(jià)為2000元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．(1)年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的關(guān)系式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)50；2200【分析】（1）由題意，分和兩種情況求利潤(rùn)；（2）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及基本不等式即可求解.【詳解】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向下，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因?yàn)?，所以，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為50萬(wàn)件時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大，利潤(rùn)最大為2200.【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25高三上·安徽安慶·階段練習(xí)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)．某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)，每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)；(2)年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元【分析】（1）分和兩種情況，進(jìn)行求解利潤(rùn)；（2）時(shí)，可利用二次函數(shù)的特點(diǎn)求最大利潤(rùn)值，時(shí)，利用基本不等式求最值，最后要對(duì)兩個(gè)最值比較，得出最大利潤(rùn)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，．（2）若，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元；若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，萬(wàn)元，由于，故該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元．題型三、冪函數(shù)模型【例3】．（23-24高一上·重慶·期中）黨的二十大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，現(xiàn)在準(zhǔn)備從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元）．(1)分別求出生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到12萬(wàn)元資金，并全部投入、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這12萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)，(2)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，產(chǎn)品投入萬(wàn)元，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是萬(wàn)元.【分析】（1）由題設(shè)，，根據(jù)圖象上數(shù)據(jù)得解；（2）列出企業(yè)利潤(rùn)的函數(shù)解析式，利用換元法求得函數(shù)最值得解.【詳解】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元由題設(shè)，，由圖知，故，又，所以．從而，．（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).故產(chǎn)品投入萬(wàn)元，產(chǎn)品投入萬(wàn)元，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是萬(wàn)元.【跟蹤訓(xùn)練1】．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A，B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2億元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1億元，公司獲得毛收入0.25億元；生產(chǎn)芯片的毛收入（億元）與投入的資金（億元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示.

(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（億元）與投入資金（億元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？(3)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，設(shè)投入億元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲凈利潤(rùn)，當(dāng)為多少時(shí)，可以獲得最大凈利潤(rùn)？并求出最大凈利潤(rùn).（凈利潤(rùn)芯片毛收入芯片毛收入一研發(fā)耗費(fèi)資金）【答案】(1)生產(chǎn)芯片關(guān)系式為，生產(chǎn)芯片關(guān)系式為(2)答案見(jiàn)解析(3)億時(shí)，公司所獲凈利潤(rùn)最大凈利潤(rùn)為9億元【分析】（1）由題意直接得到生產(chǎn)A芯片的解析式，待定系數(shù)法求出生產(chǎn)B芯片的解析式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到不等式和方程，得到答案；（3）表達(dá)出，換元后求出最值.【詳解】（1）設(shè)投入資金億元，則生產(chǎn)A芯片的毛收入.將代入，得，解得，生產(chǎn)B芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得.當(dāng)投入資金大于16億元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入更大；當(dāng)投入資金等于16億元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入相等；當(dāng)投入資金小于16億元時(shí)，生產(chǎn)B芯片的毛收入更大.（3）由題意知投入億元生產(chǎn)芯片，則投入億元資金生產(chǎn)A芯片，公司所獲凈利潤(rùn)，令，則，，故當(dāng)，即億時(shí)，公司所獲凈利潤(rùn)最大，最大凈利潤(rùn)為9億元.【跟蹤訓(xùn)練2】．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元（精確到1萬(wàn)元）？【答案】(1)，；(2)當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約為4萬(wàn)元．【分析】（1）由已知給出的函數(shù)模型設(shè)出解析式，代入已知數(shù)據(jù)即可算出結(jié)果；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則有，再利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題即可求解．【詳解】（1）設(shè)投資額為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，由題設(shè)，，由圖可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為萬(wàn)元，，，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)為萬(wàn)元，約為4萬(wàn)元．題型四、分式型函數(shù)模型【例4】．（22-23高一上·全國(guó)）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類(lèi)的號(hào)召，從百貨商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個(gè)貴50元，用4000元購(gòu)買(mǎi)A品牌垃圾桶的數(shù)量是用3000元購(gòu)買(mǎi)B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．(1)求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該中學(xué)決定再次準(zhǔn)備用不超過(guò)6000元購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌垃圾桶共50個(gè)，恰逢百貨商場(chǎng)對(duì)兩種品牌垃圾桶的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整：A品牌按第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)售價(jià)的九折出售，B品牌比第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)售價(jià)提高了20%，那么該學(xué)校此次最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)B品牌垃圾桶？【答案】(1)A品牌垃圾桶100元，B品牌垃圾桶150元(2)最多16個(gè)【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，分別解出購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的垃圾桶的價(jià)格；（2）根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買(mǎi)m個(gè)B品牌垃圾桶列出不等式，求得m的最值即可．【詳解】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A品牌垃圾桶需x元，則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)B品牌垃圾桶需(x+50)元，依題意，得：，解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)x＝100是原方程的解，且符合題意，∴x+50＝150．答：購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A品牌垃圾桶需100元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)B品牌垃圾桶需150元．（2）設(shè)該學(xué)校此次購(gòu)買(mǎi)m個(gè)B品牌垃圾桶，則購(gòu)買(mǎi)(50m)個(gè)A品牌垃圾桶，依題意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m．因?yàn)閙是正整數(shù)，所以m最大值是16．答：該學(xué)校此次最多可購(gòu)買(mǎi)16個(gè)B品牌垃圾桶．【跟蹤訓(xùn)練1】．（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某地區(qū)去年用電量為，電價(jià)為0.8元/，今年計(jì)劃將電價(jià)降到0.55～0.75元/．用戶心理承受價(jià)位是0.40元/．下調(diào)電價(jià)后，實(shí)際價(jià)位和用戶心理價(jià)位仍存在差距，假設(shè)新增的用電量與這個(gè)差值成反比（比例系數(shù)為0.2a），該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元/，那么電價(jià)定為多少時(shí)仍可保證電力部門(mén)的收益增長(zhǎng)率不低于20%？【答案】0.60～0.75元/【分析】根據(jù)用電量、下調(diào)電價(jià)后新增用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比，得到本年度實(shí)際用電量，再乘以；再根據(jù)上年度電力部門(mén)實(shí)際收益，列不等式求解即可.【詳解】設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為x元，依題意知，新增用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為0.2a），則新增用電量為，即用電量增至，所以今年電力部門(mén)的收益；要保證電力部門(mén)的收益增長(zhǎng)率不低于20%，則，由，整理得，解得．答：當(dāng)電價(jià)定到0.60～0.75元/，仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng)20%.【跟蹤訓(xùn)練2】．（22-23高一上·浙江寧波·期中）天氣轉(zhuǎn)冷，寧波某暖手寶廠商為擴(kuò)大銷(xiāo)量，擬進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng).根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量萬(wàn)件與投入的促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元滿足關(guān)系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為4萬(wàn)件.已知該產(chǎn)品每一萬(wàn)件需要投入成本20萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元.（注：利潤(rùn)銷(xiāo)售收入投入成本促銷(xiāo)費(fèi)用）(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；(2)促銷(xiāo)費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？此時(shí)最大利潤(rùn)為多少？【答案】(1)，(2)當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為123萬(wàn)元【分析】（1）先由已知條件求出待定系數(shù)，寫(xiě)出促銷(xiāo)費(fèi)用關(guān)系式，計(jì)算銷(xiāo)售收入、投入成本，再表達(dá)利潤(rùn)即可；（2）將函數(shù)關(guān)系式作配湊變形，利用基本不等式求最值.【詳解】（1）由題知，時(shí)，，于是，，解得.所以，.根據(jù)題意，即所以（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為123萬(wàn)元.題型五：給定函數(shù)模型【例5】．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）下表為某市居民用水階梯水價(jià)表（單位：元／米）：階梯每戶年用水量米水價(jià)其中自來(lái)水費(fèi)水資源費(fèi)污水處理費(fèi)第一階梯（含）5.002.11.51.4第二階梯（含）7.004.1第三階梯260以上9.006.1(1)試寫(xiě)出用戶所交水費(fèi)（元）與用水量（米）的函數(shù)關(guān)系式；(2)若某戶居民一年交水費(fèi)為1110元，求其中水資源費(fèi)和污水處理費(fèi)各為多少？【答案】(1)(2)該戶居民所交水資源費(fèi)為315元，污水處理費(fèi)為294元【分析】（1）根據(jù)水價(jià)表寫(xiě)出函數(shù)解析式即可；（2）由所交水費(fèi)計(jì)算出用水量，再計(jì)算水資源費(fèi)和污水處理費(fèi)即可.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以用戶所交水費(fèi)（元）與用水量（米）的函數(shù)關(guān)系式是（2）當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意.所以.所以水資源費(fèi)為（元），污水處理費(fèi)為（元），所以該戶居民所交水資源費(fèi)為315元，污水處理費(fèi)為294元.【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25高一上·山西·期末）2024年新能源汽車(chē)的滲透率已超過(guò)，為解決新能源汽車(chē)的充電問(wèn)題，某新能源公司投資300萬(wàn)元用于充電樁項(xiàng)目，調(diào)研發(fā)現(xiàn)且年內(nèi)該項(xiàng)目的總維護(hù)費(fèi)用為萬(wàn)元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來(lái)200萬(wàn)元的收入.設(shè)第且年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)（純利潤(rùn)＝累計(jì)收入－累計(jì)維護(hù)費(fèi)用－投資成本）為萬(wàn)元．已知到第3年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)為99萬(wàn)元．(1)求的解析式；(2)到第幾年年底，該項(xiàng)目的年平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)純利潤(rùn)年數(shù)）最大？并求出最大值．【答案】(1)且(2)到第6年年底，該項(xiàng)目的平均利潤(rùn)最大，最大值為56萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)純利潤(rùn)的計(jì)算公式列出，將代入解出即可求解；（2）根據(jù)年平均利潤(rùn)的計(jì)算公式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最大值即可.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以且．（2）設(shè)平均利潤(rùn)為萬(wàn)元，則且，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以到第6年年底，該項(xiàng)目的平均利潤(rùn)最大，最大值為56萬(wàn)元.【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離（單位：km）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與成正比；若在距離車(chē)站20km處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為1萬(wàn)元和16萬(wàn)元，設(shè)兩項(xiàng)費(fèi)用之和為S（單位：萬(wàn)元）.(1)寫(xiě)出S關(guān)于x的解析式；(2)這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站多少千米處，才能使S最??？并求出最小值.【答案】(1)(2)應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站5千米，費(fèi)用最小為萬(wàn)元【分析】（1）由題意可設(shè)，，由于時(shí)，，代入求解即可；（2）由基本不等式求解最小值即可.【詳解】（1）由題意可設(shè)，，由于時(shí)，，所以代入解得：，，所以.故：.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立.應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站千米，費(fèi)用最小為萬(wàn)元.【高分演練】一、單選題1．（2025·浙江嘉興·一模）為了節(jié)約能源，嘉興市對(duì)居民生活用天然氣實(shí)行“階梯定價(jià)”，計(jì)費(fèi)方式如下表：每戶每年天然氣用量天然氣價(jià)格不超過(guò)2.98元超過(guò)但不超過(guò)的部分3.60元超過(guò)的部分4.50元若某戶居民一年的天然氣費(fèi)為2082元，則此戶居民這一年使用的天然氣為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)天然氣費(fèi)用為使用量的函數(shù)，根據(jù)題意寫(xiě)出分段函數(shù)解析式，先判斷對(duì)應(yīng)哪一段，再求解即可.【詳解】設(shè)天然氣使用量為，天然氣費(fèi)為元，則，由于，則,所以，解得,所以天然氣使用量為，故選：B.2．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪元，每工作小時(shí)獲取元．從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為小時(shí)，獲取的稅前月工資為元，則與之間的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意直接寫(xiě)出函數(shù)即可.【詳解】由題意得，故選：C.3．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）茶葉是中國(guó)文化元素的重要象征之一，飲茶習(xí)俗在中國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，已知某種茶葉的茶水溫度（單位：℃）和泡茶時(shí)間（單位：）滿足關(guān)系式若喝茶的最佳口感水溫大約是，則需要等待的時(shí)間為（

）A．1.5min B．2min C．3min D．4min【答案】D【分析】分別令和，求出后檢驗(yàn)是否符合范圍.【詳解】令，解得；令，解得，不符合題意，所以需要等待的時(shí)間為4min．故選：D4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學(xué)校宿舍與辦公室相距.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來(lái)到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個(gè)過(guò)程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出函數(shù)解析式，利用解析式即可得出圖象.【詳解】設(shè)行進(jìn)的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A5．（2022·安徽淮南·一模）我國(guó)在2020年9月22日在聯(lián)合國(guó)大會(huì)提出，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，某企業(yè)在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬(wàn)元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，當(dāng)處理量x等于多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后分和分析討論求出其最小值即可【詳解】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值240，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值200，綜上，當(dāng)每月的理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D6．（24-25高一上·北京·期中）長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來(lái)臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門(mén)需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)）來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變.記為調(diào)度前該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④.則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【分析】需滿足四個(gè)條件：（1）自變量的取值范圍是；（2）函數(shù)值域?yàn)榈淖蛹唬?）該函數(shù)在上恒有；（4）該函數(shù)在上為增函數(shù).逐一對(duì)照分析即可求解.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以，超出了范圍，不符合題意；，時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，，即，符合題意；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不符合題意；函數(shù)為增函數(shù)，且時(shí)，，，則，即，符合題意.故滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是②④.故選：.二、多選題7．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）國(guó)慶節(jié)期間，甲、乙兩商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，甲商場(chǎng)采用購(gòu)買(mǎi)所有商品一律“打八四折”的促銷(xiāo)策略，乙商場(chǎng)采用“購(gòu)物每滿200元送40元”的促銷(xiāo)策略．某顧客計(jì)劃消費(fèi)元，并且要利用商場(chǎng)的優(yōu)惠活動(dòng)，使消費(fèi)更低一些，則（

）A．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)甲商場(chǎng)購(gòu)物 B．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)乙商場(chǎng)購(gòu)物C．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)乙商場(chǎng)購(gòu)物 D．當(dāng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)甲商場(chǎng)購(gòu)物【答案】AC【分析】分別計(jì)算不同選項(xiàng)兩個(gè)商場(chǎng)的優(yōu)惠判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，甲商場(chǎng)的費(fèi)用為，乙商場(chǎng)的費(fèi)用為，，故應(yīng)進(jìn)甲商場(chǎng)，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，甲商場(chǎng)的費(fèi)用為，乙商場(chǎng)的費(fèi)用為，，因?yàn)?，所以，，進(jìn)入乙商場(chǎng)，當(dāng)故應(yīng)進(jìn)甲商場(chǎng)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，甲商場(chǎng)的費(fèi)用為，乙商場(chǎng)的費(fèi)用為，因?yàn)?，所以故，所以?yīng)進(jìn)乙商場(chǎng)，所以選項(xiàng)C正確；假設(shè)消費(fèi)了600，則在甲商場(chǎng)的費(fèi)用為，在乙商場(chǎng)的費(fèi)用為，所以乙商場(chǎng)費(fèi)用低，故在乙商場(chǎng)購(gòu)物，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC8．（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時(shí)間是30minC．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為D．當(dāng)30≤x≤60時(shí)，y與x的關(guān)系式為【答案】BC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：由圖象可知，甲在公園休息的時(shí)間是10min，所以只走了50min，故A錯(cuò)誤，由題中圖象可知，甲從家到公園的時(shí)間是30min，故B正確，當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx（k≠0），則2＝30k，解得k，故C正確，當(dāng)40≤x≤60時(shí)，設(shè)y＝kx+b，直線過(guò)點(diǎn)（40，2），（50，3），則，故當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為，故D錯(cuò)誤．故選：BC9．（20-21高一上·山西·期末）幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)時(shí)經(jīng)過(guò)調(diào)研選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）有關(guān).已知每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于16萬(wàn)元，且，利潤(rùn)率.現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)9萬(wàn)元，則下列判斷正確的是（

）A．此時(shí)獲得最大利潤(rùn)率 B．再投入6萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)C(jī)．再投入1萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)可獲得最大利潤(rùn)率 D．再投入1萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)【答案】BC【分析】結(jié)合題目中所給條件及自變量的實(shí)際意義，利用二次函數(shù)以及基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，為，故B正確，D錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)研發(fā)利潤(rùn)率取得最大值2，故C正確，A錯(cuò)誤.故選：BC.10．（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車(chē)從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車(chē)從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車(chē)出發(fā)至甲車(chē)到達(dá)C地的過(guò)程中，甲、乙兩車(chē)各自與C地的距離y（km）與甲車(chē)行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲車(chē)出發(fā)2h時(shí)，兩車(chē)相遇B．乙車(chē)出發(fā)1.5h時(shí)，兩車(chē)相距170kmC．乙車(chē)出發(fā)2h時(shí)，兩車(chē)相遇D．甲車(chē)到達(dá)C地時(shí)，兩車(chē)相距40km【答案】BCD【分析】觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交，結(jié)合交點(diǎn)代表的意義，即可得出結(jié)論A錯(cuò)誤；根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間分別求出甲、乙兩車(chē)的速度，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度和可求出乙車(chē)出發(fā)1.5h時(shí)，兩車(chē)相距170km，結(jié)論B正確；據(jù)時(shí)間＝路程÷速度和可求出乙車(chē)出發(fā)2h時(shí)，兩車(chē)相遇，結(jié)論C正確；結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)甲到C地時(shí)，乙車(chē)離開(kāi)C地0.5小時(shí)，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出結(jié)論D正確．【詳解】觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交，∵C地位于A、B兩地之間，∴交點(diǎn)代表了兩車(chē)離C地的距離相等，并不是兩車(chē)相遇，結(jié)論A錯(cuò)誤；甲車(chē)的速度為240÷4＝60（km/h），乙車(chē)的速度為200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙車(chē)出發(fā)1.5h時(shí)，兩車(chē)相距170km，結(jié)論B正確；∵，∴乙車(chē)出發(fā)時(shí)，兩車(chē)相遇，結(jié)論C正確；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲車(chē)到達(dá)C地時(shí)，兩車(chē)相距40km，結(jié)論D正確；故選：BCD三、填空題11．（25-26高一上·重慶潼南·開(kāi)學(xué)考試）端午節(jié)前，小魯購(gòu)進(jìn)了一批粽子進(jìn)行銷(xiāo)售，第一天銷(xiāo)售了256個(gè)，第二、三天的銷(xiāo)售量持續(xù)走高，第三天的銷(xiāo)售量達(dá)到400個(gè)，則第二、三天銷(xiāo)售量的平均增長(zhǎng)率為%.【答案】25【分析】利用平均增長(zhǎng)率的公式建立方程，通過(guò)解方程求出增長(zhǎng)率.【詳解】設(shè)第二、三天銷(xiāo)售量的平均增長(zhǎng)率為,則,得,得(舍去負(fù)根),得.故答案為:2512．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某位同學(xué)要在暑假的八月上旬完成一定量的英語(yǔ)單詞的記憶，計(jì)劃是：第一天記憶個(gè)單詞；第一天后的每一天，在復(fù)習(xí)前面記憶過(guò)的單詞的基礎(chǔ)上增加個(gè)新單詞的記憶量，則該同學(xué)記憶的單詞總量與記憶天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】，且【分析】根據(jù)題意，分析可得，變形后可得出答案【詳解】根據(jù)題意，該同學(xué)計(jì)劃第一天記憶個(gè)單詞，第一天后的每一天，在復(fù)習(xí)前面記憶過(guò)的單詞的基礎(chǔ)上增加個(gè)新單詞的記憶量，則，且．故答案為：，且13．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某工廠2025年年初用100萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新的設(shè)備，并立即投入使用，使用該設(shè)備后，每年的總收入預(yù)計(jì)為50萬(wàn)元．設(shè)使用年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為萬(wàn)元，盈利總額為萬(wàn)元．（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）從第年開(kāi)始，使用該設(shè)備開(kāi)始盈利．【答案】3【分析】（1）根據(jù)題意，即可得出函數(shù)；（2）由，得不等式并求解即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，．（2）當(dāng)時(shí)，開(kāi)始盈利，即，整理，得，解得．又因?yàn)?，所以，即從?年開(kāi)始盈利．故答案為：（1）；（2）3.14．（24-25高一上·天津西青·期末）依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)依照《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》向國(guó)家繳納個(gè)人所得稅（簡(jiǎn)稱個(gè)稅）.2019年1月1日起，個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額，稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為：個(gè)稅稅額應(yīng)納稅所得額稅率-速算扣除數(shù).①應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用-專項(xiàng)扣除-專項(xiàng)附加扣除-依法確定的其它扣除.②其中，“基本減除費(fèi)用”（免征頒）為每年60000元，稅率與速算扣除數(shù)見(jiàn)下表：級(jí)數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率（%）速算扣除數(shù)130210252032016920已知小華繳納的專項(xiàng)扣除：基本養(yǎng)老保險(xiǎn)，基本醫(yī)療保險(xiǎn)費(fèi)，失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是，專項(xiàng)附加扣除是52800元，依法確定的其它扣除是4560元.設(shè)小華全年應(yīng)納稅所得額為（不超過(guò)300000元）元，應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為元，則；如果小華全年綜合所得收入額為220000元，那么他全年應(yīng)繳納個(gè)稅元.【答案】3344【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，得到函數(shù)表達(dá)式，并得到小華全年綜合所得收入額為220000元時(shí)，應(yīng)納稅所得額，代入表達(dá)式，求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；小華全年綜合所得收入額為220000元時(shí)，應(yīng)納稅所得額，，故，故他全年應(yīng)繳納個(gè)稅3344元.故答案為：；3344四、解答題15．（25-26高一上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）大學(xué)生小王響應(yīng)國(guó)家號(hào)召?zèng)Q定自主創(chuàng)業(yè)，計(jì)劃經(jīng)銷(xiāo)兩種商品，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為萬(wàn)元時(shí)，經(jīng)銷(xiāo)商品所獲得的收益分別為萬(wàn)元與萬(wàn)元，其中，，小王計(jì)劃投入10萬(wàn)元全部用于經(jīng)銷(xiāo)這兩種商品．(1)假設(shè)小王只經(jīng)銷(xiāo)其中一種商品，求他能獲得的收益；(2)如果小王經(jīng)銷(xiāo)這兩種商品，請(qǐng)幫他制訂一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出最大收益．【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)商品投入8萬(wàn)元，商品投入2萬(wàn)元，總收益最大值為16萬(wàn)元【分析】（1）由題意可知，分別代入和運(yùn)算求解即可；（2）設(shè)商品投入萬(wàn)元，則商品投入萬(wàn)元，分和兩種情況，利用基本不等式以及二次函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橥度?0萬(wàn)元，即，若只經(jīng)銷(xiāo)商品，則所獲得的收益為萬(wàn)元；若只經(jīng)銷(xiāo)商品，則所獲得的收益為萬(wàn)元.（2）設(shè)商品投入萬(wàn)元，則商品投入萬(wàn)元，可知總收益，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在上的總收益最大值為16萬(wàn)元；若，則，可知的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，則，所以在上的總收益最大值小于萬(wàn)元；因?yàn)?，所以商品投?萬(wàn)元，商品投入2萬(wàn)元，總收益最大值為16萬(wàn)元.16．（25-26高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）實(shí)行垃圾分類(lèi)，關(guān)系生態(tài)環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源．某企業(yè)新建了一座垃圾回收利用工廠，于2019年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)垃圾回收分類(lèi)生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用．該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元．若該設(shè)備使用x年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用x年來(lái)的總和為萬(wàn)元（2019年為第一年），設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤(rùn)）為y萬(wàn)元．(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求該設(shè)備在第幾年的盈利總額為30萬(wàn)元．(2)使用若干年后，對(duì)設(shè)備的處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該設(shè)備；（年平均盈利額=盈利總額÷使用年數(shù)）②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該設(shè)備．試問(wèn)用哪種方案處理較為合理？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【答案】(1)，從第3年開(kāi)始該設(shè)備開(kāi)始全年盈利；(2)方案①比較合理，理由見(jiàn)解析【分析】（1）確定，再解方程即可.（2）利用均值不等式和二次函數(shù)性質(zhì)分別計(jì)算最大值，比較得到答案.【詳解】（1），解方程，得或，故在第4年或16年盈利總額為30萬(wàn)元；（2）①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.到2025年，年平均盈利額達(dá)到最大值，該設(shè)備可獲利萬(wàn)元.②，當(dāng)時(shí)，.故到2028年，盈利額達(dá)到最大值，該設(shè)備可獲利萬(wàn)元.因?yàn)閮煞N方案企業(yè)獲利總額相同，而方案①所用時(shí)間較短，故方案①比較合理.17．（24-25高二下·湖北武漢·期末）設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，其中，現(xiàn)將沿向折疊至的位置，折過(guò)去后交于點(diǎn)．

(1)設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)的解析式及其定義域；(2)求面積的最大值及相應(yīng)的值．【答案】(1)定義域?yàn)椋?2)的面積有最大值，此時(shí)cm.【分析】（1）根據(jù)題意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量關(guān)系，即可得函數(shù)解析式及定義域；（2）表達(dá)出的面積，結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】（1）因