2025年北師版九年級期末考試卷及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.一元二次方程$x^22x3=0$的根是（）A.$x_1=1$，$x_2=3$B.$x_1=1$，$x_2=3$C.$x_1=1$，$x_2=3$D.$x_1=1$，$x_2=3$2.已知$\frac{a}=\frac{2}{3}$，則$\frac{a+b}$的值為（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{3}{2}$3.拋物線$y=2(x3)^2+4$的頂點坐標(biāo)是（）A.$(3,4)$B.$(3,4)$C.$(3,4)$D.$(3,4)$4.在一個不透明的袋子里裝有$4$個白球，若干個黃球，每個球除顏色外均相同，將球攪勻，從中任意摸出一個球，摸到黃球的概率為$\frac{4}{5}$，則袋子內(nèi)黃球的個數(shù)為（）A.$16$B.$20$C.$12$D.$15$5.如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2$，$DB=3$，則$\frac{DE}{BC}$的值為（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{3}{2}$6.已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的圖象經(jīng)過點$(2,3)$，則$k$的值是（）A.$6$B.$6$C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{3}{2}$7.如圖，$\odotO$的直徑$AB$垂直于弦$CD$，垂足為$E$，$\angleA=22.5^{\circ}$，$OC=4$，則$CD$的長為（）A.$2\sqrt{2}$B.$4$C.$4\sqrt{2}$D.$8$8.若關(guān)于$x$的一元二次方程$kx^22x1=0$有兩個不相等的實數(shù)根，則$k$的取值范圍是（）A.$k>1$B.$k>1$且$k\neq0$C.$k<1$D.$k<1$且$k\neq0$9.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象如圖所示，對稱軸為直線$x=1$，給出下列結(jié)論：①$abc<0$；②$2a+b=0$；③$4a+2b+c>0$；④$3a+c>0$，其中正確的結(jié)論有（）A.1個B.2個C.3個D.4個10.如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，點$E$是$BC$邊上一點，連接$AE$，把$\angleB$沿$AE$折疊，使點$B$落在點$B'$處，當(dāng)$\triangleCEB'$為直角三角形時，$BE$的長為（）A.3B.$\frac{3}{2}$C.3或$\frac{3}{2}$D.2或$\frac{3}{2}$二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.方程$x^24x=0$的解是______。12.已知線段$a=4$，$b=9$，則$a$，$b$的比例中項$c$是______。13.若點$A(2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$都在反比例函數(shù)$y=\frac{k^21}{x}$（$k$為常數(shù)）的圖象上，則$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小關(guān)系是______。14.一個扇形的圓心角為$120^{\circ}$，半徑為$3$，則這個扇形的面積為______（結(jié)果保留$\pi$）。15.已知二次函數(shù)$y=x^22x3$，當(dāng)$0\leqx\leq3$時，$y$的最大值和最小值分別是______。16.如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=BC$，點$D$在$AC$上，且$\angleCBD=30^{\circ}$，則$\frac{AD}{DC}$的值為______。三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.（本題8分）解方程：(1)$x^24x+1=0$（配方法）；(2)$2x^22x1=0$（公式法）。18.（本題8分）已知：如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，點$D$，$E$分別在邊$AB$，$AC$上，$DE\parallelBC$，$DE=3$，$BC=9$，$AD=2$，求$DB$的長。19.（本題8分）在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個，小穎做摸球?qū)嶒?，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：|摸球的次數(shù)\(n\)|100|200|300|500|800|1000|3000|||||||||||摸到白球的次數(shù)\(m\)|65|124|178|302|481|599|1803||摸到白球的頻率\(\frac{m}{n}\)|0.65|0.62|0.593|0.604|0.601|0.599|0.601|(1)請估計：當(dāng)\(n\)很大時，摸到白球的頻率將會接近______（精確到0.1）；(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率\(P\)（白球）=______；(3)試估算盒子里黑、白兩種球各有多少個？20.（本題8分）已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)$y=2x+m$的圖象相交于點$(2,1)$。(1)分別求出這兩個函數(shù)的表達式；(2)試判斷點$P(1,5)$是否在一次函數(shù)$y=2x+m$的圖象上，并說明理由。21.（本題8分）如圖，在$\odotO$中，弦$AB$與$CD$相交于點$E$，$AB=CD$，連接$AD$，$BC$。求證：(1)$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；(2)$AE=CE$。22.（本題10分）某商場銷售一種商品，已知這種商品每天的銷售量$y$（件）與銷售單價$x$（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：$y=2x+100$，設(shè)銷售這種商品每天的利潤為$w$元，已知該商品的進價為每件20元。(1)求$w$與$x$之間的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？23.（本題10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線$y=ax^2+bx+c$經(jīng)過$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$三點。(1)求拋物線的表達式；(2)點$P$是拋物線上的一動點，過點$P$作$x$軸的垂線，交直線$BC$于點$D$，設(shè)點$P$的橫坐標(biāo)為$m$，當(dāng)$m$為何值時，線段$PD$的長度最大？最大值是多少？24.（本題12分）如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，以$AB$為直徑的$\odotO$分別交$BC$，$AC$于點$D$，$E$，過點$D$作$\odotO$的切線$DF$，交$AC$于點$F$。(1)求證：$DF\perpAC$；(2)若$\odotO$的半徑為$4$，$\angleCAB=60^{\circ}$，求陰影部分的面積。答案一、選擇題1.B。對于一元二次方程$x^22x3=0$，分解因式得$(x3)(x+1)=0$，則$x3=0$或$x+1=0$，解得$x_1=3$，$x_2=1$。2.C。因為$\frac{a+b}=\frac{a}+1$，已知$\frac{a}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{a+b}=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$。3.A。拋物線$y=a(xh)^2+k$的頂點坐標(biāo)為$(h,k)$，所以拋物線$y=2(x3)^2+4$的頂點坐標(biāo)是$(3,4)$。4.A。設(shè)袋子內(nèi)黃球有$x$個，根據(jù)概率公式可得$\frac{x}{x+4}=\frac{4}{5}$，$5x=4(x+4)$，$5x=4x+16$，解得$x=16$。5.B。因為$DE\parallelBC$，所以$\triangleADE\sim\triangleABC$，則$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，又$AD=2$，$DB=3$，$AB=AD+DB=5$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$。6.B。把點$(2,3)$代入反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$。7.C。因為$\angleA=22.5^{\circ}$，所以$\angleCOE=2\angleA=45^{\circ}$，又$OC=4$，在$Rt\triangleOCE$中，$\sin\angleCOE=\frac{CE}{OC}$，$CE=OC\cdot\sin45^{\circ}=4\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，因為$AB\perpCD$，所以$CD=2CE=4\sqrt{2}$。8.B。一元二次方程$kx^22x1=0$有兩個不相等的實數(shù)根，則$\Delta=(2)^24k\times(1)>0$且$k\neq0$，即$4+4k>0$，$4k>4$，解得$k>1$且$k\neq0$。9.C。①由圖象開口向上得$a>0$，對稱軸$x=\frac{2a}=1$，則$b=2a<0$，與$y$軸交點在負半軸，$c<0$，所以$abc>0$，①錯誤；②因為對稱軸$x=\frac{2a}=1$，所以$2a+b=0$，②正確；③當(dāng)$x=2$時，$y=4a+2b+c$，由對稱軸為$x=1$，與$x$軸一個交點在$(1,0)$左側(cè)，那么另一個交點在$(3,0)$右側(cè)，所以當(dāng)$x=2$時，$y>0$，即$4a+2b+c>0$，③正確；④因為$b=2a$，當(dāng)$x=1$時，$y=ab+c=a+2a+c=3a+c<0$，④錯誤。所以正確的有②③，共2個。10.C。分兩種情況：當(dāng)$\angleB'EC=90^{\circ}$時，由折疊可知$\angleAEB=\angleAEB'=45^{\circ}$，所以$\triangleABE$是等腰直角三角形，$BE=AB=3$；當(dāng)$\angleEB'C=90^{\circ}$時，設(shè)$BE=x$，則$B'E=x$，$EC=4x$，$AB'=AB=3$，$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$B'C=\sqrt{AC^{2}AB'^{2}}=\sqrt{259}=4$，在$Rt\triangleEB'C$中，根據(jù)勾股定理$B'E^{2}+B'C^{2}=EC^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(4x)^{2}$，$x^{2}+16=168x+x^{2}$，$8x=0$，解得$x=\frac{3}{2}$。二、填空題11.$x_1=0$，$x_2=4$。分解因式得$x(x4)=0$，則$x=0$或$x4=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。12.6。因為$c$是$a$，$b$的比例中項，則$c^2=ab$，$a=4$，$b=9$，所以$c^2=36$，$c=\pm6$，又線段長度為正，所以$c=6$。13.$y_2<y_3<y_1$。因為$k^21<0$，所以反比例函數(shù)$y=\frac{k^21}{x}$的圖象在二、四象限，在每個象限內(nèi)$y$隨$x$的增大而增大，點$A(2,y_1)$在第二象限，$y_1>0$，點$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$在第四象限，且$1<2$，所以$y_2<y_3<0$，所以$y_2<y_3<y_1$。14.$3\pi$。扇形面積公式$S=\frac{n\pir^{2}}{360}$（$n$是圓心角度數(shù)，$r$是半徑），$n=120$，$r=3$，則$S=\frac{120\pi\times3^{2}}{360}=3\pi$。15.0，4。$y=x^22x3=(x1)^24$，對稱軸為$x=1$，當(dāng)$x=1$時，$y$有最小值$4$；當(dāng)$x=3$時，$y=3^22\times33=0$，當(dāng)$x=0$時，$y=0^22\times03=3$，所以當(dāng)$0\leqx\leq3$時，$y$的最大值是0，最小值是4。16.$\sqrt{3}1$。設(shè)$DC=x$，在$Rt\triangleBCD$中，$\angleCBD=30^{\circ}$，則$BC=\sqrt{3}x$，因為$AC=BC=\sqrt{3}x$，所以$AD=ACDC=\sqrt{3}xx=(\sqrt{3}1)x$，則$\frac{AD}{DC}=\frac{(\sqrt{3}1)x}{x}=\sqrt{3}1$。三、解答題17.(1)$x^24x+1=0$，移項得$x^24x=1$，配方得$x^24x+4=1+4$，即$(x2)^2=3$，開方得$x2=\pm\sqrt{3}$，解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2\sqrt{3}$。(2)對于方程$2x^22x1=0$，其中$a=2$，$b=2$，$c=1$，$\Delta=(2)^24\times2\times(1)=4+8=12$，$x=\frac{b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2\times2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$，所以$x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{1\sqrt{3}}{2}$。18.因為$DE\parallelBC$，所以$\triangleADE\sim\triangleABC$，則$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，已知$DE=3$，$BC=9$，$AD=2$，所以$\frac{2}{AB}=\frac{3}{9}$，$AB=6$，則$DB=ABAD=62=4$。19.(1)當(dāng)$n$很大時，摸到白球的頻率將會接近$0.6$。(2)摸到白球的概率$P$（白球）$=0.6$。(3)白球個數(shù)為$40\times0.6=24$（個），黑球個數(shù)為$4024=16$（個）。20.(1)把點$(2,1)$代入反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$得$1=\frac{k}{2}$，$k=2$，反比例函數(shù)表達式為$y=\frac{2}{x}$；把點$(2,1)$代入一次函數(shù)$y=2x+m$得$1=2\times2+m$，$m=3$，一次函數(shù)表達式為$y=2x3$。(2)當(dāng)$x=1$時，$y=2\times(1)3=23=5$，所以點$P(1,5)$在一次函數(shù)$y=2x3$的圖象上。21.(1)因為$AB=CD$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，又$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DB}$，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{DB}$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。(2)因為$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，所以$\angleA=\angleC$，在$\triangleADE$和$\triangleCBE$中，$\angleA=\angleC$，$\angleAED=\angleCEB$，$AB=CD$，所以$\triangleADE\cong\triangleCBE$（$AAS$），則$AE=CE$。22.(1)$w=(x20)y=(x20)(2x+100)=2x^{2}+100x+40x2000=2x^{2}+140x2000$。(2)$w=2x^{2}+140x2000=2(x35)^2+450$，因為$2<0$，所以當(dāng)$x=35$時，$w$有最大值$450$。即當(dāng)銷售單價為35元時，每天的利潤最大，最大利潤是450元。23.(1)設(shè)拋物線表達式為$y=a(x+1)(x3)$，把$C(0,3)$代入得$3=a(0+1)(03)$，$3=3a$，$a=1$，所以$y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3$。(2)設(shè)直線$BC$的表達式為$y=kx+b$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+b=0\\