1/10專題10圓的方程重點(diǎn)題型全歸納目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、求圓的方程 1類型二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 3類型三、圓中過定點(diǎn)的問題 4類型四、圓的方程中對稱條件的突破 4類型五、圓的軌跡方程與實(shí)際問題 5類型六、直線與圓的位置關(guān)系判斷及參數(shù)問題 6類型七、切線方程、切線長、切點(diǎn)弦問題 7類型八、直線與圓相交（含弦長問題） 9類型九、圓與圓的位置關(guān)系及參數(shù)問題 10類型十、公切線問題 12類型十一、公共弦問題 13壓軸專練 13類型一、求圓的方程求圓的方程的兩種方法1．（25-26高二上·全國·課堂例題）根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心在點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)過點(diǎn)和點(diǎn)，半徑為；(3)過三點(diǎn).2．（23-24高二上·遼寧·期中）分別求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)，圓心在軸上；(2)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn).3．（23-24高二上·四川遂寧·月考）分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)過點(diǎn)，，且圓心在直線上；(2)過、、三點(diǎn)．4．（24-25高二上·江蘇淮安·期中）分別寫出滿足下列條件的圓的方程（用標(biāo)準(zhǔn)式表示）(1)圓心為且經(jīng)過點(diǎn)(2)經(jīng)過兩點(diǎn)且圓心在直線上(3)圓心在正半軸上，并且與直線都相切類型二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一、判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)2、代數(shù)法將點(diǎn)帶入：方程內(nèi)①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)二、已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（）則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約．1．（24-25高二上·陜西銅川·期中）已知點(diǎn)，圓，則（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．點(diǎn)在圓外 D．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定2．（24-25高二上·浙江臺(tái)州·期中）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·安徽·期末）已知點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．4．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）設(shè)，為實(shí)數(shù)，若直線與圓相切，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定5．“”是“圓不經(jīng)過第三象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件類型三、圓中過定點(diǎn)的問題1．（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點(diǎn)為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二下·河北張家口·月考）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知曲線：．(1)當(dāng)取何值時(shí)，方程表示圓？(2)求證：不論為何值，曲線必過兩定點(diǎn)．類型四、圓的方程中對稱條件的突破1．（24-25高二下·甘肅蘭州·期末）若圓關(guān)于直線對稱，則直線一定過點(diǎn)（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）圓關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二下·安徽銅陵·月考）已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（

）A．4 B．5 C．6 D．84．（24-25高二上·陜西榆林·期中）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·四川成都·期末）圓關(guān)于直線對稱后的方程為（

）A． B． C． D．類型五、圓的軌跡方程與實(shí)際問題1、求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．（2）定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．（3）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．（4）代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．2、坐標(biāo)法求軌跡方程的步驟（1）建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；（2）設(shè)點(diǎn)：用表示軌跡（曲線）上任意一點(diǎn)的的坐標(biāo)；（3）列式：列出關(guān)于的方程；（4）化簡：把方程化為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．1．（24-25高二上·江蘇徐州·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是．2．（24-25高二上·廣西·期中）已知為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則的方程為（

）A． B．C． D．3．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若=2，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．橢圓 B．射線 C．圓 D．直線4．（24-25高二上·海南·期中）據(jù)文獻(xiàn)及繪畫作品記載，中國最早的拱橋可以追溯到東漢或西晉時(shí)期.某拱橋及其示意圖如下，橋拱是一段圓弧，橋的跨度，拱高，與相距的支柱，則（

）A．5 B． C．15 D．5．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，則底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．（且） B．（且）C．（且） D．（且）6．（25-26高二上·重慶·開學(xué)考試）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)所連線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B． C． D．類型六、直線與圓的位置關(guān)系判斷及參數(shù)問題直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷．（3）直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系．1．（25-26高二上·全國·單元測試）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切C．相交且直線過圓心 D．相交但直線不過圓心2．（24-25高二下·湖北荊門·期末）設(shè)直線，圓，則與圓C（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能3．若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．已知直線和圓相離，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上·全國·單元測試）若圓：上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為3，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（25-26高二上·重慶·開學(xué)考試）直線的方程為，則圓上到直線距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．2 C．1 D．3類型七、切線方程、切線長、切點(diǎn)弦問題1、求圓的切線方程的三種方法（1）幾何法：設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出未知量，此種方法需要注意斜率不存在的情況，要單獨(dú)驗(yàn)證，若符合題意，則直接寫出切線方程．（2）代數(shù)法：設(shè)出切線方程后與圓的方程聯(lián)立消元，利用判別式等于零，求出未知量，若消元后的方程為一元一次方程，則說明要求的切線中，有一條切線的斜率不存在，可直接寫出切線方程．（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)：先利用切線的性質(zhì)解出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線的兩點(diǎn)式寫出切線方程．2、與圓的切線相關(guān)的結(jié)論（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過上一點(diǎn)的圓的切線方程為：（3）過外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則切點(diǎn)弦所在直線方程為：．（4）過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則過圓外一點(diǎn)的切線長為1．（24-25高二下·貴州黔西·期末）過原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二下·甘肅甘南·期末）過圓外的點(diǎn)作O的一條切線，切點(diǎn)為A，則（

）A． B． C． D．53．（24-25高二下·云南·開學(xué)考試）過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A． B． C． D．24．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后，與圓：相切，則反射后光線所在直線的斜率為（

）A． B． C．±3 D．5．（24-25高二上·福建南平·期末）過點(diǎn)作圓：的切線，，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．6．（25-26高二上·全國·單元測試）過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，則．7．（25-26高二上·河南駐馬店·月考）過原點(diǎn)O的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)．(1)過點(diǎn)P作圓C的切線m，求切線m的方程；(2)求弦的中點(diǎn)M的軌跡方程．類型八、直線與圓相交（含弦長問題）弦長問題（1）利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．（2）利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長．（3）利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點(diǎn)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．1．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）直線被圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·四川涼山·期末）若直線被圓截得的弦長為，則（

）A． B． C．2 D．3．（24-25高二下·北京·期中）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·福建廈門·期末）軸被圓截得的弦長為．5．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過圓與直線的交點(diǎn)，且在軸上的弦長為的圓的方程是．6．（24-25高二上·湖北孝感·月考）已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是線段的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)記（1）中所求軌跡為曲線C，過定點(diǎn)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，并且被曲線截得的弦長為，求直線l的方程．7．（24-25高二上·浙江溫州·期中）已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)問是否存在滿足以下兩個(gè)條件的直線：①斜率為1；②直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓過原點(diǎn).若存在這樣的直線，請求出其方程；若不存在，請說明理由.8．在平面直角坐標(biāo)系中，，過點(diǎn)作直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)．(1)若直線l的斜率為1，求；(2)設(shè)直線，的斜率分別是，，探索是不是定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由．類型九、圓與圓的位置關(guān)系及參數(shù)問題（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d．位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示交點(diǎn)個(gè)數(shù)01210d與，的關(guān)系（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．消元，一元二次方程1．（24-25高二下·安徽安慶·期末）已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切2．（24-25高二下·上?！て谥校﹫A與圓的位置關(guān)系不可能為（）A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離3．（24-25高二上·貴州黔南·月考）已知圓與圓外離，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足，則的取值可以為（

）A．1或3 B．2 C．3 D．1或56．（24-25高二下·河南信陽·月考）已知圓和圓相切，則類型十、公切線問題1、公切線的定義：與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，包括外公切線和內(nèi)公切線．2、兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線3、兩圓公切線方程的確定（1）當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個(gè)方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；（2）當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程．1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圓與圓有且僅有2條公切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·湖南·月考）圓：與圓：的內(nèi)公切線長為（

）A．3 B．5 C． D．43．（24-25高二下·河北秦皇島·期中）（多選題）與圓和圓都相切的直線方程可能為（

）A． B．C． D．4．（25-26高二上·全國·單元測試）圓：與圓的公切線條數(shù)是．5．（24-25高二上·山東濰坊·月考）已知圓與圓有且僅有一條公切線，則該公切線方程為.6．圓與圓的一條公切線長為（填入一個(gè)答案即可）．類型十一、公共弦問題1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程3、公共弦長的求法代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長．幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．1．（24-25高二下·海南?？凇ぴ驴迹┮阎獔A與圓相交于兩點(diǎn)A，B，則AB的直線方程為．2．（24-25高二下·上海徐匯·期中）兩圓和的公共弦長為．3．（24-25高二上·江蘇泰州·期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為．1．（24-25高二下·河南鶴壁·期末）過點(diǎn)可以作圓的切線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．無數(shù)條2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圓和圓，則它們的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相切C．內(nèi)含 D．相交3．（24-25高二上·江蘇·期中）已知曲線表示圓，且點(diǎn)在曲線外，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則為（

）A．2 B． C．3 D．5．（24-25高二上·四川樂山·期末）某圓拱橋的水面跨度12米，拱高4米，現(xiàn)有一船寬8米，則這條船能從橋下通過的水面以上最大高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)，）.A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米6．（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知等腰三角形的底邊對應(yīng)的頂點(diǎn)是，底邊的一個(gè)端點(diǎn)是，則底邊另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程是（

）A．B．C．D．8．已知圓和直線.若圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·甘肅蘭州·期中）曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（23-24高二上·重慶·月考）已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切11．（24-25高二上·廣東梅州·期末）（多選題）圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（24-25高二上·廣東深圳·期末）（多選題）已知圓，圓，則（

）A．的面積為B．若，則內(nèi)切C．若外切，則D．當(dāng)時(shí)，相交弦所在直線的方程為13．（23-24高二上·山東青島·期中）（多選題）已知圓，圓，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1C．圓和圓的公切線長為2D．圓和圓的公共弦所在的直線方程為14．（多選題）若圓：和：（）有且僅有一條公切線l，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓與圓內(nèi)切 B．C．公切線l的方程為 D．公切線l的方程為15．（23-24高二上·河南信陽·期中）圓恒過的定點(diǎn)是.16．（24-25高二下·遼寧撫順·開學(xué)考試）若圓與圓外切，則.17．（24-25高二下·湖南·月考）已知過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，則直線的方程為．18．（24-25高二下·江蘇南京·期末）圓與圓的公切線的條數(shù)是條．19．（24-25高二下·湖北·期中）已知圓和圓，則兩圓的公共弦長為.20．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為．21．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知與有且只有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．22．（24-25高二上·廣東潮州·