1/10專題12橢圓重點(diǎn)題型全歸納目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類(lèi)型一、橢圓的軌跡方程 1類(lèi)型二、橢圓中的焦點(diǎn)三角形 5類(lèi)型三、橢圓中的距離最值問(wèn)題 9類(lèi)型四、求橢圓的離心率 12類(lèi)型五、求橢圓離心率的范圍 16類(lèi)型六、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 20壓軸專練 25類(lèi)型一、橢圓的軌跡方程1、橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半叫做半焦距．2、橢圓定義的集合語(yǔ)言表示：3、對(duì)橢圓定義的理解：定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的．否則：①當(dāng)時(shí)，其軌跡為線段；②當(dāng)時(shí)，其軌跡不存在．1．（24-25高二上·重慶·月考）平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得已知方程的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義可求得軌跡方程.【詳解】由兩點(diǎn)間距離公式知：的幾何意義是點(diǎn)到與的距離之和為，，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，則，，，，，點(diǎn)軌跡方程為：.故選：B.2．已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A3．（24-25高二上·廣東梅州·期末）線段的長(zhǎng)度為，其兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，則線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)、，設(shè)線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，根據(jù)結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，再代入化簡(jiǎn)即可得出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，設(shè)線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，由題意可得，則，所以，，所以，，則，化簡(jiǎn)得，故線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.4．（25-26高二上·河南南陽(yáng)·月考）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切半徑關(guān)系可得：，根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，，，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，故長(zhǎng)半軸，半焦距,則短半軸

點(diǎn)軌跡方程為.故選：C.5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知的周長(zhǎng)為24，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【分析】由題意可得動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和大于兩定點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.【詳解】由題意可得，且，易知頂點(diǎn)的軌跡為去掉與軸上的交點(diǎn)的橢圓，可得其方程為，可得，，則，所以軌跡方程為.故答案為：.6．（25-26高二上·河北保定·月考）設(shè)向量，滿足.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.【答案】【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示及已知有，結(jié)合其幾何意義和橢圓的定義確定軌跡方程即可.【詳解】由題設(shè)，所以其幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為4，又，根據(jù)橢圓的定義知，的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，所以對(duì)應(yīng)橢圓參數(shù)為，故所求的軌跡方程為.故答案為：7．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】本題根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得點(diǎn)的軌跡是橢圓【詳解】連接，因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑，由垂直平分線的性質(zhì)可知，則，而，故點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為，的橢圓，且，即，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為．類(lèi)型二、橢圓中的焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形的求解思路（1）關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，可結(jié)合橢圓的定義，利用這個(gè)關(guān)系式便可求出結(jié)果，因此回歸定義式求解橢圓的焦點(diǎn)三角形的常用方法；（2）在橢圓中，焦點(diǎn)三角形引出的問(wèn)題很多，在處理這些問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用定義結(jié)合正弦定理、余弦定理及勾股定理來(lái)解決，還經(jīng)常用到配方法、解方程及把看成一個(gè)整體等．1．（25-26高二上·吉林長(zhǎng)春·月考）已知橢圓，其左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是橢圓E上任意一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，根據(jù)橢圓的定義可知，.所以的周長(zhǎng)為.因?yàn)闄E圓方程為，所以.所以的周長(zhǎng)為.故選：C.

2．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑為1，若P在第一象限，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）．A．2 B． C． D．【答案】B【分析】不妨令，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)可得答案．【詳解】如圖，不妨令，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，由，得，，，，所以．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)椋裕茫?/p>

故選：B.3．（23-24高二下·天津·月考）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】由題意結(jié)合橢圓定義推導(dǎo)出△是直角三角形，再求面積即可.【詳解】由可得：，則橢圓得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，可設(shè)，，由題意可知，，，，，△是直角三角形，其面積．故選：B．4．（25-26高二上·湖南永州·月考）已知經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)．【答案】【分析】由橢圓定義計(jì)算即可得.【詳解】由橢圓可得，則的周長(zhǎng).故答案為：.5．（25-26高二上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)且垂直于的直線與交于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)條件可得，然后根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】由橢圓，得，則，所以，過(guò)且垂直于的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，所以為線段的垂直平分線，所以，則的周長(zhǎng)為.故答案為：.

6．（25-26高二上·江蘇·月考）已知P是橢圓上的一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且則的面積是【答案】【分析】利用橢圓的定義、余弦定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可得，，在中，，由余弦定理，得，解得，因此.故答案為：.類(lèi)型三、橢圓中的距離最值問(wèn)題解決橢圓問(wèn)題的最常見(jiàn)思路（1）與焦半徑（橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑）乘積有關(guān)的最值問(wèn)題，一般利用橢圓的定義，根據(jù)基本不等式求解，注意等號(hào)成立的條件；（2）與，（為橢圓上一點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)）的和、差有關(guān)的最值問(wèn)題，一般利用平面幾何知識(shí)，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問(wèn)題求解．1．（24-25高二上·重慶北碚·期末）已知橢圓的方程為，則橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最小值為（

）.A．8 B．5 C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)，即可得點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最小值.【詳解】由橢圓方程知，橢圓上點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最小值為.故選：D2．（24-25高二上·貴州黔西·期末）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的周長(zhǎng)為6 B．面積的最大值為C．的取值范圍為 D．的最小值為【答案】D【分析】求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再結(jié)合橢圓的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，的周長(zhǎng)為，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)到直線距離的最大值為，則面積的最大值為，B正確；對(duì)于C，，解得，C正確；對(duì)于D，由，得，D錯(cuò)誤.故選：D3．橢圓上任一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】設(shè)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上利用兩點(diǎn)距離公式得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其中，由，可得，又由，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：B4．（25-26高二上·江蘇南通·月考）已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，然后化簡(jiǎn)，那么要求的最大值，即求的最大值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最大值為，最后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，圓的圓心為，其半徑，那么，所以.所以.所以要求的最大值，即求的最大值.因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最大值為.而，所以的最大值為.故選：B.5．（2025高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，利用橢圓的定義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系得出，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可.【詳解】

如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，所以，因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在和之間時(shí)，等號(hào)成立．由題意知，，則，所以的最小值為．故選：B．類(lèi)型四、求橢圓的離心率求橢圓的離心率通常有如下兩種方法（1）若給定橢圓的方程，則根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置確定，，求出的值，利用公式直接求解．（2）若橢圓方程未知,則根據(jù)條件及幾何圖形建立滿足的關(guān)系式，化為的齊次方程，得出的關(guān)系或化為的方程求解，此時(shí)要注意．1．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件得出，再利用公式可求出橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則，即，故橢圓的離心率為.故選：C.2．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，后由題及余弦定理可得，即可得答案.【詳解】設(shè),則，因，由余弦定理：，則，，則.故選：D3．（24-25高二上·浙江·期末）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓定義得出，在中利用余弦定理可得的值即可.【詳解】且，則，因，，則在中利用余弦定理可得，，解得，又，則.故選：C4．（24-25高二下·廣東廣州·期中）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，橢圓E右焦點(diǎn)為F，直線AF與E的另外一個(gè)交點(diǎn)為C，若，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，設(shè)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和定義可得，，在直角與中，分別利用勾股定理建立方程，解之即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)，由對(duì)稱性可知，由定義得，則，又，，所以，在直角中，由，即，解得.在直角中，，即，把代入整理得，由解得.故選：C5．（24-25高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)題目條件和橢圓定義表示其他邊長(zhǎng)，利用勾股定理得出和的關(guān)系，分別在和直角中表示，建立等量關(guān)系求出橢圓離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義，得，由，得，即，整理得，解得，則，即點(diǎn)在軸上，

如圖，在直角中，，在中，，化簡(jiǎn)得，所以橢圓的離心率.故選：D6．（24-25高二下·廣西梧州·月考）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：（）的右頂點(diǎn)為，以為直徑的圓與橢圓的三個(gè)公共點(diǎn)分別為，，，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓，圓和正方形的幾何性質(zhì)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入求出橢圓參數(shù)的關(guān)系，求出離心率.【詳解】以為直徑的圓，和橢圓關(guān)于軸對(duì)稱，則交點(diǎn)在中垂線上，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，代入橢圓：，得，即，解得.故答案為：.7．（25-26高二上·內(nèi)蒙古通遼·月考）已知橢圓：，過(guò)的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于，兩點(diǎn)，，則的離心率為.【答案】/【分析】利用的橫坐標(biāo)計(jì)算出，進(jìn)而可得，，進(jìn)而求解離心率.【詳解】將代入橢圓方程得，整理得，解得，因此，點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為和，，，則，因此.故答案為：類(lèi)型五、求橢圓離心率的范圍求橢圓離心率的取值范圍的方法（1）解析幾何中求參數(shù)取值范圍是一類(lèi)常見(jiàn)而又較難的題型，其基本的解題思路有:①建立目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用求函數(shù)值域的方法求解；②建立目標(biāo)變量的不等式，解不等式求解．（2）求解時(shí)，在用基本量表示出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)后，借助橢圓的范圍建立一個(gè)關(guān)于基本量的不等式組，進(jìn)而求解．1．（24-25高二上·河北邯鄲·期末）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，若，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，結(jié)合離心率公式即可求得范圍.【詳解】由題可知，所以．又因?yàn)?，所以，，所以C的離心率的取值范圍是，故選：D．2．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)橢圓定義可得，又，故，因此，故，故，故選：D3．（25-26高二上·江西贛州·月考）已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若，且，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義可得，由余弦定理可得，即可聯(lián)立求解，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，即，由，結(jié)合余弦定理可得，即可，故，可得，由，可得,進(jìn)而，則，解得.故選：B4．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍為．【答案】【分析】橢圓的對(duì)稱性可知，A，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得四邊形為平行四邊形，利用橢圓定義求出，，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離不小于，求出，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，為短軸的上端點(diǎn)，連接，，如圖，由橢圓的對(duì)稱性可知，A，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，又，所以四邊形為平行四邊形，則，又，解得，由點(diǎn)到直線的距離，解得，即，所以，故．故答案為：.5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，其中，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，則該橢圓離心率的取值范圍是．【答案】【分析】先設(shè)出點(diǎn)，借助向量數(shù)量積求得的軌跡，再利用橢圓的幾何性質(zhì)列出不等式求出即得.【詳解】設(shè)點(diǎn)，而，則，由，得，即，因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，而點(diǎn)在橢圓上，則圓與橢圓有公共點(diǎn)，由橢圓的幾何性質(zhì)知，即，亦即，整理得，即，所以橢圓離心率，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.6．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若該橢圓上存在不同兩點(diǎn)，，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)，，利用得到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，代入方程，進(jìn)而得，根據(jù)題意，構(gòu)建的齊次式，解不等式即得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則由，可得，所以①．又因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，滿足橢圓方程，所以②，由方程組①②可得，因?yàn)?，所以，即，解得．∴該橢圓的離心率的取值范圍是．故答案為：．類(lèi)型六、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解（1）利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟=1\*GB3①定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上；=2\*GB3②定量：依據(jù)條件及確定的值；=3\*GB3③寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）求橢圓方程時(shí)，若沒(méi)有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為；（3）當(dāng)橢圓過(guò)兩定點(diǎn)時(shí)，常設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)．1．（24-25高二上·湖北武漢·期末）阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出方程組，，進(jìn)而可解答.【詳解】根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.則，解得：，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.2．（24-25高二上·江西·月考）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓與橢圓：的離心率相同，且的長(zhǎng)軸長(zhǎng)比其短軸長(zhǎng)大4，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出橢圓的離心率，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知列方程即可.【詳解】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，由已知得，即①，又橢圓：的離心率為，所以②，①②聯(lián)立解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），的周長(zhǎng)為，且直線與的斜率之積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求得，設(shè)，由求得，進(jìn)而求解.【詳解】由的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義得，解得，所以，，設(shè)，則，可得，則，解得，所以橢圓C的方程，故選：A.4．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知橢圓方程為，若橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，則橢圓方程是．【答案】【分析】根據(jù)已知及橢圓性質(zhì)有，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求參數(shù)，即可得方程.【詳解】橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，聯(lián)立，解得，，根據(jù)，得，則橢圓方程是.故答案為：5．（24-25高二上·吉林·月考）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)都在軸上，且它們到原點(diǎn)的距離都是，是過(guò)的弦，且的周長(zhǎng)為12，則橢圓的方程為【答案】【分析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意，先求得，再由橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)都在軸上，設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)都到原點(diǎn)的距離都是，可得，又因?yàn)檫^(guò)的弦，且的周長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓的定義，可得，解得，所以，所以橢圓的方程為.故答案為：.6．（25-26高二上·山東泰安·月考）已知四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】分析可得不在橢圓上，在橢圓上，設(shè)橢圓方程為，將代入橢圓可得，求出橢圓方程.【詳解】因橢圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，其圖像關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，又恰有三點(diǎn)在橢圓上，可知兩點(diǎn)必在橢圓上，若點(diǎn)也在橢圓上，設(shè)橢圓方程為，則將坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，此方程組無(wú)解，故點(diǎn)不在橢圓上，因此，在橢圓上的三點(diǎn)為設(shè)橢圓方程為，將代入橢圓可得，，解得，所以橢圓方程為.故答案為：7．（25-26高二上·湖南常德·月考）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在x軸上，焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)．(3)過(guò)且與有相同的焦點(diǎn)；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意得，將代入到方程，結(jié)合求出即可；（2）設(shè)方程為將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出的值即可；（3）設(shè)所求橢圓方程，將代入求得的值即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題可得，將代入方程中得，又，，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)方程為則，解得，則所求橢圓方程為（3）由方程可知，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．則，設(shè)所求橢圓方程，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，代入方程得，解得（舍去），，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.1．（24-25高二上·廣東東莞·期末）已知邊長(zhǎng)為2的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是橢圓的左、右焦點(diǎn)和短軸兩個(gè)端點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)和焦距公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由題意，得，且焦點(diǎn)在x軸上，則，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：D.2．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，且橢圓過(guò)點(diǎn)，則橢圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可設(shè)橢圓方程為，且，利用橢圓定義及兩點(diǎn)間的距離公式求得，結(jié)合隱含條件求得，則可求出橢圓方程．【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)知焦點(diǎn)在軸上，且，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．根據(jù)橢圓定義知，故，．因此所求橢圓方程為．故選：B.另解

由焦點(diǎn)坐標(biāo)知焦點(diǎn)在軸上，且，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．直接代入因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以所求橢圓方程為．故選：3．（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）已知橢圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．或 C． D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出橢圓方程，將給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入，列出方程組求解即得.【詳解】設(shè)橢圓方程為：，因橢圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，于是得，解得，所以所求橢圓方程為.故選：A4．（25-26高二上·山西呂梁·月考）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C．6 D．8【答案】B【分析】結(jié)合橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，即可求解.【詳解】由題可知：，所以.如圖：.所以的周長(zhǎng)為.故選：B.5．（24-25高二上·四川成都·期中）已知曲線，點(diǎn)A為曲線C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，點(diǎn)P為AN上一點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，結(jié)合題意易得，再將將代入曲線即可求解.【詳解】設(shè)，，則，由，得，則，又A為曲線C上任意一點(diǎn)，則將代入，得，即，即.故選：C.6．（24-25高二下·海南?？凇て谥校┰趫A上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡方程（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)、，則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，由已知條件可得出，將代入等式，化簡(jiǎn)可得出軌跡的方程；【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，則，整理可得.因此，軌跡的方程為.故選：A.7．（24-25高二上·北京·期末）已知圓及點(diǎn)，在圓上任取一點(diǎn)，連接，將點(diǎn)折疊到點(diǎn)A，記與折痕的交點(diǎn)為（如圖）.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接由題意可得：，符合橢圓定義，且得到長(zhǎng)半軸和半焦距，再由求得，可求點(diǎn)的軌跡方程可求．【詳解】連接，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4．因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)折疊到點(diǎn)A，記與折痕的交點(diǎn)為，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A．8．（24-25高二上·山東煙臺(tái)·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中位線性質(zhì)得出焦點(diǎn)的周長(zhǎng)，從而求得半焦距．【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，而是中點(diǎn)，所以，所以的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的一半，又的周長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)是，即，得，又，所以，．故選：B．9．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出并進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)橢圓的有界性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出的最大值.【詳解】設(shè)，，且，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取最大值，所以，故選：C.10．（24-25高二上·福建福州·期末）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，，，可得的面積.【詳解】在橢圓中，，，，則，點(diǎn)在上，，所以，則.故選：A11．（23-24高二上·河北邯鄲·期中）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)同角關(guān)系可得，由等面積法，結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】由橢圓可得，，，所以，，所以，故.在中，，因?yàn)?，且，所以，設(shè)P的坐標(biāo)為，且，所以，所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為.故選：C.

12．（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入橢圓方程，再結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解．【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可得，因?yàn)闉橹苯侨切蝿t，則不妨設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，所以，所以的離心率．故選：B.13．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，根據(jù)點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)能夠推導(dǎo)出橢圓離心率的取值范圍．【詳解】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸、半焦距分別為，，，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓．又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，所以該圓內(nèi)含于橢圓，即，所以，則．，，即橢圓離心率的取值范圍是．故選：C．14．（24-25高二下·湖南·月考）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分線段，且交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)條件易得，結(jié)合圖形將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，從而求得的值，即得橢圓方程.【詳解】如圖，因經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分線段，則，即，因，則的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，即，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D．15．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得線段的中垂線恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)焦半徑的取值范圍得到關(guān)于，的不等關(guān)系，進(jìn)而可求離心率范圍．【詳解】因?yàn)榫€段的中垂線恰好過(guò)焦點(diǎn)，所以，由焦半徑的范圍可知，即，則且，解得.故選：B．16．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題目條件求橢圓的方程，進(jìn)而由橢圓的定義及兩點(diǎn)間線段最短求兩線段長(zhǎng)度之和的最大值【詳解】設(shè)半焦距為，因?yàn)椋?又過(guò)點(diǎn)，故.由橢圓得，代入解得，.即，.所以的方程為.

設(shè)的左焦點(diǎn)為，故.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以.因此.當(dāng)且僅當(dāng)，，在一條直線上時(shí)，等號(hào)成立.故選：17．（24-25高二上·陜西西安·月考）已知是曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值，結(jié)合橢圓的定義與三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)榍€：可化為，為橢圓，則，故橢圓左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，又圓：的圓心恰好是，則，

又在橢圓中，有，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段與橢圓的交點(diǎn)處，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)處，等號(hào)成立.故選：D.18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義可得，，結(jié)合勾股定理列方程可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理可求得，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，如圖所示，由橢圓的定義可知，，則，同理，則，因?yàn)?，則，則，化簡(jiǎn)可得，則，則（舍去）或，所以，所以為橢圓的上（或下）頂點(diǎn)，又，所以在中，，解得，即.故選：A19．（24-25高二上·山東泰安·期末）已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓定義得出，再結(jié)合余弦定理得出，進(jìn)而得出離心率.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，因?yàn)?，則，，在中，，所以，所以，所以，所以.故選：D.20．（24-25高二上·河北邯鄲·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別，，是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)，從而得到所需線段關(guān)于的表示，再利用勾股定理與余弦定理依次求得關(guān)于的表示，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)椋环猎O(shè)，則，由橢圓的定義與對(duì)稱性可得，，，因?yàn)?，所以，則，解得，則，故，則在中，由，得，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C.21．（24-25高二下·上海楊浦·期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓存在一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率取值范圍為（