中考數(shù)學(xué)幾何模型10:胡不歸最值模型

名師點(diǎn)睛---------------------------------------------------拔開(kāi)云霧開(kāi)門見(jiàn)山

在前面的最值問(wèn)題中往往都是求某個(gè)線段最值或者形如PA^PB最值，除此之外我們還可能會(huì)遇上形如

“以+AP”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問(wèn)題：（1）胡不歸問(wèn)題：（2）阿氏圓.

【故事介紹】

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,

雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小

伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同"何”）

而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家?

砂石地

驛道

AC

【模型建立】

如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為VI,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且0VV2,4、B為定點(diǎn)、,

點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使華+器的值最小.

丫2乂

【問(wèn)題分析】

—+—=lfBC+-^AcL記出=乜，即求8C+MC的最小值.

%VV2J匕

【問(wèn)題解決】

構(gòu)造射線4。使得sin/DANY,即——=k,CH=kAC.

AC

CH=kAC

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+C"最小值，過(guò)B點(diǎn)作交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn)、,此時(shí)BC+C”取到最小

值，即8C+MC最小.

【模型總結(jié)】

在求形如“附+APB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與相等的線段，將型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“必+PC

型.而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到桃B的等線段.

典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)

例題1.如圖，ZkABC中，AB=AC=}Q,tan/l=2,BELAC于點(diǎn)E,。是繾段BE上

A

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則6+當(dāng)即的最小值是./\

ZA

變式練習(xí)>>

1.如圖，平行四邊形ABCO中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CO上的一

動(dòng)點(diǎn)，則P8+名物的最小值等于_______.

2

例題2.如圖，4C是圓。的直徑，AC=4f

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么如科的最小值為（

A當(dāng)B飛C.D.1+V3

變式練習(xí)〉）

2.如圖，△A3C中，NA4C=30。且A8=AC,P是底邊上的高4”上一點(diǎn).若

AP+BP+CP的最小值為2b，則BC=

例題3.等邊三角形A8C的邊長(zhǎng)為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，

其中8C邊在x軸上，8C邊的高0A在丫軸上.一只電子蟲(chóng)從A出發(fā)，先沿y

軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲(chóng)在丫軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC

上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲(chóng)走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為.

變式練習(xí)＞?

3.如圖，△A8C在直角坐標(biāo)系中，AB=AC,A（0,2^2），C（1,0）,。為

射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)尸從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A—3—C,點(diǎn)P在上

的運(yùn)動(dòng)速度是在C。上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)。的坐標(biāo)應(yīng)為

返）D.（0,返）

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-4m+3交于A,8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在

點(diǎn)8的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。（點(diǎn)。在點(diǎn)

。的下方），設(shè)點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為r

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段CO的長(zhǎng)（用含機(jī)的式子表示）；

（2）直接用含，的式子表示〃，與，之間的關(guān)系式（不需寫(xiě)出f的取值范圍）；

（3）若CD=CB.①求點(diǎn)B的坐標(biāo);②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)產(chǎn)，使BF+^CF

5

的值最小，則滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

備用圖

變式練習(xí)＞?

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中將），=2x+l向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線

直線/1與x軸交于點(diǎn)C；直線，2：y=x+2與入?軸、y軸交于4、8兩點(diǎn)，且與

直線/i交于點(diǎn)D.

（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為一，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）直線。的表達(dá)式為；

（3）在直線上是否存在點(diǎn)E,使SOOE=2S^BO?若存在，則求出點(diǎn)E的坐

標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

（4）如圖2,點(diǎn)P為線段AO上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接。尸，一動(dòng)點(diǎn)”從C

出發(fā)，沿線段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再沿線段PD以每秒加個(gè)

單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。后停止，求點(diǎn)”在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P

的坐標(biāo).

圖1圖2

例題5.已知拋物線y=。（x+3）（x-1）（存0）,與x軸從左至右依次相交于

A、3兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=-J或+/?與拋物線的另一個(gè)

交點(diǎn)為D.

（1）若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式;

（2）若在（1）的條件下，拋物線上存在點(diǎn)尸，使得ZACP是以AC為直角邊

的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段4。上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接5E.一

動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)￡,再沿線段

ED以每秒竽個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，

點(diǎn)。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少?

備用圖備用圖

式練習(xí)＞?

5.如圖，已知拋物線產(chǎn)-/+云+c交工軸于點(diǎn)A（2,0）、3（-8,0）,交

），軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的。"與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

（1）求此拋物線的表達(dá)式及圓心用的坐標(biāo)；

（2）設(shè)夕為弧3C上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合）,連接A尸交y軸于點(diǎn)M

請(qǐng)問(wèn)：AP?AN是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）延長(zhǎng)線段8。交拋物線于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)產(chǎn)是線段8E上的任意一點(diǎn)（不含端

點(diǎn)），連接動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段A尸以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)R再沿線段所以每秒泥個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)尸的

坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？

備用圖

達(dá)標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)《3,6),點(diǎn)P為X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4P+gop

2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=60°,點(diǎn)M為對(duì)角線BD(不含

點(diǎn)B)上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù))=，￡+云+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),

B(0,-“)，C(2,0),其對(duì)稱軸與“軸交于點(diǎn)。.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)M使得以A,B,

M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸Q,求鏟臺(tái)+P。的最小值.

留用圖

4.【問(wèn)題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路3。距離為43的長(zhǎng)度，C為公

路3。上的酒店，從海島A到酒店C,先乘船到登陸點(diǎn)。，船速為小再乘汽車，

車速為船速的〃倍，點(diǎn)。選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短？

【特例分析】若〃=2,則時(shí)間，=必黑，當(dāng)。為定值時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在8c

a2a

上確定一點(diǎn)。，使得幽?皿的值最小.如圖②，過(guò)點(diǎn)C做射線CM,使得

a2a

=30。.

（1）過(guò)點(diǎn)。作O-CM,垂足為E,試說(shuō)明：。七=空；（2）請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出

2

所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)

【問(wèn)題解決】（3）請(qǐng)你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問(wèn)題.（寫(xiě)

出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）

【綜合運(yùn)用】（4）如圖③，拋物線），=-爭(zhēng)，/+3與x軸分別交于4B兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C,E為OB中點(diǎn)，設(shè)b為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接石E一

動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿著線段FC

以每秒立個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到。后停止.若點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)

3

求出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5.如圖，△ABC是等邊三角形.

(1)如圖1,。于“，點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿高線A”向下移動(dòng)，以CP

為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ,連接BQ.求NC8Q的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)。為△A5c內(nèi)任意一點(diǎn)，連接D4,DB,0c證明：以

DA,DB,DC為邊一定能組成一個(gè)三角形；

(3)在(1)的條件下，在P點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)工=42+2尸。，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)

路徑長(zhǎng)度為y,當(dāng)x取最小值時(shí)，寫(xiě)出羽y的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1圖2

6.如圖，已知拋物線y=K（x+2）（x-4）（%為常數(shù)，且心＞0）與x軸從左至

8

右依次交于43兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線），=-除什〃與拋

物線的另一交點(diǎn)為。.

（1）若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以4,B,尸為頂點(diǎn)的三角形與

△A3C相似，求左的值；

（3）在（1）的條件下，設(shè)尸為線段30上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF一

動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段A尸以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到扛再沿線段

尸。以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到。后停止，當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在

整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

7.已如二次函數(shù)），=-W+2x+3的圖象和x軸交于點(diǎn)A、8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

與y軸交于點(diǎn)C,

（1