2025年考研概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)事件A，B滿足P(A|B)=P(A)，且P(B)>0，則一定有（）。（A）A，B相互獨(dú)立（B）A?B（C）P(A|B^c)=P(A^c|B)（D）P(A^c|B^c)=1-P(A|B)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;(1+x)/2,0≤x<1;1,x≥1}，則E(X)為（）。（A）1/4（B）1/3（C）1/2（D）2/33.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差分別為DX=1，DY=4，且COV(X,Y)=1/2，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY為（）。（A）1/4（B）1/2（C）1/√2（D）√2/24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E(XY)為（）。（A）λ^2（B）λ（C）2λ（D）1/λ5.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，若要檢驗(yàn)H0:μ=μ0，則當(dāng)n固定時(shí)，減小犯第二類錯(cuò)誤的概率，下列做法中正確的是（）。（A）增大檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值（B）減小檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值（C）增大樣本容量n（D）減小樣本容量n二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。6.設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=1/3，P(B|A)=1/4，P(A|B)=1/2，則P(A∪B)=_______。7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c(1+x),-1≤x≤0;c(1-x),0<x≤1;0,其他}，則常數(shù)c=_______。8.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差COV(X,Y)=2，X的方差DX=1，Y的方差DY=5，則X和Y的線性組合Z=3X-2Y的方差DZ=_______。9.設(shè)總體X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布B(n,p)，X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，則樣本均值X?的數(shù)學(xué)期望E(X?)=_______，方差DX?=_______。10.從總體X中抽取樣本X1,X2,…,Xn，若用樣本方差S^2來估計(jì)總體方差σ^2，則S^2是σ^2的_______估計(jì)量（填“無偏”或“有偏”）。三、計(jì)算題：本大題共4小題，共45分。11.（本小題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，X的概率分布為P(X=k)=2k/(k+1)^2,k=1,2,3。Y服從參數(shù)為λ=1的指數(shù)分布。求：（1）隨機(jī)變量Z=2X+Y的數(shù)學(xué)期望E(Z)；（2）隨機(jī)變量Z的方差D(Z)。12.（本小題滿分12分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={ce^{-x-y},0<x<y<+\infty;0,其他}。（1）求常數(shù)c的值；（2）求條件概率P(Y≤1|X=1)。13.（本小題滿分9分）設(shè)總體X的均值E(X)=μ，方差DX=σ^2（σ^2>0）已知。X1,X2,…,Xn是來自X的樣本?？紤]統(tǒng)計(jì)量T=X?+aS^2，其中X?是樣本均值，S^2是樣本方差。（1）證明T是μ的無偏估計(jì)量；（2）求T的方差D(T)。14.（本小題滿分12分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)，其中μ未知。從總體中抽取容量為n=9的樣本，樣本均值為x?=20。現(xiàn)檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=18vsH1:μ>18。（1）寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布；（2）若顯著性水平α=0.05，求拒絕域；（3）若根據(jù)樣本算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為1.5，請(qǐng)做出統(tǒng)計(jì)決策。四、證明題：本大題共1小題，共15分。15.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)分布。證明：隨機(jī)變量Z=X^2+Y^2服從自由度為2的χ^2分布。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.C3.B4.A5.B二、填空題6.5/127.1/28.139.np,np(1-p)/n10.無偏三、計(jì)算題11.（1）E(X)=8/9，E(Y)=1。E(Z)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=8/9+1=17/9。（2）D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=40/81-(8/9)^2=232/729。X和Y獨(dú)立，D(Y)=1，D(Z)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4*(232/729)+1=1016/729。12.（1）∫0+∞∫x+∞ce^{-(x+y)}dydx=c∫0+∞e^{-x}[e^{-y}]|x+∞dx=c∫0+∞e^{-2x}dx=c*(1/2)=1。c=2。（2）fX(x)=∫x+∞2e^{-(x+y)}dy=2e^{-2x}。fX(1)=2e^{-2}。fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)=e^{-(y-x)}/(1+e^{-y})，y>x。P(Y≤1|X=1)=∫1+∞e^{-(y-1)}/(1+e^{-y})dy。令u=y-1，則du=dy。當(dāng)y=1時(shí)，u=0；當(dāng)y→+∞時(shí)，u→+∞。原式=∫0+∞e^{-u}/(1+e^{-u})du=∫0+∞(1-1/(1+e^{-u}))du=[u-ln(1+e^{-u})]|0+∞=(limu→+∞[u-ln(1+e^{-u})])-(0-ln(2))=0-(-ln(2))=ln(2)。13.（1）E(T)=E(X?+aS^2)=E(X?)+aE(S^2)。E(X?)=μ。E(S^2)=DX=σ^2。故E(T)=μ+ασ^2。因?yàn)镋(X)=μ，DX=σ^2已知，所以E(X?)=μ，E(S^2)=DX=σ^2。故E(T)=μ+ασ^2=μ。T是μ的無偏估計(jì)量。（2）D(T)=D(X?+aS^2)=D(X?)+a^2D(S^2)。D(X?)=DX/n=σ^2/n。對(duì)于正態(tài)總體，S^2是σ^2的無偏估計(jì)量，且有D(S^2)=2σ^4/n。故D(T)=σ^2/n+a^2*(2σ^4/n)=σ^2/n(1+2a^2σ^2)。14.（1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T=(x?-μ0)/(σ/√n)=(x?-18)/(4/√9)=(x?-18)/(4/3)=(3/4)(x?-18)。當(dāng)H0為真時(shí)，μ=18，T~N(0,1)。（2）顯著性水平α=0.05，單尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)門>zα。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，z0.05=1.645。拒絕域?yàn)?3/4)(x?-18)>1.645，即x?>18+(4/3)*1.645=18+2.26=20.26。拒絕域?yàn)閧x?