專升本數(shù)學(xué)專業(yè)2025年概率論測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)事件A，B，則事件“A發(fā)生，B不發(fā)生”可以表示為（）。（A）A·B（B）A·B（C）A·B（D）A·B2.一個袋中有5個紅球和3個白球，它們除顏色外完全相同。從中隨機連續(xù)抽取兩個球（不返回），則抽到的兩個球顏色不同的概率為（）。（A）（B）（C）（D）3.設(shè)隨機變量X的分布律為P(X=k)=k/15,k=1,2,3,5，則E(X)的值為（）。（A）2（B）3（C）4（D）54.設(shè)隨機變量X～N(μ,σ2)，則隨機變量Y=aX+b（a≠0）的分布為（）。（A）N(μ,σ2)（B）N(aμ+b,σ2)（C）N(μ,a2σ2)（D）N(aμ+b,a2σ2)5.設(shè)隨機變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=1，Y的方差D(Y)=4，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)為（）。（A）1/2（B）1/√2（C）1（D）2二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。請將答案填在題中橫線上。6.若事件A，B相互獨立，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，則P(A∪B)=_______。7.設(shè)隨機變量X～B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=2，則np=_______。8.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-x/2}&x>0\\0&x≤0\end{cases}，則P(X>1)=_______。9.設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為EX=1，EY=2，方差分別為DX=1，DY=4，且Cov(X,Y)=1，則E[(X+2Y-1)2]=_______。10.設(shè)總體X～N(μ,σ2)，X?，X?，…，X?是來自總體X的一個樣本，樣本均值為\overline{X}，樣本方差為S2，則\overline{X}～_______，且\frac{4S2}{σ2}～_______。三、解答題：本大題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.（本小題滿分10分）甲、乙兩人約定在下午1點到2點之間在某地會面。他們約定先到者等待另一人15分鐘，過時就離開。假設(shè)兩人在下午1點到2點之間（60分鐘內(nèi)）的任何時刻到達都是等可能的，求兩人能會面的概率。12.（本小題滿分12分）設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=\begin{cases}0&x≤0\\\frac{x^2}{4}&0<x≤2\\1&x>2\end{cases}。（1）求P(X≤1)；（2）求X的密度函數(shù)f(x)；（3）求P(X2≤1)。13.（本小題滿分12分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,4)。（1）求隨機變量Z=X+2Y的分布；（2）求E(X2Y)。14.（本小題滿分12分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x;θ)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1}&0<x<1\\0&其他\end{cases}，θ>0為未知參數(shù)。X?，X?，…，Xn是來自總體X的一個樣本。（1）求θ的矩估計量；（2）求θ的極大似然估計量。15.（本小題滿分12分）設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示（表中P(X=x,Y=y)）：||Y=0|Y=1|Y=2||-------|--------|--------|--------||X=0|a|0.1|0.2||X=1|0.2|b|c||X=2|0.1|0.1|d|其中a,b,c,d為未知常數(shù)。已知E(X)=1，Var(Y|X=1)=1。（1）求a,b,c,d的值；（2）求X和Y是否相互獨立？說明理由。試卷答案一、選擇題：1.B2.C3.B4.D5.A二、填空題：6.0.557.38.1/e9.810.N(1,0.2),χ2(4)三、解答題：11.解析：設(shè)X為甲到達時刻，Y為乙到達時刻，單位為分鐘。X,Y～U(0,60)。兩人能會面，需滿足|X-Y|≤15。所求概率P=P(|X-Y|≤15)=∫???[max(0,x-15)]/3600dx+∫???[max(0,15-y)]/3600dy=∫?1??(x-15)/3600dx+∫?1??(15-y)/3600dy+∫???(y-15)/3600dy=(1/2)*(152-02)/3600+(1/2)*(152-02)/3600+(1/2)*(562-412)/3600=450/3600+450/3600+450/3600=1350/3600=3/8.答案：3/8.12.解析：（1）P(X≤1)=F(1)=12/4=1/4.（2）f(x)=F'(x)=\begin{cases}x/2&0<x≤2\\0&其他\end{cases}.（3）P(X2≤1)=P(-1≤X≤1)=F(1)-F(0)=1/4-0=1/4.答案：1/4；f(x)=x/2(0<x≤2)；1/4.13.解析：（1）X～N(0,1),Y～N(0,4)?Y=2Z,Z～N(0,1)。X,Z相互獨立。Z=X+2Y=X+2(2Z)=X+4Z。由于X與Z獨立，且均服從N(0,1)，故X+4Z仍服從N(0,12+42)=N(0,17)。（2）X～N(0,1)?E(X)=0,E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=1+02=1.Y=2Z,E(Y)=E(2Z)=2E(Z)=0,E(Y2)=E[(2Z)2]=4E(Z2)=4Var(Z)+[E(Z)]2=4*1+02=4.X,Y相互獨立?E(XY)=E(X)E(Y)=0*4=0.E(X2Y)=E(X2)E(Y)=1*4=4.答案：N(0,17)；4.14.解析：（1）E(X)=∫?1x*θx^θ-1dx=θ∫?1x^θdx=θ*[x^θ+1/(θ+1)]?1=θ/(θ+1).令E(X)=θ/(θ+1)=μ(樣本均值)，則θ/(θ+1)=μ?θ=μ/(1-μ).矩估計量θ?=X?=1/n*Σ??X?.（2）設(shè)樣本觀測值為x?,x?,…,xn，似然函數(shù)L(θ)=Π??θx?^θ-1=θ?*[Π??x?]^θ-1.令L'(θ)=0?nθ^(n-1)*[Π??x?]^θ-1+θ?*[(Π??x?)]^θ*ln(Π??x?)=0.?θ^(n-1)*[Π??x?]^(θ-1)*[n*[Π??x?]-θn*ln(Π??x?)]=0.由于θ^(n-1)*[Π??x?]^(θ-1)>0，需n*[Π??x?]-θn*ln(Π??x?)=0.?θ=[Π??x?]/ln(Π??x?)=(1/n*Σ??x?)/ln(1/n*Σ??x?).極大似然估計量θ?=(1/n*Σ??X?)/ln(1/n*Σ??X?).答案：θ?=X?；θ?=(1/n*Σ??X?)/ln(1/n*Σ??X?).15.解析：（1）由邊緣分布性質(zhì)：P(X=0)=a+0.1+0.2=a+0.3=0.4?a=0.1.P(Y=0)=a+0.2+0.1=0.4=0.3+0.2+0.1?(此式為檢查，已滿足)P(X=1)=0.2+b+0.1=b+0.3=0.2+0.1+0.1=0.4?b=0.1.P(Y=2)=0.2+0.1+d=0.3+d=0.1+0.1=0.2?d=0.1.檢驗：a+b+c+d=0.1+0.1+0.1+0.1=0.4.表格概率和應(yīng)為1，計算有誤。重新計算邊緣分布：P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)=a+0.2+0.1=0.4?a=0.1.P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=0.1+b+0.1=0.2+0.1=0.3?b=0.1.P(Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=2)=0.2+c+0.1=0.3+0.1=0.4?c=0.1.P(X=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0.1+0.1+d=0.2+d=0.1+0.1=0.2?d=0.1.再次檢驗：a+b+c+d=0.1+0.1+0.1+0.1=0.4.表格概率和仍不為1。問題可能在題目給定的邊緣分布和聯(lián)合分布的初始值上。假設(shè)題目無筆誤，重新審視條件。P(X=2,Y=0)=0.1,P(X=2,Y=1)=0.1,P(X=2,Y=2)=d=0.1.P(X=1,Y=0)=0.2,P(X=1,Y=1)=b=0.1,P(X=1,Y=2)=c.P(X=0,Y=0)=a=0.1,P(X=0,Y=1)=0.1,P(X=0,Y=2)=0.2.邊緣分布P(Y=0)=a+0.2+0.1=0.4?a=0.1.邊緣分布P(Y=1)=0.1+b+0.1=0.2+b.P(X=1)=0.2+b+c=0.3+c.邊緣分布P(X=1)=0.2+0.1+c=0.3+c.邊緣分布P(Y=2)=0.2+c+0.1=0.3+c.P(X=2)=0.1+0.1+d=0.2+d.邊緣分布P(X=2)=0.1+0.1+d=0.2+d.P(Y=1)=0.2+b,P(Y=2)=0.3+c.P(X=1)=0.3+c,P(X=2)=0.2+d.方差條件Var(Y|X=1)=P(Y=0|X=1)P(X=1,Y=0)+P(Y=1|X=1)P(X=1,Y=1)+P(Y=2|X=1)P(X=1,Y=2)=1.P(Y=0|X=1)=0.2/(0.2+b+c),P(Y=1|X=1)=b/(0.2+b+c),P(Y=2|X=1)=c/(0.2+b+c).1=[0.2/(0.2+b+c)]*0.2+[b/(0.2+b+c)]*b+[c/(0.2+b+c)]*c=(0.04+b2+c2)/(0.2+b+c).令s=b+c.1=(0.04+b2+c2)/(0.2+s).0.04+b2+c2=0.2+s.又P(X=1)=0.3+c=0.3+s.P(Y=1)=0.2+b=s.0.04+b2+c2=0.2+b+c.(b+c)2-(b+c)-0.16=0.s2-s-0.16=0.s=[1±√(1+0.64)]/2=[1±√1.64]/2.√1.64≈1.28.s=[1±1.28]/2.s?=(1+1.28)/2=1.14.s?=(1-1.28)/2=-0.14.s=b+c只能非負，故s=1.14.P(X=1)=0.3+s=1.44.P(Y=1)=s=1.14.這導(dǎo)致P(X=1)+P(Y=1)=1.44+1.14=2.58>1，矛盾。結(jié)論：題目條件矛盾，無法求出唯一解。假設(shè)題目意圖是P(X=1,Y=1)=0.1,P(X=1)=0.3,P(Y=1)=0.2。則b=0.1.s=P(X=1)=0.3+c=0.2+0.1=0.3?c=0.1.P(Y=0|X=1)=0.2/0.3=2/3.P(Y=1|X=1)=0.1/0.3=1/3.P(Y=2|X=1)=0.1/0.3=1/3.Var(Y|X=1)=(2/3)2*(0.2)+(1/3)2*(0.1)+(1/3)2*(0.1)-(2/3)2=4/45-4/9=-16/45.不滿足Var(Y|X=1)=1.結(jié)論：題目條件矛盾或存在筆誤。若強行求解，假設(shè)a=0.1,b=0.1,c=0.1,d=0.1，滿足邊緣和為1，但條件不滿足。假設(shè)題目條件無誤，重新審視計算過程或題目本身。為完成題目，采用一種設(shè)定，例如b=0.1,c=0.1,d=0.1,a=0.1，檢查一致性。P(X=1)=0.2+b+c=0.2+0.1+0.1=0.4.P(X=2)=0.1+0.1+d=0.2+d=0.2+0.1=0.3.邊緣P(X=1)=0.4.邊緣P(X=2)=0.3.P(Y=1)=0.1+b+0.1=0.1+0.1+0.1=0.3.P(Y=2)=0.2+c+0.1=0.2+0.1+0.1=0.4.邊緣P(Y=1)=0.3.邊緣P(Y=2)=0.4.P(Y=0)=a+0.2+0.1=0.1+0.2+0.1=0.4.邊緣P(Y=0)=0.4.一致。P(Y=0|X=1)=0.2/0.4=1/2.P(Y=1|X=1)=0.1/0.4=1/4.P(Y=2|X=1)=0.1/0.4=1/4.Var(Y|X=1)=(1/2)2*(0.4)+(1/4)2*(0.4)+(1/4)2*(0.4)-