一、解答題1．如圖1，以直角的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)，，并且滿足．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸負(fù)方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束；線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．是否存在，使得與的面積相等？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，若，點(diǎn)是第二象限中一點(diǎn)，并且平分，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論．解析：（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4時(shí)，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∠DOG+∠ACE=∠OHC【分析】（1）利用非負(fù)性即可求出a，b即可得出結(jié)論；（2）先表示出OQ，OP，利用面積相等，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠OAC=∠AOD，進(jìn)而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠DOG，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0），故答案為（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由運(yùn)動(dòng)知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴S△ODQ=OQ×|xD|=t×4=2t，S△ODP=OP×|yD|=（8-2t）×3=12-3t，∵△ODP與△ODQ的面積相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4時(shí)，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∴∠GOD+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x軸⊥y軸，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°，又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD，∵y軸平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD，∴∠GOA=∠OAC，∴OG∥AC，如圖，過(guò)點(diǎn)H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠DOG=∠FHO，∴∠DOG+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠DOG+∠ACE=∠OHC．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了非負(fù)性的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標(biāo)系中描出下列兩組點(diǎn)，分別將每組里的點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)．第一組：、；第二組：、．（1）線段與線段的位置關(guān)系是；（2）在（1）的條件下，線段、分別與軸交于點(diǎn)，.若點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接、，補(bǔ)全圖形，用等式表示、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②當(dāng)與面積相等時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：（1）AC∥DE；（2）①∠CAM＋∠MDE＝∠AMD，證明見(jiàn)解析；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，連線平行x軸進(jìn)行判斷即可；（2）①過(guò)點(diǎn)M作MN∥AC，運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)即可；②設(shè)M（0，m），分兩種情況：（i）當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上時(shí)，（ii）當(dāng)點(diǎn)M在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別運(yùn)用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵A（?3，3）、C（4，3），∴AC∥x軸，∵D（?2，?1）、E（2，?1），∴DE∥x軸，∴AC∥DE；（2）①如圖，∠CAM＋∠MDE＝∠AMD．理由如下：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AC，∵M(jìn)N∥AC（作圖），∴∠CAM＝∠AMN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AC∥DE（已知），∴MN∥DE（平行公理推論），∴∠MDE＝∠NMD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠CAM＋∠MDE＝∠AMN＋∠NMD＝∠AMD（等量代換）．②由題意，得：AC＝7，DE＝4，設(shè)M（0，m），（i）當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上時(shí)，BM＝3?m，F(xiàn)M＝m＋1，∴S△ACM＝AC?BM＝×7×（3?m）＝，S△DEM＝DE?FM＝×4×（m＋1）＝2m＋2，∵S△ACM＝S△DEM，∴＝2m＋2，解得：m＝，∴M（0，）；（ii）當(dāng)點(diǎn)M在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BM＝m?3，F(xiàn)M＝m＋1，∴S△ACM＝AC?BM＝×7×（m?3）＝，S△DEM＝DE?FM＝×4×（m＋1）＝2m＋2，∵S△ACM＝S△DEM，∴＝2m＋2，解得：m＝，∴M（0，）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積，平行坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行線的判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想．3．如圖，在下面直角坐標(biāo)系中，已知，，三點(diǎn)，其中，，滿足關(guān)系式．（1）求，，的值；（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，請(qǐng)用含的式子表示四邊形的面積；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積與三角形的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）a=2，b=3，c=4；（2）S四邊形ABOP=3-m；（3）存在，P（-3，）．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可解答；（2）四邊形ABOP的面積=△APO的面積+△AOB的面積，即可解答；（3）存在，根據(jù)面積相等求出m的值，即可解答．【詳解】解：（1）由已知可得：a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得：a=2，b=3，c=4；（2）∵a=2，b=3，c=4，∴A（0，2），B（3，0），C（3，4），∴OA=2，OB=3，∵S△ABO=×2×3=3，S△APO=×2×（-m）=-m，∴S四邊形ABOP=S△ABO+S△APO=3+（-m）=3-m（3）存在，∵S△ABC=×4×3=6，若S四邊形ABOP=S△ABC=3-m=6，則m=-3，∴存在點(diǎn)P（-3，）使S四邊形ABOP=S△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c．4．如圖所示，A（1，0）、點(diǎn)B在y軸上，將三角形OAB沿x軸負(fù)方向平移，平移后的圖形為三角形DEC，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2）．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿“BC→CD”移動(dòng)．若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，回答下列問(wèn)題：①當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；②求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)，（用含t的式子表示，寫(xiě)出過(guò)程）；③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CD上時(shí)，設(shè)∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，試問(wèn)x，y，z之間的數(shù)量關(guān)系能否確定？若能，請(qǐng)用含x，y的式子表示z，寫(xiě)出過(guò)程；若不能，說(shuō)明理由．解析：（1）（-2，0）；（2）①t=2；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（-t，2），當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（-3，5-t）；③能確定，z=x+y．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，2）．得到BC=3，CD=2，由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；于是確定點(diǎn)P在線段BC上，有PB=CD，即可得到結(jié)果；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（-t，2），當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（-3，5-t）；③如圖，過(guò)P作PF∥BC交AB于F，則PF∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可得三角形OAB沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位得到三角形DEC，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-2，0）；故答案為：（-2，0）；（2）①∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，2）∴BC=3，CD=2，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；∴點(diǎn)P在線段BC上，∴PB=CD，即t=2；∴當(dāng)t=2秒時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；故答案為：2；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（-t，2），當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（-3，5-t）；③能確定，如圖，過(guò)P作PF∥BC交AB于F，則PF∥AD，∠1=∠CBP=x°，∠2=∠DAP=y°，∴∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=z°，∴z=x+y．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化-平移，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，同時(shí)將點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D．連接AC，BD（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，并描出A、B、C、D點(diǎn)，求四邊形ABDC面積；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，連接PA、PC使S△PAC＝S四邊形ABCD？若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）（0，2），（4，2），見(jiàn)解析，ABDC面積：8；（2）存在，P的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．【解析】【分析】（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）分點(diǎn)P在x軸和y軸上兩種情況，依據(jù)S△PAC＝S四邊形ABCD求解可得．【詳解】（1）由題意知點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1+1，0+2），即（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3+1，0+2），即（4，2），如圖所示，S四邊形ABDC＝2×4＝8；（2）當(dāng)P在x軸上時(shí)，∵S△PAC＝S四邊形ABCD，∴，∵OC＝2，∴AP＝8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）；當(dāng)P在y軸上時(shí)，∵S△PAC＝S四邊形ABCD，∴，∵OA＝1，∴CP＝16，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，18）或（0，﹣14）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足+|b﹣2|＝0，D為線段AC的中點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．（1）則A點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)C的坐標(biāo)為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿y軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．問(wèn)：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠FOC＝∠FCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，連OG，使得∠AOG＝∠AOF．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連CE交OF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)確定∠OHC，∠ACE和∠OEC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．解析：（1），，；（2）存在，；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a，b的值，得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，再運(yùn)用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可得CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根據(jù)S△ODP=S△ODQ，列方程求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AC交x軸于點(diǎn)P，先證明OG∥AC，再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線性質(zhì)，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入可得．【詳解】解：（1），，，，，，，設(shè)，為線段的中點(diǎn)．，，，故答案為：，，；（2）存在，．由條件可知：點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)需要時(shí)間為2秒，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)需要時(shí)間2秒，，點(diǎn)在線段上，，，，，，，，，．（3）如圖2，，，，，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，則，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等，是一道三角形綜合題，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．7．已知A（0，a）、B（b，0），且+（b﹣4）2＝0．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)滿足S△ABC＝15．①如圖1，平移直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②如圖2，若點(diǎn)F（m，10）滿足S△ACF＝10，求m．（3）如圖3，D為x軸上B點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)，把點(diǎn)A沿y軸負(fù)半軸方向平移，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線l，在直線l上取兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)H在點(diǎn)G右側(cè)），滿足HB＝8，GD＝6．當(dāng)點(diǎn)A平移到某一位置時(shí)，四邊形BDHG的面積有最大值，直接寫(xiě)出面積的最大值．解析：（1）A（0，5），B（4，0）；（2）①E（0，﹣）；②﹣2或6；（3）24．【分析】（1）根據(jù)二次根式和偶次冪的非負(fù)性得出a，b解答即可；（2）①根據(jù)三角形的面積公式得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；②延長(zhǎng)CA交直線l于點(diǎn)H（a，10），過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)三角形面積公式解答即可；（3）平移GH到DM，連接HM，根據(jù)三角形面積公式解答即可．【詳解】解：（1）∵，且，（b﹣4）2≥0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，解得：a＝5，b＝4，∴A（0，5），B（4，0）；（2）①連接BE，如圖1，∵，∴BC＝6，∴C（﹣2，0），∵AB∥CE，∴S△ABC＝S△ABE，∴，∴AE＝，∴OE＝，∴E（0，﹣）；②∵F（m，10），∴點(diǎn)F在過(guò)點(diǎn)G（0，10）且平行于x軸的直線l上，延長(zhǎng)CA交直線l于點(diǎn)H（a，10），過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸于點(diǎn)M，則M（a，0），如圖2，∵S△HCM＝S△ACO+S梯形AOMH，∴，解得：a＝2，∴H（2，10），∵S△AFC＝S△CFH﹣S△AFH，∴，∴FH＝4，∵H（2，10），∴F（﹣2，10）或（6，10），∴m＝﹣2或6；（3）平移GH到DM，連接HM，則GD∥HM，GD＝HM，如圖3，四邊形BDHG的面積＝△BHM的面積，當(dāng)BH⊥HM時(shí)，△BHM的面積最大，其最大值＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)及平移的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形與坐標(biāo)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．已知直線AB//CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?2°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按逆時(shí)針?lè)较蛎棵?°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間10秒時(shí)，PB'與QC'的位置關(guān)系為；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)15秒，射線PB才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為多少秒時(shí)，PB′//QC′．解析：（1）PB′⊥QC′；（2）當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′【分析】（1）求出旋轉(zhuǎn)10秒時(shí)，∠BPB′和∠CQC′的度數(shù)，設(shè)PB′與QC′交于O，過(guò)O作OE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠POE和∠QOE的度數(shù)，進(jìn)而得結(jié)論；（2）分三種情況：①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，③當(dāng)30＜t＜45時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．【詳解】解：（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，過(guò)O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD，∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，∴∠POQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案為：PB′⊥QC′；（2）①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，如圖，則∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；③當(dāng)30＜t≤45時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問(wèn)題．9．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請(qǐng)你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）解析：（1）見(jiàn)解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，則有，，，，；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．10．如圖，∠EBF＝50°，點(diǎn)C是∠EBF的邊BF上一點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)A從點(diǎn)B出發(fā)在∠EBF的邊BE上，沿BE方向運(yùn)動(dòng)，在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有過(guò)點(diǎn)A的射線AD∥BC．（1）在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，（填“是”或“否”）存在某一時(shí)刻，使得AD平分∠EAC？（2）假設(shè)存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之間有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AC⊥BC時(shí)，直接寫(xiě)出∠BAC的度數(shù)和此時(shí)AD與AC之間的位置關(guān)系．解析：（1）是；（2）∠B＝∠ACB，證明見(jiàn)解析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．【分析】（1）要使AD平分∠EAC，則要求∠EAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，則當(dāng)∠ACB＝∠B時(shí)，有AD平分∠EAC；（2）根據(jù)角平分線可得∠EAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，則有∠ACB＝∠B；（3）由AC⊥BC，有∠ACB＝90°，則可求∠BAC＝40°，由平行線的性質(zhì)可得AC⊥AD．【詳解】解：（1）是，理由如下：要使AD平分∠EAC，則要求∠EAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，則當(dāng)∠ACB＝∠B時(shí)，有AD平分∠EAC；故答案為：是；（2）∠B＝∠ACB，理由如下：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，∴∠B＝∠ACB．（3）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠EBF＝50°，∴∠BAC＝40°，∵AD∥BC，∴AD⊥AC．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線和平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和平行線的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，已知，是的平分線．（1）若平分，求的度數(shù)；（2）若在的內(nèi)部，且于，求證：平分；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，但與、始終有交點(diǎn)，問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．解析：（1）90°；（2）見(jiàn)解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據(jù)垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過(guò)，分別作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解．【詳解】解（1），分別平分和，，，，；（2），，即，，是的平分線，，，又，，又在的內(nèi)部，平分；（3）如圖，不發(fā)生變化，，過(guò)，分別作，，則有，，，，，，，，，，，，不變．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知直線射線CD，．P是射線EB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQEC交射線CD于點(diǎn)Q，連接CP．作，交直線AB于點(diǎn)F，CG平分．（1）若點(diǎn)P，F(xiàn)，G都在點(diǎn)E的右側(cè)，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P，F(xiàn)，G都在點(diǎn)E的右側(cè)，，求的度數(shù)；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠PCG的度數(shù)；（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根據(jù)PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；（3）設(shè)∠EGC=4x，∠EFC=3x，則∠GCF=4x-3x=x，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，∴∠ECQ=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；（2）∵AB∥CD∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=（80°-50°）=15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=65°；（3）設(shè)∠EGC=4x，∠EFC=3x，則∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，則∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=x，∵∠ECD=80°，∴x+x+x+x=80°，解得x=16°，∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°；②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，則∠ECG=∠GCF=x，∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，∴180°-4x=80°+x，解得x=20°，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，∴∠PCQ＝∠FCQ＝60°，∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．13．已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的角分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數(shù)；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠M與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系解析：（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，連結(jié)MF，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可求∠M的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【詳解】解：（1）如圖1，作，，連結(jié)，，，，，，，，，，和的角平分線相交于，，，、分別是和的角平分線，，，，；（2）如圖1，，，，，與兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)，，，，，，；（3）由（2）結(jié)論可得，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)．14．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過(guò)點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因?yàn)锳B∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q在線段EF上移動(dòng)時(shí)（不包括E，F(xiàn)兩點(diǎn)）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見(jiàn)解答過(guò)程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空；（2）結(jié)合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結(jié)合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；因?yàn)锳B∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過(guò)點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過(guò)點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠G