2023年9月統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)沖刺題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分。下列每小題備選答案中，只有一個(gè)是符合題意的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填在題干后的括號(hào)內(nèi)。)1.統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究對(duì)象是（）。A.抽象的數(shù)字B.現(xiàn)象的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系C.個(gè)別事物的具體情況D.社會(huì)現(xiàn)象的規(guī)律性2.對(duì)10個(gè)學(xué)生的身高進(jìn)行測(cè)量，這個(gè)數(shù)量標(biāo)志是（）。A.標(biāo)志值B.標(biāo)志C.變量D.指標(biāo)3.某班級(jí)有50名學(xué)生，要了解其期末考試的平均成績(jī)，宜采用（）。A.重點(diǎn)調(diào)查B.抽樣調(diào)查C.典型調(diào)查D.普查4.已知一組數(shù)據(jù)：5,8,9,12,15,其中位數(shù)是（）。A.8B.9C.10D.125.反映數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)是（）。A.中位數(shù)B.算術(shù)平均數(shù)C.標(biāo)準(zhǔn)差D.變異系數(shù)6.樣本容量是指（）。A.總體中包含的個(gè)體數(shù)量B.樣本中包含的個(gè)體數(shù)量C.總體標(biāo)志值的數(shù)量D.樣本標(biāo)志值的數(shù)量7.已知總體均值μ，總體方差σ2，從總體中抽取樣本容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值的數(shù)學(xué)期望E(?)等于（）。A.μB.σ2C.nμD.μ/√n8.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率記為α，犯第二類錯(cuò)誤的概率記為β，則（）。A.α+β=1B.α=βC.α+β<1D.α+β>19.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，當(dāng)μ未知時(shí)，檢驗(yàn)H?:σ2=σ?2，應(yīng)使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.Z=(?-μ)/(σ/√n)B.χ2=(n-1)S2/σ?2C.t=(?-μ)/(S/√n)D.F=(S?2/S?2)10.在一元線性回歸分析中，決定系數(shù)R2的取值范圍是（）。A.[0,1]B.(-1,1)C.[0,∞)D.(-∞,∞)二、判斷題（每小題1分，共10分。請(qǐng)將判斷結(jié)果填在題干后的括號(hào)內(nèi)，正確的填“√”，錯(cuò)誤的填“×”。）1.（）總體參數(shù)是隨機(jī)變量，而樣本統(tǒng)計(jì)量是確定性變量。2.（）眾數(shù)是測(cè)量數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的唯一指標(biāo)。3.（）極差是衡量數(shù)據(jù)離散程度最簡(jiǎn)單的指標(biāo)，但它易受極端值影響。4.（）樣本方差S2是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)量。5.（）置信區(qū)間越小，估計(jì)的精度越高。6.（）在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α表示犯第一類錯(cuò)誤的概率，也表示接受原假設(shè)H?為真的概率。7.（）如果兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)r=0，則說(shuō)明這兩個(gè)變量之間沒(méi)有任何關(guān)系。8.（）在一元線性回歸方程Y=a+bx中，回歸系數(shù)b表示X每增加一個(gè)單位，Y平均增加b個(gè)單位。9.（）根據(jù)大樣本（n足夠大）的樣本數(shù)據(jù)，樣本均值μ的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/√n)。10.（）方差分析是檢驗(yàn)三個(gè)或三個(gè)以上總體均值是否存在差異的方法。三、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共20分。請(qǐng)簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題。）1.簡(jiǎn)述標(biāo)志與指標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系。2.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)的兩種基本方法及其特點(diǎn)。3.寫出假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。4.簡(jiǎn)述相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)。四、計(jì)算題（每小題10分，共30分。請(qǐng)列出計(jì)算步驟，得出計(jì)算結(jié)果。）1.某班級(jí)30名學(xué)生身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：170,168,165,172,168,170,174,166,168,170,172,168,170,165,174,166,170,168,172,170,168,174,170,166,168,170,172,168,170。根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。2.從正態(tài)總體N(μ,16)中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，樣本容量n=25，樣本均值?=100。（1）求總體均值μ的90%置信區(qū)間（已知t?.?五(24)=1.711）。（2）若要使90%置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于10，至少需要抽取多少個(gè)樣本單位？3.某研究欲探究產(chǎn)品重量（X，單位：克）與產(chǎn)品得率（Y，單位：%）之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：∑X=80,∑Y=620,∑X2=700,∑Y2=4180,∑XY=5300。（1）建立Y關(guān)于X的一元線性回歸方程。（2）計(jì)算X與Y的相關(guān)系數(shù)r。五、論述題（10分。請(qǐng)結(jié)合所學(xué)知識(shí)，回答下列問(wèn)題。）試述抽樣誤差產(chǎn)生的原因及其影響因素。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.B解析：統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的是客觀現(xiàn)象的數(shù)量方面，即現(xiàn)象的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系。2.B解析：標(biāo)志是說(shuō)明總體單位屬性或特征的名稱，題目中“身高”是說(shuō)明學(xué)生這一總體單位特征的標(biāo)志。標(biāo)志值是標(biāo)志的具體表現(xiàn)，如160cm、170cm等。3.B解析：抽樣調(diào)查是從總體中隨機(jī)抽取一部分單位進(jìn)行調(diào)查，用以推斷總體特征，符合題意。其他選項(xiàng)定義不符。4.B解析：將數(shù)據(jù)排序：5,8,9,12,15。位于中間位置的數(shù)是9，故中位數(shù)為9。5.C解析：標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)偏離其均值程度的一種度量，反映數(shù)據(jù)的離散程度。中位數(shù)反映集中趨勢(shì)，算術(shù)平均數(shù)反映集中趨勢(shì)，變異系數(shù)是相對(duì)離散程度指標(biāo)。6.B解析：樣本容量是指一個(gè)樣本所包含的單位數(shù)量。7.A解析：根據(jù)樣本均值的抽樣分布性質(zhì)，其數(shù)學(xué)期望等于總體均值μ。8.D解析：α是犯第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）的概率，β是犯第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）的概率，它們并不互為補(bǔ)事件，α+β不一定等于1。9.B解析：檢驗(yàn)總體方差σ2是否等于σ?2時(shí)，應(yīng)使用卡方（χ2）檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（n-1)S2/σ?2。10.A解析：決定系數(shù)R2衡量的是回歸模型對(duì)因變量變異的解釋程度，其取值范圍在0到1之間。二、判斷題1.√解析：總體參數(shù)是根據(jù)總體所有單位的數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的數(shù)值，是固定的但通常是未知的，可以看作隨機(jī)變量（如果從總體中重復(fù)抽樣）。樣本統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的數(shù)值，是隨機(jī)變量。2.×解析：測(cè)量數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的指標(biāo)還有算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)等。眾數(shù)只是其中之一。3.√解析：極差是最大值與最小值之差，計(jì)算簡(jiǎn)單，但非常容易受到極端值（過(guò)大或過(guò)小的數(shù)據(jù)）的影響。4.√解析：樣本方差S2=(∑(X?-?)2)/(n-1)是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)量，即E(S2)=σ2。5.√解析：置信區(qū)間的寬度反映了估計(jì)的范圍，寬度越小，說(shuō)明對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)越精確（越集中）。6.×解析：顯著性水平α表示在原假設(shè)H?為真時(shí)，拒絕H?的概率，即犯第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）的概率。接受H?為真的概率不是α。7.×解析：相關(guān)系數(shù)r=0表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，但并不排除可能存在非線性相關(guān)關(guān)系。8.√解析：在一元線性回歸方程Y=a+bx中，b稱為回歸系數(shù)，其經(jīng)濟(jì)意義是自變量X每增加一個(gè)單位時(shí)，因變量Y的平均變化量（增加或減少）。9.√解析：根據(jù)中心極限定理，對(duì)于大樣本（通常n≥30），樣本均值?的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/√n)，即使總體分布不是正態(tài)分布。10.√解析：方差分析（ANOVA）是用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法。三、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述標(biāo)志與指標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系。答：區(qū)別：標(biāo)志是說(shuō)明總體單位特征或?qū)傩缘拿Q，可以是數(shù)量標(biāo)志（如身高、年齡）或品質(zhì)標(biāo)志（如性別、民族）；指標(biāo)是說(shuō)明總體數(shù)量特征的概念，是通過(guò)統(tǒng)計(jì)匯總得出的數(shù)值。聯(lián)系：標(biāo)志是計(jì)算指標(biāo)的基礎(chǔ)，許多指標(biāo)是由標(biāo)志值匯總或加工而來(lái)（如人均GDP由人口總數(shù)和GDP總量計(jì)算）；標(biāo)志的具體表現(xiàn)（標(biāo)志值）可以影響指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果。2.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)的兩種基本方法及其特點(diǎn)。答：兩種基本方法是點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值?、樣本方差S2）的值直接作為總體參數(shù)（如總體均值μ、總體方差σ2）的估計(jì)值。其特點(diǎn)是估計(jì)結(jié)果唯一、明確，但無(wú)法反映估計(jì)的精度和誤差范圍。區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出一個(gè)范圍（置信區(qū)間），并說(shuō)明該范圍包含總體參數(shù)真值的可信程度（置信水平）。其特點(diǎn)是既能給出估計(jì)值，又能反映估計(jì)的精度和不確定性。3.寫出假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟通常包括：(1)提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?：根據(jù)研究問(wèn)題，提出一個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)（原假設(shè)）和一個(gè)對(duì)立的假設(shè)（備擇假設(shè)）。(2)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)總體分布、樣本信息及假設(shè)內(nèi)容，選擇一個(gè)合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其在H?成立時(shí)的分布（或近似分布）。(3)確定顯著性水平α：預(yù)先設(shè)定一個(gè)犯第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）的概率上限α。(4)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值：利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值。(5)做出決策：將觀測(cè)值與臨界值進(jìn)行比較（或計(jì)算P值與α比較），根據(jù)決策規(guī)則判斷是否拒絕原假設(shè)H?。4.簡(jiǎn)述相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)。答：相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)主要包括：(1)取值范圍：-1≤r≤1。r=1表示完全正相關(guān)，r=-1表示完全負(fù)相關(guān)，r=0表示不相關(guān)（線性關(guān)系）。(2)符號(hào)：r>0表示正相關(guān)，即一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量?jī)A向于增加；r<0表示負(fù)相關(guān)，即一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量?jī)A向于減少。(3)絕對(duì)值大?。簗r|越接近1，表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越強(qiáng)；|r|越接近0，表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越弱。(4)對(duì)稱性：r的計(jì)算不受變量X和Y中心位置（均值）變化的影響，即交換X和Y，r的值不變。(5)意義：r僅表示兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度和方向，不表示因果關(guān)系，且r的數(shù)值大小與樣本容量n有關(guān)。四、計(jì)算題1.某班級(jí)30名學(xué)生身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：170,168,165,172,168,170,174,166,168,170,172,168,170,165,174,166,170,168,172,170,168,174,170,166,168,170,172,168,170。根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。解：樣本容量n=30。(1)計(jì)算樣本均值?：∑x?=170+168+165+172+168+170+174+166+168+170+172+168+170+165+174+166+170+168+172+170+168+174+170+166+168+170+172+168+170=5100?=∑x?/n=5100/30=170cm(2)計(jì)算樣本方差S2：先計(jì)算∑x?2：1702+1682+1652+1722+1682+1702+1742+1662+1682+1702+1722+1682+1702+1652+1742+1662+1702+1682+1722+1702+1682+1742+1702+1662+1682+1702+1722+1682+1702=870200S2=(∑x?2-n?2)/(n-1)S2=(870200-30×1702)/(30-1)S2=(870200-30×28900)/29S2=(870200-867000)/29S2=3200/29≈110.34cm2(3)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差S：S=√S2=√(3200/29)≈√110.34≈10.50cm2.從正態(tài)總體N(μ,16)中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，樣本容量n=25，樣本均值?=100。（1）求總體均值μ的90%置信區(qū)間（已知t?.?五(24)=1.711）。解：已知總體方差σ2=16，故σ=√16=4。由于σ已知，應(yīng)使用Z檢驗(yàn)。置信水平1-α=90%，則α=0.10，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值Z_(α/2)=Z_0.05。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或由Z?.?五=1.645。置信區(qū)間為：?±Z_(α/2)×(σ/√n)置信區(qū)間為：100±1.645×(4/√25)置信區(qū)間為：100±1.645×0.8置信區(qū)間為：100±1.316置信區(qū)間為：(98.684,101.316)即總體均值μ的90%置信區(qū)間為(98.684,101.316)。（2）若要使90%置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于10，至少需要抽取多少個(gè)樣本單位？解：置信區(qū)間的長(zhǎng)度L=2×Z_(α/2)×(σ/√n)要使L≤10，則2×1.645×(4/√n)≤103.29×(4/√n)≤1013.16/√n≤10√n≥13.16/10√n≥1.316n≥(1.316)2n≥1.732由于n必須為整數(shù)，且樣本容量應(yīng)大于計(jì)算值，故n至少應(yīng)取4。3.某研究欲探究產(chǎn)品重量（X，單位：克）與產(chǎn)品得率（Y，單位：%）之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：∑X=80,∑Y=620,∑X2=700,∑Y2=4180,∑XY=5300。（1）建立Y關(guān)于X的一元線性回歸方程。解：一元線性回歸方程為Y=a+bX。首先計(jì)算回歸系數(shù)b：b=[n∑XY-(∑X)(∑Y)]/[n∑X2-(∑X)2]b=[10×5300-80×620]/[10×700-802]b=[53000-49600]/[7000-6400]b=3400/600b=17/3≈5.6667然后計(jì)算截距a：a=?-bX?其中X?=∑X/n=80/10=8,?=∑Y/n=620/10=62a=62-(17/3)×8a=62-136/3a=186/3-136/3a=50/3≈16.6667因此，Y關(guān)于X的一元線性回歸方程為：Y=50/3+17/3X（或Y≈16.6667+5.6667X）。（2