明確研究思路用坐標法研究曲線的基本思路：現(xiàn)實背景

曲線概念

曲線方程

曲線性質(zhì)

曲線應用常用的數(shù)學思想：

數(shù)形結合觀看視頻，請說說你看到的橢圓竹子的斜截面

，

臍

橙

，西

瓜

，雞

蛋

，晶狀體籃球的光影，傾斜的水面，

行星公轉的

軌道……自然界中的橢圓橢圓是自然界中常見的圖形橢圓在生產(chǎn)、生活、科技中的應用如圖7,膠片電影放映機的聚光燈有一個反射鏡，它的形狀是旋轉橢圓面.為了使影片門(電影膠片通過的地方)處獲得最強的光線，燈絲F?

與影片門F?應位于橢圓的兩個焦點處，這就是利用橢圓光學性質(zhì)的一個實例.數(shù)字電影機采

用數(shù)字光處理技術DLP

的數(shù)字電影放映新模式，替代了傳統(tǒng)膠片電影放映機膠片圖像重現(xiàn)模式，實現(xiàn)了無膠片放映.膠片電影放映機影片門F?B橢圓的光學性質(zhì)A統(tǒng)治者在西西里島上開鑿了一個巖洞作為監(jiān)獄。由于監(jiān)獄生活很糟糕，犯人們紛

紛想越獄逃跑。于是他們偷偷聚集在巖洞里面，小聲地

議論越獄的計劃?？墒敲看紊塘亢玫挠媱?/p>

都被看守提前知道。于是犯人們開始互相

猜疑，但是不管怎么查找，也查不到告密

者是誰。這究竟是怎么一回事呢?犯人們議論的地點和看守的地點剛好是橢圓的兩個焦點.從其中一個焦點上發(fā)出的另

一

個焦點

.

刁尼秀斯之耳聲音，經(jīng)過橢圓反射后，剛好通過橢圓的橢圓的發(fā)展歷程橢圓的發(fā)展歷程動手操作請按照以下要求完成實驗(1)將繩子的兩端分別固定在圖板上的兩

點(要求：繩子的長度大于兩點間的距離)(2)套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫

出軌跡

。問題1:觀察筆尖畫出的軌跡是什么曲線?F?|MF?I+|MF?I=

常數(shù)(繩長).(2)在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系?|MF?

I+|MF?

I

>

IF?F?

l平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點(M)的集合叫

o做圓，其中定點(O)

叫做圓心，定長(|MOI)叫做半徑.問題2:回顧操作過程，思考

M(1)在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了嗎?說明了什么?動手操作平面內(nèi)與兩個定點F?

、F?的距離的和等于常數(shù)(大于

|F?F?I)的點的軌跡叫做橢

圓(ellipse).|MF?

I+IMF?

I=

常數(shù)(IMF?

I+|MF?

I>|F?F?

I)這兩個定點叫做橢圓的焦

點(

focus),兩焦點間的距離

|F?F?

I叫做橢圓的焦

距(focus

distance),

焦距的

一

半稱為半焦距

.(i)當常

數(shù)

=IF?F2|時，

點

M的

軌

跡

是

線

段F?F?;(ii)當常

數(shù)

<|F?F?l時，點M的軌跡不存在

.F橢圓的定義觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系使所得的橢圓方程形式簡單?1.焦點在x軸上的橢圓的標準方程以經(jīng)過橢圓兩焦點F?,F?的直線為x軸，線段F?F?

的垂直平分線為y

軸，建立平面直角坐標系Oxy,

如圖所示.設M(x,y)

是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c,那么焦點F?,F?

的坐標分別是(-c,O),(c,O)

.

1.建系設點根據(jù)橢圓的定義，設點M與焦點F?,F?

的距離的和等于2a.則

|MF?I+MF?I=2a

2.動點滿足的幾何條件∴√(x+c)2+y2+√(x-c)2+y2=2a.①

3.列方程橢圓的標準方程12變形為

√(x+c)2+y2=2a-√(x-c)2+y2②對方程②兩邊平方，得

(x+c)2+y2=4a2-4a

√

(x-c)2+y2+(x-c)2+y2整理，得a2-cx=a√(x-c)2+y2③③式兩邊再平方，得a?-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

④將方程④兩邊同除以a2(a2-c2),得⑤

4.化簡方程

∵2a>2c>0,

即a>c>0,∴a2-c2>0.13觀察下圖，你能從中找出表示a,c,√a2-c2

的線段嗎?由圖可知，

|PF?

I=|PF?I=a,IOF?I=|0F?

I=c,

|PO|=

√a2-c2.令

b=|PO|=√a2-c2,

那么

方

程

⑤

就

是

(a>b>0)⑥x2

對應大分母a2

.它兩個焦點分別是F?(-c,O),F?(c,O)且a2=b2+c2稱方程⑥是橢圓的方程，這個方程叫做橢圓的標準方程.由求解過程可知橢圓上任意

一

點的坐標(x,y)都滿足方程⑥;反之，以方程⑥的解為坐標的點(x,y)

與橢圓的兩個焦點間的距離之和為2a,

即以方程⑥的解為坐標的點都在橢圓上

.

5.檢驗14焦點在x軸上的橢圓的標準方程.

(a>b>0)

焦

點

是F?(-c,O),F?(c,O).2.

焦點在y

軸上的橢圓的標準方程個x如

果

焦

點F?,F?

在y軸上，且F?(0,-c),F?(0,c),

y↑a,b

的意義同上，那么橢圓的方程是什么?MB

q

F?F?X15焦點在x軸上的橢圓的標準方程.

(a>b>0)焦

點

是F?(-c,O),F?(c,O).2.

焦點在y

軸上的橢圓的標準方程如

果

焦

點F?,F?

在y軸上，且F?(0,-c),F?(0,c),

a,b

的意義同上，那么橢圓的方程是什么?yqF?個x?M16焦點在x軸上的橢圓的標準方程

.

(a>b>0)焦點是F?(-c,O),F?(c,O).2.

焦點在y

軸上的橢圓的標準方程將x軸

與y

軸互換.

(a>b>0)

焦點是F?(0,-c),F?(0,c).如果焦點F?,F?

在y

軸上，且F?(0,-c),F?(0,c),

a,b

的意義同上，那么橢圓的方程是什么?這是焦點在y

軸上的橢圓的標準方程.

y2對應大分母a2.17定義|MF?

I+|MF?

I=2a(2a>2c>0)標準方程圖形焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上焦點坐標F?(-c,O),F?(c,O)F?(0,-c),F?(0,c)焦距IF?F?|=2ca,b,c的關系a2=b2+c2哪個分母大，焦點就在哪條坐標軸上!18例題精講例1已知橢圓的兩個焦點坐標分別是F?(

-2,0),F?(2,0),并

且

經(jīng)

過

點求它的標準方程

.解：由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為即a=

√

10

又c=2,從

而

b2=a2-c2=10-4=6.因此，所求橢圓的標準方程為由橢圓的定義得19另解：由題意，橢圓的焦點在x軸上，設它的標準方程為

(a>b>0)你還能用其他方法求它的標準方程嗎?待定

系數(shù)法聯(lián)立①②解方程組，得a2=10,b2=6.由已知c=2,得

a2-b2=4.

①所以，所求橢圓的標準方程為又因為橢圓經(jīng)過點20足.

當點P

在圓上運動時，線段PD解：設點M的坐標為(x,y),則

點P

的坐標為

因為點P

在圓x2+y2=4

上，例2如圖，在圓x2+y2=4

上任取

一

點P,過點P

作x

軸的垂線段PD,D

為垂1.建系設點2.表示出相關點的坐標y個OPM

(y,y)D

X相關點代入法所以點M的軌跡是橢圓.

5.檢驗下結論

的中點M的軌跡是什么?為什么?所以x2+4y2=4,4.化簡3.代入即21由例2我們發(fā)現(xiàn)，圓通過“壓縮”可得到橢圓，你能描述一下圖像變換的過程嗎?橫坐標保持不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍橢

圓你能由圓通過

“拉伸”得到橢圓嗎?如何“拉伸”?橫坐標保持不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼目v向

壓縮縱向

拉伸圓

x2+y2=4圓x2+y2=422化簡，得點M

的軌跡方程為

4.化簡

你還有別所以點M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點的橢圓.5.檢驗方法得

到橢

圓嗎?得到橢圓的方法有到兩定點斜率乘積為定值解：設點M的坐標為(x,y),1.建系設點

則直線AM的斜率直線BM的斜率

2.動點滿足的幾何條件例3如圖，設A,B兩點的坐標分別是(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,

且它們的斜率之積是

求

點M的軌跡方程

.定義，圓的伸縮，由已知有3.列方程231.如果橢圓

焦點F的距離等于6.那么

點P與另一焦點F?的距離是

14

2.求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)a=4,b=1,

焦點在x軸上；(2)a=4,c=√

15,焦點在y軸上；(3)a+b=10,c=2√5.解：(1)由已知得橢圓的標準方程為(2)由已知得b2=a2-c2=16-15=1,橢圓標準方程為(3)∵a+b=10,c=2√5,c2=a2-b2=(a+b)(a-b),∴a-b=2,

解得a=6,b=4.所以當橢圓的焦點在x

軸上時，橢圓的標準方程為當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程為課堂練

習24一個概念兩個方程MF?I+|MF?I=2a(2a>2c)二

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