福建省廈門市思明區(qū)第五中學2025-2026學年上學期九年級數(shù)學期中考卷一、單選題1.我國古代數(shù)學的發(fā)展歷史源遠流長，曾誕生了很多偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn).下列與我國古代數(shù)學發(fā)現(xiàn)相關的圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()2.如圖，在VABC中，將VABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到VADE,點D恰好落在BC的延長線上，則旋轉(zhuǎn)角是()3.如圖，OA、OB、OC均為0的半徑，連接AB,BC,若AB=BC,∠BOC=36°,則∠AOCA.36°B.72°4.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),若9a+3b+c=0,則該方程一定有一個根為()A.-3B.3C.±3D.不能確定5.某種迫擊炮發(fā)射炮彈的飛行高度Y米與飛行時間x秒的關系式為,一枚炮彈從發(fā)射到落地，經(jīng)過的時間為()6.關于反比例函數(shù),下列說法不正確的是()A.點(3,-1)在其圖象上B.當x>0時，y隨x的增大而減小C.當x>3時，-1<y<0D.其圖象在第二、四象限7.把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線會明顯發(fā)熱，存在安全隱患.數(shù)學興趣小組對這種現(xiàn)象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象(如圖1),插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象(如圖2).下列結論中錯誤的是()I/A↑2oI/A↑2o440P/WA.當P=440W時，I=2AC.I每增加1A,Q的增加量相同D.P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多8.根據(jù)下列表格的對應值可知，方程ax2+bx+c=0.05(a≠0,a、b、c為常數(shù))一個解xA.3<x<3.2B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26二、填空題9.在平面直角坐標系中，點(5,-2)關于原點對稱的點的坐標是10.若關于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一個根為1,則k的值為·試卷第2頁，共8頁11.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為·12.把拋物線y=x2-2先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，則平移后得到的拋物線的解析式是13.讀詩詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風流人物：而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符.(詩詞大意：周瑜英年早逝，逝世時的年齡是一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小3,個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡),設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x,則列得方程為14.如圖，有一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm,瓶內(nèi)液體已經(jīng)過半，截面圓中弦AB的長為2√21,則最大深度CD的長為15.如圖，將VABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到VADE,點C的對應點E落在CB的延長線上，連接BD.若BD=10,DE=6,CE=14,則AE16.已知拋物線y=a(x-m)2-3(a>0)上有點A(x?,y)和B(x?,y?),對于任意實數(shù)m,若三、解答題(2)2x2+x-2=0.季度銷售了2萬輛，第三季度銷售了2.88萬輛.求前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長率.試卷第4頁，共8頁21.已知關于x的一元二次方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.(2)若m為整數(shù)，該方程的兩個實數(shù)根是否可以都為正整數(shù)?請說明理由.22.育新書店發(fā)售一套兒童繪本，成本價40元/套，經(jīng)市場調(diào)查，繪本售價每套50元/套，每天可以銷售200套.若每套繪本漲價1元，日銷量將減少10套.育新書店預計每天的銷售量不少于100套.試卷第6頁，共8頁后，該書店每天的最大利潤能否達到1690元?若能，求m的值；若不能，說明理由.23.已知拋物線y=ax2+bx+c開口向下，且經(jīng)過M(m,n)和N(p,n)兩點.素材1福州地鐵某站在工作日早高峰(7:00-9:00)期間，地鐵運營部門通過閘機感應系統(tǒng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在7:00-9:00這兩小時內(nèi)，A出口的人流量y(人次)與時間t(分鐘)存在如下關系：以7:00為起始時間點(t=0)t(分鐘)0y(人次)任務請根據(jù)已知條件，在平面直角坐標系中描點，觀察，猜想，求出y與12素材2福州憑借豐富的歷史文化底蘊、美麗的自然風光以及特色美食，游玩.三坊七巷內(nèi)人潮涌動；游客們穿梭于古街古巷，感受著福州的歷史韻味；鼓山風景區(qū)迎來絡繹不絕的登山客，俯瞰城市美景；煙臺山的文藝街區(qū)也聚集了眾多游客打卡拍照.某假期為吸引游客，福州地鐵特推出免費乘車活動，使得客流量較平日呈現(xiàn)顯著攀升態(tài)勢，導致7:30后A出口在原有人流量基礎上每分鐘較前一分鐘額外增加2人.例如7:31的人流量比原來增加2人，7:32的人流2任務2求7:30-9:00時段y與t的關系式，并指出人流量達到最大值時對應的具體時刻；3素材3在地鐵大客流應對措施中，欄桿繞行是頗為常見且有效的一種手段.通常，地鐵車站會選用可移動的金屬安全圍欄，也就是俗稱的“鐵馬”來設置特定見的是設置“S”形鐵馬陣.3任務3為保障乘客安全和通行效率，若地鐵運營規(guī)定，當出口閘門人流量達到或超過200人次/分鐘時，需啟動一級客流管控，工作人員會在安檢通道擺放鐵馬，設置繞行，以減緩客流進入站臺的速度.根據(jù)任務2中y與t的關系式，通過計算，直接寫出該入口需要啟動一級客流管控的持續(xù)時長.25.Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=α,點D是AB邊中點，點E是BC邊上一動點(不與點B、點C重合),連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2α,得到線段DF,連接BF.(1)如圖1,若點F剛好落在BC邊上，連接AF,求證：AF=BF;(2)在圖2中判斷AC、BE和BF的數(shù)量關系，并證明；(3)若α=30°,AC=1,直接寫出CF的最小值為_·試卷第8頁，共8頁12345678BCBBCBCD【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注意：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐選項判斷即可.【詳解】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：∵將VABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到VADE,【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=∠BOC,進而即可求出答案.【詳解】解：∵AB=BC,【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解題的關鍵.由于當x=3時，9a+3b+c=0,則可判斷該方程一定有一個根為3.【詳解】解：當x=3時，9a+3b+c=0,所以若9a+3b+c=0,則該方程一定有一個根為3.故選B.答案第1頁，共15頁炮彈落地時高度為0,代入關系式求解一元二次方程即可.【詳解】解：∵炮彈落地時y=0,解得x=0或x=80,∴落地時間為x=80秒；函數(shù)圖象和性質(zhì)是解答此題的基礎.通過反比例圖象上的點的坐標特征，可對A選項做出判斷；通過反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)、增減性、對稱性可對其它選項做出判斷，得出答案.【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，準確從圖中獲取信息，并逐項判定即可.【詳解】解：根據(jù)圖1知：當P=440W時，I=2A,故選項A正確，但不符合題意；根據(jù)圖2知：Q隨I的增大而增大，故選項B正根據(jù)圖1知：I隨P的增大而增大，又Q隨I的增大而增大，則P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多，故選項D正確，但不符合題意；答案第2頁，共15頁答案第3頁，共15頁鍵.根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c-0.05圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0.05的根，從而可知交點的橫坐標左右所取的x值代入y=ax2+bx+c-0.05得到的y值異號即可.x即方程ax2+bx+c=0.05(a≠0,a、b、c為常數(shù))一個解x的范圍是3.25<x<3.26,【分析】本題考查了關于原點對稱點的坐標.關于原點對稱的兩點，其橫、縱坐標均互為相反數(shù)，據(jù)此即可得到答案.【詳解】解：由題意得：點(5,-2)關于原點對稱的點的坐標是(-5,2),【分析】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的根的定義是解題的關鍵.將已知根代入方程，求解參數(shù)即可.【詳解】解：將x=1代入方程x2-3x+k=0,得12-3×1+k=0,整理得-2+k=0,解得k=2.故答案為：2.答案第4頁，共15頁【分析】本題考查了二次函數(shù)與x軸交點問題；二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，當y=0時，ax2+bx+c=0,即所求解為二次函數(shù)中y=0時所對應的x的解.【詳解】觀察圖象可知，對稱軸為直線x=1,一個交點為(3,0),故答案為：x?=3,x?=-1.【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握變換規(guī)律是解題的關鍵.根據(jù)減.【詳解】解：由題意得，平移后得到的拋物線的解析式為y=(x-3)2-2-2=x2-6x+5.故答案為：y=x2-6x+5.年齡為10(x-3)+x,且個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世的年齡，即x2,由此列式即可求解.【詳解】解：個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為(x-3),故答案為：10(x-3)+x=x2.即可求解.【詳解】解：連接OA,故答案為：7cm【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的定義即勾股定理求線段長度的計算是關鍵.根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到BC=DE=6,AC=AE,ACE是等腰直角三角形，從而得到BDE是直角三角形，由勾股定理得到BE的長，則CE=BE+BC,再運用勾股定理即可求解.【詳解】解：∵將VABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到VADE,∴ACE是等腰直角三角形，在RtBDE中，DE=6,BD=10,答案第5頁，共15頁答案第6頁，共15頁【分析】由拋物線解析式可得對稱軸為直線x=m,且開口向上，根據(jù)點A和點B的橫坐標得當x=m+2時y=0,代入求解a.【詳解】解：拋物線y=a(x-m)2-3(a>0)的對稱軸為直線x=m,開口向上，點A(x,y)滿足m-2<x?<m-1,點B(x?,y?)滿足x?>m+2,點A關于對稱軸的對稱點為(2m-x?,y?),由x?的范圍得m+1<2m-x?<m+2,代入解析式得0=a(m+2-m)2-3=a·22-3=4a-3,解得二次函數(shù)的對稱性推得y?<0且y?>0.②【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵.(1)先移項，通過因式分解得到(x-3)2=0,開方求解即可；(2)先計算判別式△=b2-4ac,通過公式法進行求解即可.【詳解】(1)解：x2-6x=-9答案第7頁，共15頁解得x?=x?=3;(2)解：2x2+x-2=0中，a=2,b=1,c=-2,【分析】本題考查的是分式的化簡求值，以及二次根式的分母有理化，能夠正確約分是解題的關鍵.先算括號內(nèi)，再算除法，進行約分化簡，再把x=√2-1代入化簡后的代數(shù)式中再計算即可.【詳解】解：19.前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長率為20%.【分析】設前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長率為x,由某品牌電動汽車在今年第一季度和第三季度的銷量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.【詳解】解：設前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長率為x,依題意得：2(1+x)2=2.88,解得：x?=0.2=20%,x?=-2.2(不合題意，舍去).答：前三季度該品牌汽車銷售量的平均增長率為20%.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.答案第8頁，共15頁【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定；(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=90°,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠B=∠ADC=30°,進而求得∠CAB;(2)連接OC,可得△AOC是等邊三角形，根據(jù)E是OA的中點，根據(jù)三線合一可得CE⊥AO,進而根據(jù)垂徑定理即可得證.【詳解】(1)解：∵AB為0的直徑，(2)解：如圖，連接OC,21.(1)見解析(2)存在整數(shù)m,使得該方程的兩個實數(shù)根均為正整數(shù)，見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判別式判斷方程的根的情況是解題的關鍵.(1)根據(jù)根的判別式△=b2-4ac≥0解答即可；.(2)首先求出一元二次方程的兩根，一根為1,一根為,只需要求出是正整數(shù)時m的值即可.【詳解】(1)證明：∵△=[-3(m-1)2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0.(2)解：存在整數(shù)m,使得該方程的兩個實數(shù)根均為正整數(shù)，理由如下：即當m=-1或m=±3時，該方程的兩個實數(shù)根均為正整數(shù).數(shù)的性質(zhì)求解.(1)根據(jù)銷售量的限制條件列出不等式，求解得出每套繪本的最高售價；(2)建立利潤的函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤，進而確定m的值.【詳解】(1)解：設每套繪本售價為x元.由題意可得不等式方程，解得x≤60,故每套繪本售價應不高于60元；(2)解：設每天的利潤為w元.每套的利潤為(x-40-m)元，日銷量為200-10(x-50)=700-10x套.=-10x2+(700+10(40+m))x-70=-10x2+(1100+10m)x-2800在此函數(shù)中，a=-10,b=1100+10m,所以答案第9頁，共15頁因為x≤60,且a=-10<0,該函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，所以當x=55+0.5m時，w取得最大值.將x=55+0.5m代入利潤函數(shù)：Wmax=(55+0.5m-40-m)(700-10(55+解得m=4或m=56,當m=56時，每套利潤為x-40-56=x-96,因為售價x≤60,所以x-96<0,當m=4時，每套利潤為x-40-4=x-44,售價x=55+0.5×4=57,57-44=13>0,符合實所以能，m的值為4.的關鍵.(1)將M(m,n)和N(p,n)兩點代入拋物線y=ax2+bx+c得到兩個方程，令兩個方程相減，(2)將點(1,-a)代入拋物線y=ax2+bx+c得到方程，結合(1)中的結論和韋達定理進行證明即可.【詳解】(1)解：將M(m,n)和N(p,n)兩點代入拋物線y=ax2+bx+c得：兩式相減得：a(m2-p2)+b(m-p)=0,答案第10頁，共15頁答案第11頁，共15頁由于m≠p,則am+ap+b=0;設拋物線與x軸的交點為x?、x?,則因此，拋物線與x軸的兩個交點都在正半軸.24.任務1:圖見解析，驗證見解析任務2:上午9:00達到最大值任務3:持續(xù)時長為20分鐘【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，正確理解題意是解題的關鍵.任務1,經(jīng)過描點，觀察，發(fā)現(xiàn)各點的連線形狀近似于拋物線，所以猜想y與t滿足二次函任務2,根據(jù)題意，當30≤t≤120時，可列出,再根據(jù)二次函任務3,先判斷只有當30≤t≤120時，才可能出現(xiàn)人流量達到或超過200人次/分鐘的情況，再令y=20