自動控制原理3.5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1主講人：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件內(nèi)容導入不穩(wěn)定的飛行器穩(wěn)定運行的中國高鐵內(nèi)容導入一、穩(wěn)定性的基本概念A點是穩(wěn)定的平衡點E點是不穩(wěn)定的平衡點任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離原平衡狀態(tài)產(chǎn)生初始偏差。如果系統(tǒng)在擾動消失后，能夠恢復到原平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。一、穩(wěn)定性的基本概念根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述為：若控制系統(tǒng)在初始擾動影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于0(原平衡工作點)，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；反之，在初始擾動影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。一、穩(wěn)定性的基本概念若線性系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：則其脈沖響應：當t→∞，趨于0實數(shù)極點：復數(shù)極點：由此可推出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部，或者閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于s左半平面。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)閉環(huán)極點，而與外作用及初始條件無關，是系統(tǒng)的固有特性。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件判斷如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性？閉環(huán)極點：例1(1)(2)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)特征方程的根：系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定思考：充要條件除了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性之外，還有其它應用嗎？二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件飛機姿態(tài)控制系統(tǒng)如圖所示，分析使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K的取值范圍。例2二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件解：

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

故閉環(huán)特征方程為：

特征方程根為：

只要K＞0，系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)若閉環(huán)穩(wěn)定，則特征方程的根應具有負實部。自動控制原理3.5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2主講人：盛春陽勞斯穩(wěn)定判據(jù)及其應用一、勞斯穩(wěn)定判據(jù)原理一、勞斯穩(wěn)定判據(jù)原理

(根據(jù)特征方程系數(shù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性)高階方程求解不易，用求特征根方法判定穩(wěn)定性不現(xiàn)實。

系統(tǒng)特征方程為：

（1）必要條件：特征方程中各項系數(shù)為正（ai>0），注意不能缺項。若不滿足ai>0，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若滿足，則需進一步判斷。一、勞斯穩(wěn)定判據(jù)原理(2)勞斯判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表中第一列所有項系數(shù)均大于零，第一列系數(shù)符號改變次數(shù)為閉環(huán)極點在s右半平面的個數(shù)（或不穩(wěn)定閉環(huán)極點個數(shù)或正實部特征根個數(shù)）。不穩(wěn)定不穩(wěn)定（缺3次項）

例：判定以下系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能穩(wěn)定,需進一步判斷

一、勞斯穩(wěn)定判據(jù)原理一、勞斯穩(wěn)定判據(jù)原理例題：，判定穩(wěn)定性及在右半平面閉環(huán)極點個數(shù)。

系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列系數(shù)變號兩次，有兩個閉環(huán)極點在s右半平面。

50-651042531s0s1s2s3s4二、勞斯判據(jù)特殊情況1、某行第一列元素為0，該行元素不全為0時：用因子(s+a)乘以原特征方程，a為任意正數(shù)，對新特征方程采用勞斯判據(jù)。例題:設垂直起飛飛機如圖所示，起飛時飛機的四個發(fā)動機將同時工作。垂直起飛飛機的高度控制系統(tǒng)結(jié)構圖如圖所示，K=1時，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。-R(s)C(s)二、勞斯判據(jù)特殊情況-R(s)C(s)解：s5142s4141s301s2∞勞斯表二、勞斯判據(jù)特殊情況(s+1)*D(s)得系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列系數(shù)變號兩次，有兩個正實部根。s6s5s4s3s2s1s01561283014.510-11005.511.1801二、勞斯判據(jù)特殊情況2、在勞斯陣列表中，如果某一行中的所有元素都等于零，則表明在s平面內(nèi)存在關于原點對稱的特征根：兩個絕對值相等符號相反的實根（如±2）或一對共軛純虛根（如±2j）或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復根，系統(tǒng)處在臨界穩(wěn)定狀態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)。在這種情況下，利用全零行的上一行的系數(shù)，可組成一個輔助方程F(s)=0，用這個輔助方程導數(shù)的系數(shù)取代全零行各項，最后用勞斯判據(jù)加以判斷。由輔助方