PAGEPAGE1第四章數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論§4.1數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的類型和方法一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)1、什么是學(xué)習(xí)？這是一個(gè)既熟悉而又難以回答的問題。從字面上講：學(xué)習(xí)是學(xué)、思、習(xí)、行的總結(jié)。廣義上講：是指動物和人的經(jīng)驗(yàn)的獲得，以及比較持久的行為變化的過程。按照巴甫洛夫?qū)W說的觀點(diǎn)，凡能建立條件反射的有機(jī)體，都具有學(xué)習(xí)的行為。有機(jī)的學(xué)習(xí)是以行為變化表現(xiàn)出來的，但是并非可有行為變化都意味著存在學(xué)習(xí)。例如：疲勞、損傷、藥物引起的個(gè)體行為變化。學(xué)習(xí)結(jié)果的行為變化有外顯與內(nèi)隱之分。數(shù)學(xué)知識和技能的學(xué)習(xí)一般都以外顯形式反映行為變化，而數(shù)學(xué)情感學(xué)習(xí)所導(dǎo)致的行為變化則往往是內(nèi)隱形式。狹義地講：是指人類的學(xué)習(xí)。它是指人在社會生活實(shí)踐的過程中，通過人際交往，并以語言為媒介，自覺地、主動地掌握人類社會發(fā)展歷史中所積累起來的知識和技能，并形成一定的行為和情感的過程。人類的學(xué)習(xí)有以下幾個(gè)區(qū)別于動物學(xué)習(xí)的特點(diǎn)：①人類的學(xué)習(xí)是自覺的和能動的；②語言是人類學(xué)習(xí)的主要媒介（第二信號系統(tǒng)是人類獨(dú)有的）；③人類的學(xué)習(xí)是在與他人的交際中進(jìn)行的（所謂“互幫互學(xué)”）。學(xué)生的學(xué)習(xí)：是人類學(xué)習(xí)的一種特殊形式。它是以掌握一定的系統(tǒng)的科學(xué)知識、技能、社會生活規(guī)范和行為準(zhǔn)則為主要任務(wù)，是有目標(biāo)、按計(jì)劃，在一定組織形式下進(jìn)行的比較持久的行為變化過程。在現(xiàn)代社會中，學(xué)生的學(xué)習(xí)不僅指學(xué)生在學(xué)校中的學(xué)習(xí)，而且還包括利用電腦、電視、廣播、自學(xué)輔導(dǎo)材料等形式或資料的學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)：①以系統(tǒng)掌握間接經(jīng)驗(yàn)為主；②是在教師指導(dǎo)下進(jìn)行的；③依據(jù)一定的課程教材；④受規(guī)定的時(shí)間限制；⑤主要是為參加未來的社會實(shí)踐作準(zhǔn)備。2、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分。它是指學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)），按照一定的目的、內(nèi)容、要求，系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識與技能的過程。并在這一過程中，逐步地發(fā)展各種能力，尤其是數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)心理品質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了具有學(xué)生學(xué)習(xí)的一般特點(diǎn)外，還有以下三個(gè)顯著特點(diǎn)：①是一種科學(xué)的公共語言學(xué)習(xí)；由數(shù)學(xué)符號以及它們的各種有機(jī)組合所構(gòu)成的數(shù)學(xué)，可以反映存在于現(xiàn)實(shí)世界中的一些關(guān)系和形式，因此，它是一種語言。數(shù)學(xué)語言被廣泛運(yùn)用于各門科學(xué)。②學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備較強(qiáng)的抽象概括能力；這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性特點(diǎn)所決定的。③最有利于學(xué)生推理能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)是一門建立在公理體系基礎(chǔ)上，一切結(jié)論都需加以嚴(yán)格證明的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)證明所采用的邏輯形式最基本、最主要的就是三段論。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反復(fù)學(xué)習(xí)使用三段論來解答各種數(shù)學(xué)問題，并且還要求他們能夠達(dá)到熟練掌握的程度。這對于他們推理能力的發(fā)展無疑是極其有利的。中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)：（李永新本P.82）中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃、目的要求進(jìn)行的，是獲得數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)而引起的比較持久的行為變化的過程。具有以下顯著特點(diǎn)：①是人類發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的再發(fā)現(xiàn)（掌握間接經(jīng)驗(yàn)為主）；②是有目的，有計(jì)劃地進(jìn)行的（教學(xué)方法加工，教師指導(dǎo)）；③重點(diǎn)在于知識的學(xué)習(xí)和能力的培養(yǎng)。二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分類通過分類，一方面，能使我們認(rèn)識不同類型學(xué)習(xí)的特點(diǎn)與規(guī)律，揭示出學(xué)習(xí)者在同類學(xué)習(xí)活動中的心理機(jī)制，另一方面有利于教師根據(jù)不同的學(xué)習(xí)類型，分別采用與之相適應(yīng)的教學(xué)方法和課堂活動形式，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。例如：何謂“熟能生巧”，其心理機(jī)制如何？1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的等級分類（加涅的認(rèn)知積累理論）這是由著名教育心理學(xué)家和學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)心理學(xué)家加涅（R·M·Gagne）提出的八類型學(xué)習(xí)分類，是一個(gè)從簡單到繁雜，從具體到抽象從低級到高級的學(xué)習(xí)等級分類。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分為四階段：①理解；②習(xí)得；③存儲；④提取。①信號學(xué)習(xí)信號學(xué)習(xí)是由單個(gè)事例或一個(gè)刺激的若干次重復(fù)所引起的一種無意識的行為變化，它屬于情緒的反應(yīng)。其后果可能愉快，也可能不愉快；另一方面，由于它又是一種無意識的行為變化，雖然學(xué)習(xí)者很難自我控制，但對他的行為卻可以產(chǎn)生相當(dāng)?shù)拇笥绊?。②刺激—反?yīng)學(xué)習(xí)這也是一種對信號作出反應(yīng)的學(xué)習(xí)，但它有別信號學(xué)習(xí)的是：信號學(xué)習(xí)是自發(fā)的情緒的行為變化，而刺激—反應(yīng)學(xué)習(xí)則是自覺的、肌體的行為變化。有關(guān)人的純粹刺激—反應(yīng)學(xué)習(xí)，主要發(fā)生在年幼兒童中。③連鎖學(xué)習(xí)連鎖學(xué)習(xí)是指兩個(gè)或兩個(gè)以上非詞語刺激—反應(yīng)學(xué)習(xí)的一個(gè)有序結(jié)合。其中每個(gè)刺激—反應(yīng)稱為一個(gè)鏈環(huán)，各個(gè)鏈環(huán)的有序結(jié)合稱為一條鏈。這樣，連鎖學(xué)習(xí)又可以稱作為運(yùn)動鏈的學(xué)習(xí)。人們在日常生活中許多任務(wù)的完成，像刷牙、洗臉、開門、削鉛筆等，都是一種鏈鎖學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，某些技能的學(xué)習(xí)帶有一定的操作性，它們也是一種連鎖學(xué)習(xí)。例如：利用直尺、圓規(guī)、量角器等工具進(jìn)行畫圖或作圖，制作幾何模型，都是鏈鎖學(xué)習(xí)。④詞語聯(lián)想學(xué)習(xí)與鏈鎖學(xué)習(xí)一樣，詞語聯(lián)想學(xué)習(xí)也是一種刺激—反應(yīng)學(xué)習(xí)鏈，只是這條鏈上的鏈環(huán)是詞語刺激—反應(yīng)，而不是運(yùn)動刺激—反應(yīng)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，記住三角公式是詞語聯(lián)想學(xué)習(xí)的例子。例如：對“正弦函數(shù)”這個(gè)詞，可以有以下多種智力代碼出現(xiàn)在不同學(xué)習(xí)者的頭腦中。符號y=sinx，對邊比斜也，單位圖中的正弦線，直角坐標(biāo)系中的圖像（正弦曲線）。對話（交互、交流、交際）——是詞語聯(lián)想學(xué)習(xí)最重要的應(yīng)用。數(shù)學(xué)概念的表達(dá)，命題證明過程的敘述，以及運(yùn)算過程合理性的說明，都需要學(xué)習(xí)者擁有大量已學(xué)會的詞語聯(lián)想鏈。因此，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生正確而簡明地表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)、概念和原理；積極參與學(xué)生的討論；要求他們多進(jìn)行互相合作交流。總之，利用各種可行手段來促進(jìn)學(xué)生的詞語聯(lián)想學(xué)習(xí)。⑤辯別學(xué)習(xí)辯別學(xué)習(xí)，就是學(xué)會對不同的刺激，包括對那些貌似相同但實(shí)質(zhì)不同的刺激作出不同的識別反應(yīng)。例如：對0到9十個(gè)數(shù)碼的識別；多面體與旋轉(zhuǎn)體的區(qū)分。辯別學(xué)習(xí)的困難在于：一是形式相同而實(shí)質(zhì)不同的兩個(gè)對象；二是形式不同而實(shí)質(zhì)相同的對象。例如：直角生標(biāo)系中，方程x=3是一條直線；極坐標(biāo)系中方程=3是一個(gè)圓。又如：數(shù)1與都是自然數(shù)且相等，因此實(shí)質(zhì)是一樣的但在形式上，是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)，與自然數(shù)1相差甚遠(yuǎn)。⑥概念學(xué)習(xí)概念學(xué)習(xí)是指能夠識別一類刺激的共性，并對此作出相同的反應(yīng)的過程。這是一類十分重要的學(xué)習(xí)。概念學(xué)習(xí)評價(jià)指標(biāo)及教學(xué)要點(diǎn)（見田本P54）。⑦法則學(xué)習(xí)是一列概念學(xué)習(xí)的有序連鎖，表現(xiàn)為能以一類行動對一類條件作出反應(yīng)，它是一種推理能力的學(xué)習(xí)。關(guān)于法則的教學(xué)程序，加涅提出五步驟。（田本P.55）法則學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種主要類型。1971年，加涅又將“學(xué)習(xí)的種類型”簡化為6類，并構(gòu)成階梯式的發(fā)展過程，如圖所示：“加涅的累積學(xué)習(xí)層次”（見圖）⑧問題解決學(xué)習(xí)問題解決(preblemsolving)學(xué)習(xí)是加涅的學(xué)習(xí)分類體系中層次最高的一類學(xué)習(xí)，它含有發(fā)明、創(chuàng)造的意思。所謂問題解決，就是以獨(dú)特的方式去選擇多組法則，綜合運(yùn)用它們，最終建立起一個(gè)或一組新的、更高級的、學(xué)習(xí)者先前未曾遇到過的法則（數(shù)學(xué)家所進(jìn)行的研究工作一般來說都屬于問題解決學(xué)習(xí)之列）。它與法則學(xué)習(xí)不同，在數(shù)學(xué)習(xí)中，解答一般的常規(guī)性問題不能算作解決問題學(xué)習(xí)，它們只不過是法則的運(yùn)用。例如：計(jì)算lg2+lg5.解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題學(xué)習(xí)過程通常包含下列幾個(gè)步驟：①以一般形式提出問題；②將問題改述為可進(jìn)行運(yùn)算的形式；③提出條件和假設(shè)（它們往往是解題的關(guān)鍵）；④通過運(yùn)算檢驗(yàn)假設(shè)，從中得到一個(gè)或一組可供選擇的解；⑤檢驗(yàn)確定正確的或最合適的解。2、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的二維分類認(rèn)知心理學(xué)派代表人物之一，著名學(xué)習(xí)理論家奧蘇倍爾（D.P.Ansnbel）提出的。①機(jī)械學(xué)習(xí)和有意義學(xué)習(xí)②接受學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)現(xiàn)代教育理論強(qiáng)調(diào)：重視有意義的接受學(xué)習(xí)和有意義的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法（田本P.59）1、摸仿：按照一定的模式去進(jìn)行學(xué)習(xí)，它直接依賴于教師的示范。如符號的讀寫，學(xué)具的操作，畫圖技法，解題表達(dá)、方法運(yùn)用、學(xué)習(xí)習(xí)慣等。是學(xué)習(xí)的基本方法。2、操作（即練習(xí)）：指可以對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果產(chǎn)生影響并能促成強(qiáng)化作用的學(xué)習(xí)行為。如：練習(xí)、學(xué)具的使用，幾何模型的制作，實(shí)地測量。最主要的操作形式——練習(xí)。練習(xí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種最主要的操作形式。它對于學(xué)業(yè)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)和提高他們的能力都是不可少的。（田本P.63）為使練習(xí)產(chǎn)生有效的結(jié)果需注意以下幾點(diǎn)：①練習(xí)應(yīng)遵守循序漸近的原則進(jìn)行；②供練習(xí)使用的習(xí)題，在數(shù)量上要適度，在質(zhì)量上應(yīng)上乘（好的）；③養(yǎng)成良好的練習(xí)習(xí)慣（正常使用課本，獨(dú)立完成作業(yè)，書寫規(guī)范，速度）。3、發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，就是人們運(yùn)用自己的智慧去獲得前人從未獲得過的知識的過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)，是指學(xué)生對自己頭腦中已有的數(shù)學(xué)信息（事實(shí)、概念、原理等）進(jìn)行操作、組織和轉(zhuǎn)化，從而親自獲得新信息所進(jìn)行的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)，不是數(shù)學(xué)家所進(jìn)行的發(fā)現(xiàn)工作，而只能是一種在教材內(nèi)容范圍內(nèi)進(jìn)行的再發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。其過程是：掌握學(xué)習(xí)課題，提出猜想、驗(yàn)證?！?.2中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程學(xué)習(xí)是指知識經(jīng)驗(yàn)的獲得與行為變化的過程，只有積累知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的行為變化才是學(xué)習(xí)，而且學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷漸近提高的過程。兩派學(xué)習(xí)理論的基本觀點(diǎn)。一、聯(lián)想主義的學(xué)習(xí)觀桑代克（Thorndike，1874—1949）巴甫洛夫（1849—1936）斯金納（Skinner,1904—1990）班杜拉（Balndara，1925~）二、認(rèn)知論的學(xué)習(xí)觀格式塔學(xué)派（Gestaet）托爾曼（Tolman,1886—1959）布魯納（Bruner，1915~）奧蘇倍爾（Ansubel，1918）三、建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀參見鄭全洲（《基于新課程的課堂教學(xué)案例》P.119）1、知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)識結(jié)構(gòu)（1）知識結(jié)構(gòu)：（李永新本P.84有一例“立體幾何：直線與平面”單元）知識結(jié)構(gòu)是指由知識之間內(nèi)在的聯(lián)系所聯(lián)結(jié)而成的整體，它包含兩個(gè)要素：①是最基本的知識；②是其他知識與最基本知識的聯(lián)系。所謂掌握知識結(jié)構(gòu)，實(shí)質(zhì)上就是掌握這兩個(gè)基本要素。這里所說的最基本知識和其他知識，是相對而論的，一般說來，章有章的最基本的知識，節(jié)有節(jié)的最基本的知識，課有課的最基本的知識；因而在各個(gè)不同的范圍，也就有不同的知識結(jié)構(gòu)。例如：初中階段關(guān)于方程和方程組的知識結(jié)構(gòu)，大致可歸納為：（1）最基本知識：一元一次方程、一元二次方程（就結(jié)構(gòu)而言，一元二次方程也可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程，考慮到現(xiàn)行初中代數(shù)教材對一元二次方程已作詳細(xì)的討論，所以也并列于此）。（2）其他知識與最基本知識的聯(lián)系：以換元法、代入消元法、加減消元法等方法為中介，將各類方程和方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程式一元二次方程，即多元方程（組）一元方程；高次方程一次方程或二次方程分式方程整式方程；無理方程有理方程。只要掌握上述這些最基本知識，以及其他知識與最基本知識的聯(lián)系，就不難掌握初中階段的方程和方程組知識。（2）認(rèn)知結(jié)構(gòu)認(rèn)知是感受到的信息，在人腦中被轉(zhuǎn)換、簡化、儲存、恢復(fù)和運(yùn)用的全過程。在認(rèn)知活動中，對輸入的信息進(jìn)行組織或再組織的加工，形成了概括化的一般認(rèn)識模式。所謂數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有對以后的輸入信息進(jìn)行同化的功能，但當(dāng)輸入的信息與現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不相符合，存在著不平衡時(shí)，就要調(diào)節(jié)現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使之能同化這樣輸入的信息，建立新的平衡，形成新水平上的同化能力。每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)各有特點(diǎn)，個(gè)人的認(rèn)識結(jié)構(gòu)在內(nèi)容和組織方面的特征，稱為認(rèn)識結(jié)構(gòu)變量，且可分為：①一般的（長期的）認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量——學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)的全部知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)容和組織特征，這些特征影響他們在數(shù)學(xué)中未來的成績。②特殊的（短期的）認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量——學(xué)生在學(xué)習(xí)某一相對小的知識單元時(shí)，他們的知識結(jié)構(gòu)中對這一新的發(fā)生影響并有直接關(guān)系的概念、命題的內(nèi)容和組織特征。例如：初中學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)概念時(shí)，短期的認(rèn)識結(jié)構(gòu)變量可有下列四種類型：[李永新本P.85例“分?jǐn)?shù)指數(shù)概念”]①能掌握整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，但對其概念與理論較模糊；②能比較熟練地掌握整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，也能講述有關(guān)理論，但不理解為什么要推廣指數(shù)冪的概念與運(yùn)算；③概念較清楚，運(yùn)算較熟練，并能理解新指數(shù)冪的意義；④能進(jìn)一步認(rèn)識到只有引入零指數(shù)、負(fù)指數(shù)冪后，才能使分式與整式，根式與有理式得到和諧統(tǒng)一，從而便于運(yùn)算。（3）數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)系數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)家研究的對象，數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是心理學(xué)家研究的對象，它們區(qū)別表現(xiàn)為：①數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)是前人研究數(shù)學(xué)所積累的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，是客觀的，對學(xué)生是外在的東西。數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)在自己頭腦中逐步形成的認(rèn)知模式，是主觀的，對學(xué)生是內(nèi)在的心理的東西。②數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)是教材中按照一定順應(yīng)組織起來的，是學(xué)生通過學(xué)習(xí)能夠掌握的。數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生認(rèn)識這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的智能活動模式，它有正誤、優(yōu)劣之分，在一定程度上體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，以適應(yīng)同類數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。③同一數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)容，可以通過不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)去掌握，單純的數(shù)學(xué)知識積累，不等于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有一個(gè)由簡單列復(fù)雜，由低級到高級的發(fā)展過程。數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間有著密切的聯(lián)系。這是因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能離開數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生，形成一定模式的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能離開數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生，形成一定模式的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也就相應(yīng)地掌握了有關(guān)的知識結(jié)構(gòu)。同時(shí)，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，如果經(jīng)過創(chuàng)造性的思維，發(fā)現(xiàn)了新的認(rèn)知模式，反過來，可豐富數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而發(fā)展或改組數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，可以說是人類的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與轉(zhuǎn)為學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，也是將前人解決數(shù)學(xué)問題中所形成的獨(dú)特的數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為人類共同知識財(cái)富的結(jié)果。2、中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程：輸入——相互作用——操作——輸出根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論，一般認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程。這個(gè)過程包括輸入階段，新舊知識的相互作用階段和操作階段。其一般模式如圖所示：情境原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)情境原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)新學(xué)習(xí)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)情境境）境）練習(xí)、鞏固初步形成認(rèn)識結(jié)構(gòu)同化與順應(yīng)操作階段相互作用用階段輸入階段輸出輸出階段預(yù)期目標(biāo)達(dá)到預(yù)期目標(biāo)形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)什么是同化、順應(yīng)？在已知結(jié)構(gòu)下進(jìn)行教學(xué)，把有關(guān)概念納入到已有的結(jié)構(gòu)中——同化；新學(xué)習(xí)的內(nèi)容與原有結(jié)構(gòu)產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)——順應(yīng)。第一階段是輸入階段：輸入階段實(shí)際上就是創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，給學(xué)生提供新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在這一學(xué)習(xí)情境中，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間發(fā)生沖突。在心理上產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識的需要，這是輸入階段的關(guān)鍵。因此，在此階段教師所提供的新內(nèi)容應(yīng)當(dāng)適合學(xué)生的能力、興趣，激發(fā)其內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)。第二階段是相互作作階段。產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要后，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容發(fā)生作用，并以同化和順應(yīng)兩種基本形式，進(jìn)入相互作用階段。所謂同化，就是把新學(xué)習(xí)的知識納入到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，進(jìn)一步擴(kuò)大原有知識內(nèi)容的過程；所謂順應(yīng)，就是當(dāng)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能接納新的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，必須改組或部分改組，進(jìn)而形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并把新的知識結(jié)構(gòu)接納進(jìn)去的過程。例如學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)有理數(shù)，是在已有零和正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對負(fù)有理數(shù)進(jìn)行加工，建立正負(fù)有理數(shù)之間的聯(lián)系。當(dāng)負(fù)有理數(shù)概念輸入時(shí)，學(xué)生就在他們頭腦中篩選出可以納入有理數(shù)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)——正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。根據(jù)這個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生對負(fù)有理數(shù)進(jìn)行改造，建立與正有理數(shù)之間的聯(lián)系：負(fù)有理數(shù)的性質(zhì)和正有理數(shù)相反，負(fù)有理數(shù)的加，減運(yùn)算可用正有理數(shù)來定義，等等。這樣，負(fù)有理數(shù)就同化到正有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，原有的正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)被擴(kuò)充成有理數(shù)的認(rèn)識結(jié)構(gòu)。同化輸入負(fù)有理數(shù)同化輸入負(fù)有理數(shù)零和正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)再如學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，由于初等幾何與解析幾何的區(qū)別，學(xué)生就不能簡單地依靠同化方式在原有初等幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)解析幾何，而要改造初等幾何的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過坐標(biāo)系的建立，實(shí)現(xiàn)形數(shù)對應(yīng)，通過曲線與方程的部分內(nèi)容學(xué)習(xí)后，才能逐步順應(yīng)解析幾何的學(xué)習(xí)。再例學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的過程是順應(yīng)的過程。初中學(xué)生剛學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能適應(yīng)新的認(rèn)知需要。在此以前，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中只有常量數(shù)學(xué)的有關(guān)知識，主要是代數(shù)式的恒等變形和方程、不等式的同解變形，以通過運(yùn)算求得結(jié)果為目的，其主要手段為運(yùn)算。而學(xué)習(xí)變量的概念，要以變化的觀點(diǎn)來考察變量之間的相互依賴關(guān)系，研究的著眼點(diǎn)是“關(guān)系”，其表達(dá)手段主要是列出解析式、表格或描繪圖像。例在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前學(xué)習(xí)圓的面積公式，是為了利用圓的半徑去計(jì)算圓的面積，而學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，則要把圓的面積公式看成圓的面積與半徑之間相互變化的遵循的規(guī)律。這就使學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能和新的認(rèn)知需要相適應(yīng)，學(xué)生必須對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)需要，并建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。順應(yīng)輸入變量及其相互關(guān)系順應(yīng)輸入變量及其相互關(guān)系常量數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化和順應(yīng)是學(xué)習(xí)過程中原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容相互作用的兩種不同形式，它們往往存在于同一學(xué)習(xí)過程中，只是側(cè)重而不同而已。上例所說的負(fù)有理數(shù)學(xué)習(xí)，原有非負(fù)有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)也有所改變，以順應(yīng)新知識的學(xué)習(xí)；而函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中也存在著同化的過程。第三階段是操作階段。操作階段實(shí)質(zhì)上是在第二段所產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)雛形的基礎(chǔ)上，通過練習(xí)等活動，使新學(xué)習(xí)的知識得到鞏固，初步形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。通過這一階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)到了一定的技能，使新學(xué)習(xí)的知識與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生較為密切的聯(lián)系。第四階段是輸出階段。這一階段是在上階段初步形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過解決數(shù)學(xué)問題，使新學(xué)習(xí)的知識完全融化于原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。通過此階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生的能力得到進(jìn)一步的發(fā)展，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)更為完善、達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。3、如何完善與發(fā)展的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程。掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的意義在于順應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和發(fā)展。具體說來，必須做到以下兩點(diǎn)：第一，把學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念作為數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四個(gè)階段是緊密聯(lián)系的，前一階段的學(xué)習(xí)是后一階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，后一階段的學(xué)習(xí)是前一階段學(xué)習(xí)的深入和發(fā)展，而在任何情況下，已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)總是學(xué)習(xí)新認(rèn)識的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要策略之一主在于建立新認(rèn)知與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)知識之間的聯(lián)系，這里首先應(yīng)該注意：學(xué)生知道了什么？知道的程度如何？是否運(yùn)用自如？等等。例如學(xué)習(xí)一元二次方程的求根公式，是建立在直接開方法和配方法的基礎(chǔ)上的。大多數(shù)學(xué)生具備了這兩方面的知識和技能。但若要學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，恐怕多數(shù)學(xué)生是有困難的。這是由于配方法雖已學(xué)過，但還未達(dá)到運(yùn)用自如的程度，而由數(shù)字系數(shù)轉(zhuǎn)到字母系數(shù)，難度也較大。這就是說，原有知識與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間雖有聯(lián)系，但它們之間的“潛在距離”較遠(yuǎn)。教學(xué)上，我們可以設(shè)計(jì)以下三組方程依次讓學(xué)生練習(xí)，從而縮短這個(gè)“距離”，使大多數(shù)學(xué)生都能自己推出求根公式。第一組：第二組：第三組：第二，把發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心和歸縮。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識的基本結(jié)構(gòu)與學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物。組織良好的知識結(jié)構(gòu)有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，促進(jìn)新的學(xué)習(xí)，而孤立、零碎的知識對新學(xué)習(xí)的影響則很小。安排數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，既要注意知識之間的縱向聯(lián)系，把孤立的知識組成知識鏈，又要注意知識之間的橫向聯(lián)系，把知識鏈組成知識網(wǎng)，這樣的知識有利于學(xué)生塑造良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如初中代數(shù)“一元二次方程”一章的內(nèi)容較多，其知識結(jié)構(gòu)可作如下的小結(jié)：一元二次方程ax一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）另外，“一元二次方程”學(xué)完后，初中代數(shù)中有關(guān)代數(shù)方程的內(nèi)容大體上都已學(xué)完，其知識結(jié)構(gòu)如下：一元代數(shù)方程方程組上述箭頭表明了解代數(shù)方程的基本思想：無理方程要去掉根號化為有理方程；有理方程中的分式方程要去掉分母化為整式方程；整式方程中的高次方程要降次為一次方程或二次方程；多元方程要消元化為一元方程。由此可見，解各種代數(shù)方程，都要通過“轉(zhuǎn)化”、“消元”、“降次”，最后歸結(jié)為一元一次方程或一元二次方程。對于“轉(zhuǎn)化”，要注意變形可能會產(chǎn)生增根；對于“消元”、“降次”，除通常用的代入法、加減法和因式分解法外，要特別注意“換元法”的掌握和運(yùn)用。（“化歸”的思想）為了發(fā)展和完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，除了組織完好的知識結(jié)構(gòu)外，還要注意發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力，如觀察能力、思維能力和記憶能力。這將在以后諸講中討論?！?.3智力因素與非智力因素一、智力因素1、觀察力2、記憶力（常用記憶方法）3、注意力二、非智力因素（品質(zhì)、個(gè)性、態(tài)度）無堅(jiān)不催無往而不勝無往而不勝無堅(jiān)不催無往而不勝無往而不勝2、學(xué)習(xí)興趣（濃厚）3、學(xué)習(xí)意志（頑強(qiáng)）心理學(xué)研究表明，學(xué)習(xí)質(zhì)量是智力因素與非智力因素相互作用的結(jié)果?！?.4學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用一、皮亞杰關(guān)于智力發(fā)展的階段理論J.Piaget，（1896—1980），瑞士心理學(xué)家，當(dāng)代著名的兒童心理學(xué)家或發(fā)生認(rèn)識論專家。1、關(guān)于智力發(fā)展的基本觀點(diǎn)①圖式：就是動作的結(jié)構(gòu)和組織。這些動作和組織在相同或類似的環(huán)境中由于不斷重復(fù)而得到遷移或概括。②同化：同化是順應(yīng)的基礎(chǔ)，順應(yīng)是同化的發(fā)展。③順應(yīng)：同化是順應(yīng)的基礎(chǔ)，順應(yīng)是同化的發(fā)展。④平衡：是同化和順應(yīng)兩種活動之間的平衡。2、關(guān)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用①智力發(fā)展的四階段——借助數(shù)理邏輯中“運(yùn)算”的概念。感覺運(yùn)動——前運(yùn)算——具體運(yùn)算——形式運(yùn)算（就是命題運(yùn)算思維）（出生-2歲）（2-7歲）（7-12、13歲）（12-15歲）（參見“天本”P.68—71）②應(yīng)用：“學(xué)習(xí)要有準(zhǔn)備”——智力準(zhǔn)備/理解的學(xué)習(xí)是真正的學(xué)習(xí)。（參閱天津師大本P.73—75）③關(guān)于智力發(fā)展的主要因素：成熟、經(jīng)驗(yàn)、社會環(huán)境、平衡。二、奧蘇伯爾有意義言語學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用又稱認(rèn)知同化理論D.P.Ausubel美國當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)的代表人物之一，它的理論為課堂教學(xué)提供了心理學(xué)依據(jù)，它包含了一個(gè)導(dǎo)致有意義學(xué)習(xí)的有效的講解過程。他認(rèn)為，講演或講解方法是一種非常有效的教學(xué)方法，并倡導(dǎo)教育工作者應(yīng)當(dāng)更加致力于發(fā)展有效地講解教學(xué)技巧。1、關(guān)于學(xué)習(xí)類型及學(xué)習(xí)條件（“天本”P.76）①認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)的含義②機(jī)械的學(xué)習(xí)與意義的學(xué)習(xí)③接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)④有意義接受學(xué)習(xí)的條件2、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的幾種同化模式（“天本”P.81）①下位學(xué)習(xí)模式（如：同化）例：復(fù)數(shù)——實(shí)數(shù)性質(zhì)、法則、運(yùn)用到復(fù)數(shù)情形。包括派生下位學(xué)習(xí)模式和相關(guān)下位學(xué)習(xí)模式②上位學(xué)習(xí)模式（如：順應(yīng)）例：函數(shù)——運(yùn)算、關(guān)系、映射。③并列結(jié)合學(xué)習(xí)模式（在有意義學(xué)習(xí)時(shí)，產(chǎn)生聯(lián)合意義）例：函數(shù)圖像就是函數(shù)式與幾何圖形的并列結(jié)合；三角函數(shù)就是幾何與代數(shù)的并列結(jié)合。3、運(yùn)用同化規(guī)律、指導(dǎo)教學(xué)概念教學(xué)（“天本”P.83）①分析教材結(jié)構(gòu)，把握同化模式；②運(yùn)用同化規(guī)律，設(shè)計(jì)教學(xué)程序；③合理、有效地組織數(shù)學(xué)教學(xué)材料；④鞏固和完善新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深化概念教學(xué)。三、布魯姆的目標(biāo)教學(xué)理論在數(shù)