2025年下學期高一數(shù)學數(shù)學猜想與證明試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）觀察數(shù)列1，3，7，15，31，…的規(guī)律，推測第6項的值為（）A.61B.62C.63D.64（考查歸納推理在數(shù)列中的應用，需通過前五項的差分析規(guī)律：后項=前項×2+1）已知函數(shù)f(x)滿足f(1)=1，f(n+1)=f(n)+2n+1（n∈N），則f(5)的值為（）*A.16B.25C.36D.49（結(jié)合遞推關系與歸納法，逐步計算f(2)=f(1)+3=4，f(3)=f(2)+5=9，以此類推發(fā)現(xiàn)f(n)=n2）用數(shù)學歸納法證明“1+2+3+…+n=n(n+1)/2”時，從n=k到n=k+1左邊需添加的項是（）A.k+1B.k+2C.(k+1)(k+2)/2D.k(k+1)/2（考查數(shù)學歸納法的遞推步驟，n=k時左邊為1+2+…+k，n=k+1時需添加k+1）觀察下列等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，則1+3+5+…+(2n-1)的結(jié)果為（）A.n2B.(n+1)2C.2n2D.n(n+1)（通過特例歸納猜想一般性結(jié)論，體現(xiàn)“從特殊到一般”的思維方法）在平面幾何中，“三角形內(nèi)角和為180°”，類比到空間幾何體中，可猜想“四面體的面角和為（）”A.180°B.360°C.540°D.720°（平面到空間的類比推理，三角形對應四面體，內(nèi)角對應面角，180°×3=540°）用反證法證明“若a+b+c>0，則a，b，c中至少有一個正數(shù)”時，假設應為（）A.a，b，c都是正數(shù)B.a，b，c都不是正數(shù)C.a，b，c至多有一個正數(shù)D.a，b，c至少有一個負數(shù)（反證法的假設規(guī)則，需否定結(jié)論“至少有一個正數(shù)”，即“都不是正數(shù)”）已知數(shù)列{a?}滿足a?=2，a???=2a?+1，則推測其通項公式可能為（）A.a?=2?-1B.a?=2??1-2C.a?=3×2??1-1D.a?=4×2??1+1（通過計算前幾項a?=5，a?=11，a?=23，排除法結(jié)合遞推關系變形：a???+1=2(a?+1)）觀察函數(shù)f(x)=x3，g(x)=x?，h(x)=x?的圖像，可猜想“奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)”，該推理過程屬于（）A.歸納推理B.類比推理C.演繹推理D.合情推理（通過多個特例歸納共性，屬于歸納推理，而合情推理包括歸納與類比）用數(shù)學歸納法證明“2?>n2（n≥5，n∈N）”時，驗證n=5時，左邊=32，右邊=25，不等式成立；若n=k時不等式成立，則n=k+1時需證明（）*A.2??1>(k+1)2B.2??1>k2+2k+1C.2×2?>k2+2k+1D.2?+2?>k2+2k+1（數(shù)學歸納法的核心步驟，需利用n=k時的假設2?>k2，推導2??1=2×2?>2k2，再證2k2>(k+1)2（k≥5））在數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=3，a?=7，a?=15，…，則推測a?與a???的遞推關系為（）A.a?=a???+2B.a?=2a???C.a?=2a???+1D.a?=a???+2??1（通過相鄰項的差分析規(guī)律：3-1=2，7-3=4，15-7=8，差為等比數(shù)列2??1，故a?=a???+2??1）二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）已知f(1)=2，f(n)=f(n-1)+n（n≥2），則f(4)=__________。（遞推計算：f(2)=2+2=4，f(3)=4+3=7，f(4)=7+4=11）觀察等式：2=1×2，2+4=2×3，2+4+6=3×4，2+4+6+8=4×5，…，則2+4+6+…+2n=__________。（歸納猜想：左邊為前n個偶數(shù)的和，右邊為n(n+1)）用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+…+2??1=2?-1”時，第一步需驗證n=1時，左邊=，右邊=。（基礎步驟：n=1時左邊=1，右邊=21-1=1，等式成立）在平面幾何中，“若兩條直線平行，則同位角相等”，類比到立體幾何中，可猜想“若兩個平面平行，則__________”。（線線平行→面面平行，同位角→同位二面角，故填“同位二面角相等”）數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且S?=n2+2n，則a?=__________。（通過S?=3，S?=8，S?=15，計算a?=3，a?=5，a?=7，歸納猜想a?=2n+1，再驗證S?=Σ(2k+1)=n2+2n）三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）觀察下列等式，猜想一般性結(jié)論并證明：1×2=1×2×3/3，1×2+2×3=2×3×4/3，1×2+2×3+3×4=3×4×5/3，…（猜想：1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3，用數(shù)學歸納法證明：①n=1時左邊=2，右邊=1×2×3/3=2，成立；②假設n=k時成立，則n=k+1時，左邊=k(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)/3，得證。）（12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=(a?+2)/a?（n∈N），計算a?，a?，a?，猜想通項公式并證明。*（計算：a?=3，a?=5/3，a?=11/5，發(fā)現(xiàn)規(guī)律不明顯，變形遞推式為1/a???=a?/(a?+2)=1-2/(a?+2)，構(gòu)造新數(shù)列b?=a?+1，得b???=2b?，b?=2，故b?=2?，a?=2?-1，再用數(shù)學歸納法驗證。）（12分）用反證法證明：√2是無理數(shù)。（假設√2是有理數(shù)，設√2=p/q（p，q為互質(zhì)正整數(shù)），則p2=2q2，故p為偶數(shù)，設p=2k，代入得q2=2k2，q也為偶數(shù)，與p，q互質(zhì)矛盾，故√2是無理數(shù)。）（12分）在數(shù)列{a?}中，a?=2，前n項和S?=n2+a?，求a?，a?，a?，猜想a?的表達式并證明。（計算：S?=1+a?=1+2=3，與S?=a?=2矛盾，修正公式為S?=n2+a?，n≥2時S???=(n-1)2+a???，兩式相減得a?=2n-1+a?-a???，即a???=2n-1，故a?=2n+1（n≥2），驗證a?=5，a?=7，a?=9，符合a?=2n+1（n≥2），n=1時單獨列出。）（12分）類比平面幾何中的勾股定理：“在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，猜想在空間直角坐標系中，三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，底面ABC的面積S與OA=a，OB=b，OC=c的關系，并證明。（猜想：S2=(ab/2)2+(bc/2)2+(ac/2)2，證明：以O為原點建立坐標系，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，向量AB=(-a,b,0)，AC=(-a,0,c)，面積S=|AB×AC|/2=√(a2b2+b2c2+a2c2)/2，平方得證。）（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x，（1）計算f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）觀察結(jié)果猜想函數(shù)的零點個數(shù)，并證明。（（1）f(0)=0，f(1)=-2，f(2)=2，f(3)=18；（2）猜想有三個零點，證明：f(-2)=-2，f(-1)=2，f(0)=0，f(1)=-2，f(2)=2，由零點存在定理知(-2,-1)，(-1,0)，(1,2)內(nèi)各有一個零點，又三次函數(shù)最多三個零點，故得證。）四、探究題（本大題共1小題，共20分）問題背景：在平面上，有n條直線兩兩相交且無三線共點，探究交點個數(shù)f(n)的規(guī)律。（1）計算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)；（2）猜想f(n)的表達式并證明；（3）類比到空間中，若n個平面兩兩相交且無三平面共線，探究交線的條數(shù)g(n)。（（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=3，f(4)=6；（2）猜想f(n)=n(n-1)/2，用數(shù)學歸納法或遞推法：第n條直線與前n-1條交于n-1點，故f(n)=f(n-1)+n-1，累加得證；（3）類比平面到空間，線線相交→面面相交，交點→交線，猜想g(n)=n(n-1)/2，驗證n=2時1條，n=3時3條，符合規(guī)律。）試題設計說明：覆蓋核心素養(yǎng)：試題涵