2025年線性代數(shù)環(huán)境素養(yǎng)滲透試題一、填空題（每小題4分，共20分）某城市垃圾分類系統(tǒng)中，可回收物、廚余垃圾、有害垃圾和其他垃圾的日清運(yùn)量分別為向量α=(120,80,5,45)（單位：噸）。若該市計(jì)劃通過(guò)矩陣變換實(shí)現(xiàn)垃圾處理效率提升，定義矩陣A為[\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0.9&0&0&0\0&0.8&0&0\0&0&0.95&0\0&0&0&0.7\end{pmatrix}]其中每個(gè)對(duì)角元素表示對(duì)應(yīng)類別垃圾的資源回收率，則經(jīng)過(guò)矩陣變換后，可回收物與有害垃圾的實(shí)際回收量之和為_(kāi)_______噸。某湖泊生態(tài)系統(tǒng)中，浮游植物、浮游動(dòng)物、魚(yú)類的生物量（單位：kg/m2）構(gòu)成向量β=(x,y,z)，其能量流動(dòng)滿足線性方程組：[\begin{cases}0.2x-y=0\0.1y-z=0\x+y+z=100\end{cases}]則該系統(tǒng)中浮游植物的生物量x=________kg/m2，體現(xiàn)了生態(tài)系統(tǒng)中能量傳遞的________特性（填“逐級(jí)遞減”或“單向流動(dòng)”）。設(shè)3階矩陣B表示某工廠的污染物排放矩陣，其特征值為λ?=0.3（廢水）、λ?=0.5（廢氣）、λ?=0.2（固體廢棄物），則矩陣B的行列式|B|=，該值的環(huán)境意義是。某地區(qū)土壤重金屬濃度檢測(cè)數(shù)據(jù)為向量組γ?=(0.1,0.3,0.2)，γ?=(0.2,0.6,0.4)，γ?=(0.3,0.9,0.5)（單位：mg/kg），則該向量組的秩為_(kāi)_______，表明這3組數(shù)據(jù)中存在________關(guān)系（填“線性相關(guān)”或“線性無(wú)關(guān)”）。某新能源汽車電池的續(xù)航能力受溫度影響，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示溫度t（℃）與續(xù)航里程s（km）的關(guān)系可用二次型f(t)=2t2-4t+300表示，則該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為_(kāi)_______，當(dāng)溫度t=________℃時(shí)，續(xù)航里程達(dá)到最小值。二、選擇題（每小題5分，共25分）某城市交通碳排放模型中，私家車、公交車、地鐵的單位里程碳排放量分別為200g/km、80g/km、30g/km，若某天出行量向量為x=(a,b,c)（單位：km），碳排放總量為y=(200,80,30)·x。為實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰目標(biāo)，需滿足y≤100000g，且a+b+c=1000km。若優(yōu)先增加地鐵出行量c，則c的取值范圍是（）A.c≥200kmB.c≥300kmC.c≥400kmD.c≥500km設(shè)矩陣C表示某濕地生態(tài)系統(tǒng)的物種遷移矩陣，其中C??表示物種i向物種j的能量轉(zhuǎn)移比例。下列條件中，能確保該生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的是（）A.C為對(duì)稱矩陣B.C的行向量組線性無(wú)關(guān)C.C的所有特征值絕對(duì)值小于1D.C的秩等于物種數(shù)量某環(huán)保公司計(jì)劃通過(guò)矩陣變換P優(yōu)化污水處理工藝，原處理效率向量為η=(0.6,0.7)，變換后為Pη=(0.8,0.9)。若P為可逆矩陣，則矩陣P?1表示的意義是（）A.處理成本矩陣B.效率提升比例矩陣C.工藝退化風(fēng)險(xiǎn)矩陣D.資源消耗矩陣下列向量組中，可用來(lái)描述環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)“高-中-低”三級(jí)分類的標(biāo)準(zhǔn)正交基是（）A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)C.(0.5,0.5,0.5),(0.5,-0.5,0),(0,0,1)D.(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)某地區(qū)PM2.5濃度數(shù)據(jù)構(gòu)成3×3矩陣D，其奇異值分解為D=UΣV?，其中對(duì)角矩陣Σ=diag(50,20,5)，則該地區(qū)PM2.5濃度變化的主要影響因素有________個(gè)（填數(shù)字），依據(jù)是________。三、計(jì)算題（共35分）（15分）某生態(tài)保護(hù)區(qū)的物種保護(hù)計(jì)劃中，鳥(niǎo)類、哺乳動(dòng)物、爬行動(dòng)物的種群數(shù)量（單位：只）滿足線性方程組Ax=b，其中系數(shù)矩陣A和常數(shù)項(xiàng)向量b為：[\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&-0.2&0\-0.1&1&-0.3\0&-0.2&1\end{pmatrix},\quad\mathbf=\begin{pmatrix}100\200\150\end{pmatrix}]（1）用克拉默法則求解方程組，得到三種動(dòng)物的種群數(shù)量；（2）若哺乳動(dòng)物的生存閾值為250只，判斷該計(jì)劃是否需要調(diào)整，并說(shuō)明理由。（20分）某工業(yè)園區(qū)的碳排放核算中，甲、乙、丙三家企業(yè)的年排放量（單位：萬(wàn)噸CO?）分別為x,y,z，其碳排放權(quán)交易滿足以下條件：①甲企業(yè)的排放量是乙、丙之和的一半；②乙企業(yè)的排放量比丙企業(yè)多50萬(wàn)噸；③三家企業(yè)總排放量不超過(guò)500萬(wàn)噸。（1）寫(xiě)出該問(wèn)題的線性約束條件，并表示為矩陣形式Mx≤n；（2）若碳排放權(quán)交易價(jià)格為120元/噸，求甲企業(yè)的最大碳交易收益（單位：萬(wàn)元）。四、綜合應(yīng)用題（20分）某城市的新能源轉(zhuǎn)型項(xiàng)目中，太陽(yáng)能、風(fēng)能、水能的裝機(jī)容量（單位：萬(wàn)千瓦）構(gòu)成向量θ=(s,w,h)，其成本函數(shù)為二次型f(s,w,h)=s2+2w2+3h2+2sw+2sh，目標(biāo)是在滿足s+w+h=100萬(wàn)千瓦的條件下，最小化成本。（1）寫(xiě)出該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，并判斷其正定性；（2）用配方法求最小成本及對(duì)應(yīng)的各能源裝機(jī)容量；（3）若考慮環(huán)境效益，水能的權(quán)重系數(shù)需增加20%，此時(shí)成本函數(shù)如何調(diào)整？解釋調(diào)整后的環(huán)境意義。五、證明題（10分）設(shè)α、β分別為某森林生態(tài)系統(tǒng)中喬木、灌木的生物量向量，且滿足β=kα（k>0）。證明：向量組α、β線性相關(guān)的充要條件是該生態(tài)系統(tǒng)中喬木與灌木的生物量成比例，且比例系數(shù)k為生態(tài)位重疊度指標(biāo)。試題設(shè)計(jì)說(shuō)明：知識(shí)滲透：通過(guò)矩陣、行列式、特征值等線性代數(shù)核心概念，融合生態(tài)能量流動(dòng)、碳排放量核算等環(huán)境知識(shí)，如第3題通過(guò)特征值乘積解釋污染物綜合排放強(qiáng)度。技能培養(yǎng)：計(jì)算題要求學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，如第