2025年線性代數(shù)機器人學中的坐標變換試題一、單項選擇題（每題3分，共30分）在Denavit-Hartenberg（DH）參數(shù)中，相鄰連桿i與i+1的公共法線方向對應的參數(shù)是（）A.連桿長度(a_i)B.連桿偏距(d_i)C.關節(jié)角(\theta_i)D.連桿扭轉角(\alpha_i)已知旋轉矩陣(R=\begin{pmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&1\end{pmatrix})，其對應的旋轉變換是（）A.繞x軸旋轉90°B.繞y軸旋轉90°C.繞z軸旋轉90°D.繞z軸旋轉-90°齊次變換矩陣(T=\begin{pmatrix}R&p\0&1\end{pmatrix})中，(p)的物理意義是（）A.旋轉軸單位向量B.平移向量C.縮放因子D.坐標系原點若機器人末端執(zhí)行器在基坐標系中的位姿為(T)，工具坐標系相對于末端坐標系的變換為(T_{tool})，則工具坐標系在基坐標系中的位姿為（）A.(T\cdotT_{tool})B.(T_{tool}\cdotT)C.(T^{-1}\cdotT_{tool})D.(T_{tool}^{-1}\cdotT)三維空間中，點(P=(1,2,3))繞y軸旋轉90°后，其坐標變?yōu)椋ǎ〢.((3,2,-1))B.((-3,2,1))C.((1,3,-2))D.((-1,2,3))下列矩陣中，不屬于正交矩陣的是（）A.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&0&-1\0&1&0\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\sin\theta&\cos\theta&0\0&0&1\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix})機器人雅可比矩陣的秩為3時，意味著（）A.機器人處于奇點位置B.機器人具有3個自由度C.末端執(zhí)行器在3個方向上無運動D.關節(jié)速度與末端速度存在線性映射已知坐標系(A)到坐標系(B)的變換為(T_{AB})，坐標系(B)到坐標系(C)的變換為(T_{BC})，則坐標系(A)到坐標系(C)的變換為（）A.(T_{AB}+T_{BC})B.(T_{AB}\cdotT_{BC})C.(T_{AB}\timesT_{BC})D.(T_{AB}-T_{BC})若齊次變換矩陣(T=\begin{pmatrix}0&-1&0&2\1&0&0&3\0&0&1&4\0&0&0&1\end{pmatrix})，則其旋轉部分對應的旋轉角為（）A.90°B.-90°C.180°D.0°機器人正運動學求解的核心是（）A.已知關節(jié)角求末端位姿B.已知末端位姿求關節(jié)角C.關節(jié)速度與末端速度的映射D.力與力矩的轉換二、填空題（每題4分，共20分）DH參數(shù)中，連桿扭轉角(\alpha_i)的定義是__________。齊次變換矩陣(T)的逆矩陣計算公式為(T^{-1}=\begin{pmatrix}R^T&-R^Tp\0&1\end{pmatrix})，其中(R)是__________，(p)是__________。三維空間中，點(P=(x,y,z))的齊次坐標表示為__________。若機器人基坐標系到關節(jié)1坐標系的變換為(T_1)，關節(jié)1到關節(jié)2的變換為(T_2)，則末端坐標系在基坐標系中的位姿為__________。正交矩陣的行列式值為__________。三、簡答題（每題10分，共20分）簡述DH參數(shù)法建立機器人運動學模型的步驟，并說明各參數(shù)的物理意義。（1）步驟：在每個關節(jié)軸上建立連桿坐標系，遵循右手法則；確定各連桿的DH參數(shù)（(a_i,d_i,\theta_i,\alpha_i)）；計算相鄰坐標系間的齊次變換矩陣(T_i)；末端坐標系位姿為各變換矩陣的乘積(T=T_1\cdotT_2\cdot\ldots\cdotT_n)。（2）參數(shù)意義：(a_i)：連桿長度，沿(x_i)軸從(z_i)到(z_{i+1})的距離；(d_i)：連桿偏距，沿(z_i)軸從(x_{i-1})到(x_i)的距離；(\theta_i)：關節(jié)角，繞(z_i)軸從(x_{i-1})到(x_i)的旋轉角；(\alpha_i)：連桿扭轉角，繞(x_i)軸從(z_{i-1})到(z_i)的旋轉角。解釋機器人運動學中的“奇點”現(xiàn)象，并舉例說明其對機器人運動的影響。（1）奇點：雅可比矩陣行列式為0的位姿，此時機器人失去部分運動自由度。（2）影響：關節(jié)速度可能出現(xiàn)無窮大（如PUMA機器人的肩部奇點）；末端執(zhí)行器在某些方向無法運動（如肘部奇點導致手臂伸展方向鎖定）；運動規(guī)劃需避開奇點，否則可能導致關節(jié)超限或控制失穩(wěn)。四、計算題（共30分）（15分）已知二自由度平面機器人如圖1所示，連桿長度(L_1=2)，(L_2=1)，關節(jié)角(\theta_1=30^\circ)，(\theta_2=60^\circ)。（1）用DH參數(shù)法建立各連桿坐標系，并寫出相鄰坐標系間的齊次變換矩陣(T_1)和(T_2)；（2）計算末端執(zhí)行器在基坐標系中的位姿矩陣(T)；（3）求出末端執(zhí)行器的位置坐標((x,y,z))。解答：（1）DH參數(shù)表：|連桿i|(a_i)|(d_i)|(\theta_i)|(\alpha_i)||-------|---------|---------|--------------|--------------||1|2|0|(30^\circ)|(0^\circ)||2|1|0|(60^\circ)|(0^\circ)|變換矩陣：(T_1=\begin{pmatrix}\cos30&-\sin30&0&2\cos30\\sin30&\cos30&0&2\sin30\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}&0&\sqrt{3}\\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&0&1\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})(T_2=\begin{pmatrix}\cos60&-\sin60&0&\cos60\\sin60&\cos60&0&\sin60\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}&0&\frac{1}{2}\\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2}&0&\frac{\sqrt{3}}{2}\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})（2）末端位姿矩陣：(T=T_1\cdotT_2=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}&0&\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}&0&1\cdot\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot\frac{1}{2}\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})化簡后：(T=\begin{pmatrix}0&-1&0&\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\1&0&0&\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&0&\frac{\sqrt{3}+4}{2}\1&0&0&\frac{4+\sqrt{3}}{2}\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})（3）位置坐標：(x=\frac{\sqrt{3}+4}{2}\approx\frac{1.732+4}{2}=2.866)，(y=\frac{4+\sqrt{3}}{2}\approx2.866)，(z=0)。（15分）已知坐標系(A)到坐標系(B)的變換矩陣為(T_{AB}=\begin{pmatrix}0&-1&0&2\1&0&0&3\0&0&1&4\0&0&0&1\end{pmatrix})，點(P)在坐標系(B)中的坐標為((1,0,0))。（1）求點(P)在坐標系(A)中的坐標；（2）求坐標系(B)到坐標系(A)的變換矩陣(T_{BA})；（3）驗證(T_{AB}\cdotT_{BA}=I)（單位矩陣）。解答：（1）點(P)在坐標系(A)中的齊次坐標為：(P_A=T_{AB}\cdotP_B^h=\begin{pmatrix}0&-1&0&2\1&0&0&3\0&0&1&4\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\0\0\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot1+(-1)\cdot0+0\cdot0+2\cdot1\1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0+3\cdot1\0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0+4\cdot1\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\4\4\1\end{pmatrix})因此，(P_A=(2,4,4))。（2）(T_{BA}=T_{AB}^{-1}=\begin{pmatrix}R^T&-R^Tp\0&1\end{pmatrix})，其中(R=\begin{pmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&1\end{pmatrix})，(p=(2,3,4)^T)。(R^T=\begin{pmatrix}0&1&0\-1&0&0\0&0&1\end{pmatrix})，(-R^Tp=-\begin{pmatrix}0&1&0\-1&0&0\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\3\4\end{pmatrix}=-(3,-2,4)^T=(-3,2,-4)^T)。故(T_{BA}=\begin{pmatrix}0&1&0&-3\-1&0&0&2\0&0&1&-4\0&0&0&1\end{pmatrix})。（3）驗證：(T_{AB}\cdotT_{BA}=\begin{pmatrix}0&-1&0&2\1&0&0&3\0&0&1&4\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0&-3\-1&0&0&2\0&0&1&-4\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix}=I)，成立。五、綜合應用題（20分）如圖所示為三自由度機器人（RRR型），連桿參數(shù)如下表：連桿i(a_i)(d_i)(\theta_i)(\alpha_i)100(\theta_1)(90^\circ)2(L_1)0(\theta_2)(0^\circ)3(L_2)0(\theta_3)(0^\circ)（1）推導末端執(zhí)行器在基坐標系中的位姿矩陣(T)；（10分）（2）若(L_1=3)，(L_2=2)，(\theta_1=0^\circ)，(\theta_2=90^\circ)，(\theta_3=0^\circ)，求末端位置坐標。（10分）解答：（1）各連桿變換矩陣：(T_1)（繞z軸旋轉(\theta_1)，繞x軸旋轉90°）：(T_1=\begin{pmatrix}\cos\theta_1&-\sin\theta_1\cos90&\sin\theta_1\sin90&0\\sin\theta_1&\cos\theta_1\cos90&-\cos\theta_1\sin90&0\0&\sin90&\cos90&0\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta_1&0&\sin\theta_1&0\\sin\theta_1&0&-\cos\theta_1&0\0&1&0&0\0&0&0&1\end{pmatrix})(T_2)（繞z軸旋轉(\theta_2)，連桿長度(L_1)）：(T_2=\begin{pmatrix}\cos\theta_2&-\sin\theta_2&0&L_1\cos\theta_2\\sin\theta_2&\cos\theta_2&0&L_1\sin\theta_2\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})(T_3)（繞z軸旋轉(\theta_3)，連桿長度(L_2)）：(T_3=\begin{pmatrix}\cos\theta_3&-\sin\theta_3&0&L_2\cos\theta_3\\sin\theta_3&\cos\theta_3&0&L_2\sin\theta_3\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})末端位姿矩陣：(T=T_1\cdotT_2\cdotT_3)（2）代入?yún)?shù)：(\theta_1=0^\circ)，(\theta_2=90^\circ)，(\theta_3=0^\circ)，(L_1=3)，(L_2=2)。(T_1=\begin{pmatrix}1&0&0&0\0&0&-1&0\0&1&0&0\0&0&0&1\end{pmatrix})(T_2=\begin{pmatrix}0&-1&0&0\1&0&0&3\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})(T_3=\begin{pmatrix}1&0&0&2\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})(T_2\cdotT_3=\begin{pmatrix}0&-1&0&0\1&0&0&3+2\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&0&0\1&0&0&5\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix})(T=T_1\cdot(T_2\cdotT_3)=\begin{pmatrix}1&0&0&0\0&0&-1&0\0&1&0&0\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0&0\1&0&0&5\0&0&1&0\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&0&0\0&0&-1&0\1&0&0&5\0&0&0&1\end{pmatrix})末端位置坐標：((0,0,5))。六、證明題（10分）證明：齊次變換矩陣(T=\begin{pmatrix}R&p\0&1\end{pmatrix})的逆矩陣為(T^{-1}=\begin{pmatrix}R^T&-R^Tp\0&1\end{pmatrix})，其中(R)為正交矩陣。證明：需驗證(T\cdotT^{-1}=I)：(T\cdotT^{-1}=\begin{pmatrix}R&p\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}R^T&-R^Tp\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}RR^T+p\cdot0&R(-R^Tp)+p\cdot1\0\cdotR^T+1\cdot0&0(-R^Tp)+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I&-RR^Tp+p\0&1\end{pmatrix})由于(R)為正交矩陣，(RR^T=I)，故(-RR^Tp+p=-p+p=0)。因此，(T\cdotT^{-1}=\begin{pmatrix}I&0\0&1\end{pmatrix