PAGE專題10對(duì)數(shù)函數(shù)目錄概覽A考點(diǎn)精研?競賽考點(diǎn)專項(xiàng)攻堅(jiān)考點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 4考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)定義域問題的求解 5考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題 6考點(diǎn)四對(duì)數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題 8考點(diǎn)五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用問題 9考點(diǎn)六對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題 12考點(diǎn)七比較指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小 13考點(diǎn)八解對(duì)數(shù)型不等式 16考點(diǎn)九對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題 18考點(diǎn)十對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 19考點(diǎn)十一對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 26考點(diǎn)十二與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的新定義題 28B實(shí)戰(zhàn)進(jìn)階?競賽選拔模擬特訓(xùn)（精選各地競賽、強(qiáng)基試題22道）【歸納重點(diǎn)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1.函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?.特別說明：判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如特別說明：判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量．（1）常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù).（2）自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)02反函數(shù)定義一般地，指數(shù)函數(shù)y=(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=(a>0且a≠1)互為性質(zhì)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別為它的反函數(shù)y=的值域、定義域互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)03對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)列表如下：y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值特點(diǎn)x∈(0,1)時(shí)，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時(shí)，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈(－∞，0]對(duì)稱性函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱注意：掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其關(guān)鍵是理解圖象的特征，利用幾何直觀掌握函數(shù)的性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)04底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響1.底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”.

當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”;

當(dāng)0<a<1時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.

2.函數(shù)y=與y=(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

3.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：

無論是a>1還是0<a<1,在第一象限內(nèi),自左向右,圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.

①上下比較：在直線x=1的右側(cè),a>1時(shí),a越大,圖象越靠近x軸;0<a<1時(shí),a越小,圖象越靠近x軸;

②左右比較：比較圖象與直線y=1的交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大,對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.提示：在第一象限內(nèi)，底數(shù)從小到大，圖象從左往右．知識(shí)點(diǎn)05y＝logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)1.定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.2.值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.3.單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定.(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定)4.奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.5.最值：在f(x)>0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據(jù)a確定函數(shù)y＝logat的單調(diào)性，最后確定最值.知識(shí)點(diǎn)06對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)型函數(shù)解不等式1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).2.形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b＝logaab.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.知識(shí)點(diǎn)07三種函數(shù)的性質(zhì)及增長速度比較指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))是增函數(shù)圖象(隨x的增大)趨向于和x軸垂直趨向于和x軸平行呈直線上升增長速度(隨x的增大)y的增長速度越來越快y的增長速度越來越慢y的增長速度不變歸納總結(jié)總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，ax>kx>logax【熟記重要結(jié)論（二級(jí)結(jié)論）】1．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．2.對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)結(jié)論（1）對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax（a>0,且a≠1）以y軸為漸近線；g(x)=loga（2）作對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）的圖象應(yīng)抓住三個(gè)點(diǎn)(1a考點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).故選：D.2．若函數(shù)（，且）是對(duì)數(shù)函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的概念得，解得或，由，得，即在單調(diào)遞減，則，所以．故選：B.3．（多選）下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．（，且） B．C． D．【答案】AC【解析】形如（，且）的函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)于A，由，且，可知，且，故A符合題意；對(duì)于B，不符合題意；對(duì)于C，符合題意；對(duì)于D，不符合題意；故選：AC.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)定義域問題的求解4．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，由①得，由②得，故，故所求函數(shù)定義域?yàn)?故選：C5．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，則，由，得，解得，則，所以.故選：C.6．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，且，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)需滿足，解得.7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥坑珊瘮?shù)的定義域?yàn)?，知，所以，這意味著函數(shù)的定義域?yàn)?；現(xiàn)在考慮函數(shù)定義域，其自變量需同時(shí)滿足以下條件：，解得：.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題8．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知，解得；易知函數(shù)的定義域?yàn)椋挥质怯珊瘮?shù)和復(fù)合而成的，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，而二次函數(shù)開口向上，關(guān)于對(duì)稱，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此在處取得最大值，即，可得的值域?yàn)?故選：C9．已知命題的值域?yàn)?，命題的定義域?yàn)椋瑒t是的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對(duì)于命題可以取到所有大于0的數(shù)顯然成立；時(shí)，，解得，所以.對(duì)于命題在上恒成立.時(shí)顯然成立；時(shí)，，解得，所以.所以是的充分不必要條件，故選：B.10．已知，函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，要使得函數(shù)的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D.11．已知函數(shù)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋瑒t（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【解析】因?yàn)椋?，即函?shù)的值域?yàn)椋裕驗(yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的最小值?，所以，解得，所以．故選：A．12．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，，求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2)【解析】（1）∵是定義在上的奇函數(shù)，∴.∵時(shí)，fx=∴當(dāng)時(shí)，，∴.（2）由題意得，.令，問題等價(jià)于求，的值域∵函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴在0,1上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，，∴，，∴函數(shù)的值域?yàn)?考點(diǎn)四對(duì)數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題13．函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于（且），則函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)．故選：D．14．已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)又在函數(shù)的圖像上，則（

）A．3 B．5 C．8 D．11【答案】D【解析】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)在的圖象上，，即，故選：D.15．函數(shù)且的圖象恒過點(diǎn)，函數(shù)且的圖象恒過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于，令，得，，所以的圖象恒過點(diǎn)，即；對(duì)于，令，得，，所以的圖象恒過點(diǎn)，即；所以.故選：B.考點(diǎn)五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用問題16．如圖是三個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b【答案】D【解析】y＝logax的圖象在（0，＋∞）上是上升的，所以底數(shù)a＞1，函數(shù)y＝logbx，y＝logcx的圖象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故選：D．17．已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，令，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，所以，因此，故A錯(cuò)誤；，又因?yàn)椋?，因此不一定成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，且，所以，故C正確；因?yàn)椋?，即，故D錯(cuò)誤，故選：C.18．函數(shù)，的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由的定義域?yàn)榛?，故排除AB，又,則，,故排除C.故選：D.19．已知函數(shù)過定點(diǎn)P，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以過定點(diǎn)，設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，代入，即，解得，所以冪函數(shù)為，定義域，結(jié)合定義域和圖象，可知C正確，故選：C.20．設(shè)方程的兩個(gè)根為，則（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】等價(jià)于，作出函數(shù)與的圖象，如圖．

結(jié)合圖象易知這兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的兩個(gè)根，可知，．根據(jù)在上是減函數(shù)，可得，所以．又，，所以，即，則，所以．而，所以．故選：D．考點(diǎn)六對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題21．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，解得或，由，則其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為單調(diào)遞增函數(shù)，故的單調(diào)遞減區(qū)間.故選：B.22．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：A．23．”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，若，則，但是，不一定成立，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．故選：A24．已知且，函數(shù)是減函數(shù)，則a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，解得．故選：B.25．若函數(shù)（且）滿足：對(duì)于任意、且，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)，由可得，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得；函數(shù)在上為減函數(shù)，則；且有，即，所以有，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.考點(diǎn)七比較指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小26．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即.,即.綜上知道.故選：D.27．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，因此可得.故選：C28．若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減知道，；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減知道，；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增知道，；故.故選：A.29．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增可得，，即；由指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)可得，，因此；即可知.故選：A30．已知均為大于1的數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，則，故，又，，故，，．故選：D.31．已知函數(shù)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減．而，所以，故選：D.32．若且，則下列不等式成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】取，，則，，，故.故選：C．33．若實(shí)數(shù)，，滿足，則，，的大小關(guān)系不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，得，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，則分別是函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，觀察圖象得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此ABC都可能，D不可能.故選：D考點(diǎn)八解對(duì)數(shù)型不等式34．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以不等式解集為，故選：B.35．若，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，可得且，可得且，可知，且，可得，解得或（舍去），若，則，則，可得，整理可得，解得或（舍去），所以的取值范圍是.36．已知函數(shù)且滿足則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】函數(shù)有意義，由，解得，即的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為奇函?shù)，且，函數(shù)和都是上的增函數(shù)，所以為上的增函數(shù)，由，得，則有，解得，同時(shí)有，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.37．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則不等式的解集為．【答案】或【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，即，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)遞增，，或，或，即或，不等式的解集為：或．38．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，即，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以；由于，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以；綜上，的取值范圍是.考點(diǎn)九對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題39．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，的定義域是，A選項(xiàng)，設(shè)，，解得，所以的定義域是，，所以是奇函數(shù)，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.CD選項(xiàng)，的定義域是，所以，，所以和的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，CD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A40．若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B．e C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以f?x=可得，可得對(duì)均成立，所以.故選：A.41．函數(shù)的奇偶性是.【答案】奇函數(shù)【解析】由函數(shù)，可得，解得，所以，所以，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故答案為:奇函數(shù).考點(diǎn)十對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用42．(多選)已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象不過定點(diǎn)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0D．若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】CD【解析】對(duì)于A，對(duì)任意都有，所以的圖象過定點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值為，正確；對(duì)于D，對(duì)任意，恒成立，則，解得，正確．故選：CD.43．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)的值域是C．若方程有5個(gè)解，則的取值范圍為D．若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】，畫出的圖象，如下：A選項(xiàng)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，不能說在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，函數(shù)在處取得最小值為，故值域是，B正確；C選項(xiàng)，若方程有5個(gè)解，則要滿足與有5個(gè)交點(diǎn)，故，所以的取值范圍為，C正確；D選項(xiàng)，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則，令，解得：，又，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，解得：，即，，故的取值范圍為.故選：BCD44.（多選）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若，則不等式的解集為B．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)D．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由，則，由，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由函數(shù)的定義域?yàn)?，則恒成立，可得，解得，故B正確；對(duì)于C，由題意可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，解得，故C正確；對(duì)于D，由在上單調(diào)遞增，且是增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，解得.綜上所述，，故D正確.故選：BCD.45．已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求方程的根；(3)若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）由題知，的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，∴，即，整理得恒成立，可得；（2）由（1）可知，，方程可化為，∴，則，整理得，令，則，不等式可化為，解得（舍）或，∴，可得，故方程的根為；（3）在上有零點(diǎn)，∴在上有解，設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞減，，∴.46．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知實(shí)數(shù)滿足，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，則，函數(shù)的定義域?yàn)镽，由函數(shù)是偶函數(shù)，得，即，整理得，而不恒為0，因此所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由（1）及，得，即，依題意，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，符合題意，因此；當(dāng)時(shí)，，解得，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（3）由，得，即，則，而，因此，，令，，顯然，任意，則，，，于是，因此，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，即，于是，即，所以.47．已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，其中且．(1)求實(shí)數(shù)的值，并研究函數(shù)的奇偶性；(2)函數(shù)，關(guān)于x的方程恰有唯一解，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】(1)，函數(shù)為奇函數(shù)；(2)或.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒過定點(diǎn)，所以，則，得，所以，所以，由，得，即的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，即函數(shù)為奇函數(shù)；（2）由，得，所以，由，得，解得，由，得，整理得，得，解得或，因?yàn)殛P(guān)于x的方程恰有唯一解，所以或，解得或，綜上，或.48．已知函數(shù)，，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域與值域：(2)設(shè)集合，證明：；(3)已知矩形的頂點(diǎn)，在的圖象上，頂點(diǎn)，在的圖象上軸，若，且該矩形的中心為點(diǎn)，求的值．【答案】(1)定義域?yàn)?，值域?yàn)?2)證明見解析(3)【解析】（1）由題意可得：，得，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，，值域?yàn)椋?）又因?yàn)?，所以可得要證明：即證明在上有解存在，使得成立，即為，不等式在上有解，設(shè)，因此在上有解，所以，解得，在上有解即可證明：（3）與關(guān)于軸對(duì)稱由題意可知，矩形關(guān)于軸對(duì)稱，所以，．所以設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)（）因?yàn)榫匦吻逸S，軸點(diǎn)坐標(biāo)又矩形關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，且該矩形的中心為點(diǎn)所以可得：，消去得：所以，展開可得：因式分解可得：所以．考點(diǎn)十一對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用49．為預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法.已知室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系近似滿足如圖所示曲線，根據(jù)圖中提供的信息，從下列函數(shù)中選取恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，完成解答.①②③④(1)求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）的解析式，并簡要說明你選取的理由；(2)據(jù)測定，當(dāng)每立方米空氣中的含藥量降低到0.2毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)，學(xué)生才能回到教室.（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留2位小數(shù)）【答案】(1)，答案見解析(2)0.68小時(shí)【解析】（1）因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，的值先增后減，由圖可知第一段線段為增函數(shù)，第二段曲線為減函數(shù)，故選①和③.又線段經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，故圖中第一段線段的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得

故從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為（2）因?yàn)樗幬镩_始釋放過程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于0.2毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室，所以只能當(dāng)藥物釋放完后，室內(nèi)藥量減少到0.2毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，故，即，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得，即得，解得.所以從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過0.68小時(shí)，學(xué)生才能回到教室.50．聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：），指的是人能聽到的最低聲強(qiáng)．已知人能承受的最大聲強(qiáng)為，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為．(1)若聲強(qiáng)級(jí)增加，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?2)若李明早讀時(shí)讀書的聲強(qiáng)范圍為（單位：），求他早讀時(shí)讀書的聲強(qiáng)級(jí)范圍（單位：）．【答案】(1)10(2)【解析】（1）解法1：依題意可知當(dāng)時(shí)，，即，解得，若聲強(qiáng)級(jí)增加，即，所以當(dāng)聲強(qiáng)級(jí)增加10dB，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍．解法2：依題意可知當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以，則若聲強(qiáng)級(jí)增加，則，所以當(dāng)聲強(qiáng)級(jí)增加10dB，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍．（2）顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以李明早讀時(shí)讀書的聲強(qiáng)級(jí)范圍為（單位：）．考點(diǎn)十二與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的新定義題51.（多選）定義：表示的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù).若，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，不等式的解集是C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BD【解析】根據(jù)題意，即為滿足的整數(shù)的個(gè)數(shù)．當(dāng)時(shí)，如圖，數(shù)形結(jié)合得的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)有無數(shù)多個(gè)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合（如圖），由，可得，解得，所以在內(nèi)有個(gè)整數(shù)解，為、、，故B對(duì)和C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，若，即的整數(shù)解只有一個(gè)，只需滿足，即，解得，所以時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確；故選：BD．52．已知，定義函數(shù)表示不小于x的最小整數(shù)．例如：．(1)若，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)求函數(shù)的值域，并求滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍；(3)設(shè)，若對(duì)于任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由函數(shù)表示不小于x的最小整數(shù)，，得所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為（2）函數(shù)定義域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，因此，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?；顯然，由，得，所以，而時(shí)，不等式不成立，則，必有，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍．（3）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在是單調(diào)遞減，所以，而，所以在上的值域?yàn)?，依題意，，即，當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，而恒成立，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍．53．定義:已知函數(shù)，對(duì)給定的正整數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)為“性質(zhì)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“性質(zhì)函數(shù)”？說明理由；(2)若函數(shù)為“2性質(zhì)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)，求證:為“1性質(zhì)函數(shù)”.【答案】(1)不是，理由見解析(2)(3)證明見解析【解析】（1）假設(shè)存在且滿足條件：，則，即：，，方程無實(shí)根，與假設(shè)矛盾，不是“性質(zhì)函數(shù)”；（2）且，，由題意得：存在，使得，，即：，整理得：，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，由得：，即，解得：且，綜上所述：.（3）由條件存在使，，，令，則，，，為“1性質(zhì)函數(shù)”54．對(duì)于函數(shù)，若，則稱實(shí)數(shù)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)0和1；(2)；(3).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，方程可化為，解得或；所以，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為0和1．（2）方程，即，可化為．令，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，且．由題意，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．由于對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．所以，．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）不等式可化為．易知，函數(shù)在上最大值為，最小值為；由題意，，，即．上述不等式可化為．令，則當(dāng)時(shí)，．由題意，，不等式恒成立．函數(shù)在上單調(diào)遞增，最大值為；函數(shù)在上單調(diào)遞減，最小值為．所以，，即．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．1．（2024·高三數(shù)學(xué)極光杯競賽）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先三個(gè)對(duì)數(shù)和0比較大小，再讓和比較大小，即可求解.【解析】，，，所以，則.故選：A2．（2024·廣東汕頭競賽）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以，則.故選：A3．（2024·安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟冬季聯(lián)賽）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，解得或，則，，所以.故選：A.4．(2024·山東濱州競賽)對(duì)于集合，我們把集合且叫做集合A與B的差集，記作．若，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，故.故選：B.5．（2024·山東跨地市多校調(diào)考）已知是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有，若滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，不等式，即，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：A.6．（2024·安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟冬季聯(lián)賽）已知函數(shù)定義域?yàn)?，若?duì)于，當(dāng)時(shí)，都有成立，則稱函數(shù)是“共建”函數(shù)，則下列四個(gè)函數(shù)中是“共建”函數(shù)的是（

）A． B．C．， D．，【答案】B【解析】對(duì)于B：，定義域?yàn)椋鶕?jù)題意，，當(dāng)時(shí)，都有，化簡得，即，設(shè)，即，得在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故B項(xiàng)符合；對(duì)于C：，，定義域?yàn)?，由上可知得在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，但此時(shí)在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)不符合；對(duì)于D：，，定義域?yàn)?，由上可知得在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，但此時(shí)在上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)不符合；對(duì)于A：當(dāng)且時(shí)，恒成立，不符合“共建”函數(shù)定義，即A項(xiàng)不符合；故選：B.7．（2024·安徽阜陽競賽）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A8．(2024·山東濱州競賽)已知，設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，可得，則，，故，又，所以，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，，綜上可知，，故選:B.9．（多選）（2024·山東高密競賽）下列比較大小關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對(duì)A，由冪函數(shù)在上為增函數(shù)，得.又指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，則，從而.A正確；對(duì)B，，又對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，則，結(jié)合反比例函數(shù)在單調(diào)遞減，則，即，B錯(cuò)誤；對(duì)C，對(duì)數(shù)函數(shù)與在都是單調(diào)遞增，則，則，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，故，C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤;故選：AC10．（多選）(2024·清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃)，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對(duì)于D，構(gòu)造，易得在上遞增，而，，所以有唯一的正根，且該根位于區(qū)間，因?yàn)?，所以，則，故，.所以，故D正確；對(duì)于C，而，，故，而，所以有，故C正確；對(duì)于AB，由，知.從而，故A正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.11．（多選）(2024·湖南邵陽競賽)已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若，則不等式的解集為【答案】AB【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以恒成立，則，解得：，故正確；B選項(xiàng)：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，所以，解得，故正確；C選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：在區(qū)間上為增函數(shù)，且在該區(qū)間上恒成立，當(dāng)符合題意；當(dāng)，則，解得；所以，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，由，可得，解得：，故錯(cuò)誤；故選：AB.12．(2024·貴州貴陽“圓周率”杯競賽)設(shè)集合，，則.【答案】【解析】因?yàn)?，，所?13．（2023·海南海南中學(xué)衍林杯學(xué)科競賽）已知，分別是方程和的根，則.【答案】【解析】方程的根是對(duì)數(shù)函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根是指數(shù)函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，聯(lián)立，可得，所以.14．（2022·浙江溫州搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽）光線通過某種玻璃，強(qiáng)度損失.要使光線強(qiáng)度減弱為原來的，至少要通過塊這樣的玻璃.（參考數(shù)據(jù)：，.）【答案】16【解析】設(shè)至少要通過塊這樣的玻璃，則，即，故要使光線強(qiáng)度減弱為原來的，至少要通過塊這樣的玻璃.15．(2024·全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶賽區(qū)初賽)設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則不等式的解集為.【答案】【解析】由，為上的奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為上單調(diào)遞增函數(shù)，又的值域?yàn)?，所以也為上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，因?yàn)椋?16．（2024·安徽阜陽競賽）已知函數(shù)，且對(duì)于，恒有.則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，不妨設(shè)，則有，從而，即，所以是R上的減函數(shù)，首先有，此時(shí)函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知關(guān)于單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，有意義，即恒成立，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故還需滿足，所以當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)滿足，符合題意，即，解得．17．（2024·安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟冬季聯(lián)賽）已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二、四象限，請(qǐng)寫出滿足條件的一組的值.【答案】（答案不唯一）【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，的圖象必過第四象限，矛盾，因此，由函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二、四象限，得點(diǎn)只能在原點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，若，則有，的圖象必過第四象限，矛盾，當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)的圖象在第三象限，若，則，此時(shí)的圖象在第一象限，所以且，滿足條件的一